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1、圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率tan,0,)k2121yykxx点00(,)P xy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB夹角公式：直线111222:lyk xblyk xb夹角为，则2121tan1kkk k（3）弦长公式直线ykxb上两点1122(,),(,)A xyB xy间的距离222121()()ABxxyy2121ABkxx221212(1)()4kxxx x12211AByyk（4）两条直线的位置关系（）111222:lyk xblyk x
2、b1212llk k=-1 212121/bbkkll且（）11112222:0:0lAxB yClA xB yC1212120llA AB B1212211221/ /0llA BA BACA C-=0且-或111222ABCABC者（2220A B C）两平行线距离公式1122:lykxblykxb距离122|1bbdk1122:0:0lAxByClAxByC距离1222|CCdAB二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，
3、共 12 页 - - - - - - - - - 定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 .（0e1）1 到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 轨迹条件点集： (M MF1+MF2=2a, F 1F2 2a. 点集： MMF1- MF2. =2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线 l 的距离 . 图形方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心
4、角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数 ) 范围a x a， b y b |x| a ，yR x 0 中心原点 O （0，0）原点 O （0，0）顶点(a,0), ( a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0) (0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a, 短轴长 2b x 轴，y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=ca2准线垂直于实轴， 且在两顶点的内侧 . x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到
5、顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 焦半径P(x0，y0) 为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支时： P在左支时： |PF1|=a+ex0 |PF1|=-a-ex0 |PF2|=-a+ex0 |PF2|=a-ex0|PF|=x0+2p【备注 1
6、】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（1）抛物线2y=2px(p0) 的焦点坐标是 (2p,0) ，准线方程x=-2p，开口向右；抛物线2y=-2px(p0) 的焦点坐标是 (-2p,0)
7、 ，准线方程x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0) 的焦点坐标是 (0,2p) ，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x=-2py （p0）的焦点坐标是（0,-2p） ，准线方程y=2p，开口向下 . （2） 抛物线2y=2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离20pxMF； 抛物线2y=-2px(p0) 上的点 M(x0,y0)与焦点 F的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p. （4） 已知过抛物线2y=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A、 B两点，则
8、线段 AB称为焦点弦， 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx+p或2sin2pAB( 为直线 AB的倾斜角 ) ，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径 ). 椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点， 并且 PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。解： 由 PF1PF22F1F2224，得 2a4.又 c1，所以 b23. 所以椭圆的标准方程是y24x231. 2已知椭圆的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且 2a10，求椭圆的标准方程解： 由椭圆定义知
9、c1，b52124. 椭圆的标准方程为x225y2241. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 例： 1. 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解： （ 1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：11642
10、2yx；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例求过点 (3,2)且与椭圆x29y241 有相同焦点的椭圆的标准方程解： 因为c2 945，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2y2a251. 由点 ( 3,2) 在椭圆上知9a24a251，所以a215. 所以所求椭圆的标准方程为x215y2101.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解： 由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，222112a
11、axxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，42a，1422yx为所求五、求椭圆的离心率问题。例 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值解： 当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc由21e，得4k当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12由21e，得4191k，即45k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 满足条件的4k或45k六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例
12、： 1.若 ABC 的两个顶点坐标A(4,0)，B(4,0)， ABC 的周长为 18，求顶点 C 的轨迹方程。解：顶点 C 到两个定点A，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且 2a10，所以a5,2c8，所以 c4，所以 b2a2c2 9，故顶点C 的轨迹方程为x225y291.又 A、B、C 三点构成三角形，所以 y0.所以顶点C 的轨迹方程为x225y291(y 0)答案：x225y291(y0) 2已知椭圆的标准方程是x2a2y2251(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且 F1F28，弦 AB 过点 F1，求 ABF2的周长因为 F1F28
13、，即即所以2c8，即 c4，所以 a225 1641，即 a41，所以 ABF2的周长为 4a 4 41. 3设 F1、F2是椭圆x29y24 1 的两个焦点 ,P 是椭圆上的点，且PF1: PF22: 1，求 PF1F2的面积解析： 由椭圆方程，得a3，b 2，c5， PF1PF22a6.又 PF1PF221， PF14， PF2 2，由2242 (25)2可知 PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面积为12PF1 PF2122 44. 七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用
14、条件求k解法一： 设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122kkkxxP是弦中点，121xx故得21k所以所求直线方程为0342yx解法二： 设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得1.11212212122222121yyxxyxyx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 得022221222
15、1yyxx将、代入得212121xxyy，即直线的斜率为21所求直线方程为0342yx双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例 1讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征分析： 由于9k，25k，则k的取值范围为9k，259k，25k，分别进行讨论解 ： （ 1）当9k时，025k，09k，所给方程表示椭圆，此时ka252，kb92，16222bac，这些椭圆有共同的焦点（4，0） ， （4，0） （2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka252，kb92，16222bac，这些双曲线也有共同的焦点（4，0） ， ） （4，0） （3）
16、25k，9k，25k时，所给方程没有轨迹说明： 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例 2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点4153 ，P，5316，Q且焦点在坐标轴上（2）6c，经过点（ 5，2） ，焦点在x轴上（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，解： （1）设双曲线方程为122nymxP、Q两点在双曲线上，12592561162259nmnm解得916nm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
17、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 所求双曲线方程为191622yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）焦点在x轴上，6c，设所求双曲线方程为：1622yx（其中60）双曲线经过点（5，2） ，164255或30（舍去）所求双曲线方程是1522yx说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉（3）设所求双曲线方程为：160141622yx双曲线过点223，14416184或14（舍）所求双曲线方程为181222yx说明：（1）注意到了与双曲线141622yx有公共焦点的
18、双曲线系方程为141622yx后，便有了以上巧妙的设法（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面三、求与双曲线有关的角度问题。例 3 已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，求21PFF的大小分析： 一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形解： 点P在双曲线的左支上621PFPF362212221PFPFPFPF1002221PFPF100441222221bacFF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
19、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9021PFF说明： （1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化（2）题目的 “点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例 4 已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积分析： 利用双曲线的定义及21PFF中的勾股定理可求21PFF的面积解： P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点422
20、1aPFPF,52221cFF9021PFF在21FPFRt中，202212221FFPFPF162212221221PFPFPFPFPFPF1622021PFPF221PFPF1212121PFPFSPFF说明： 双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用五、根据双曲线的定义求其标准方程。例 5已知两点051，F、052，F，求与它们的距离差的绝对值是6 的点的轨迹分析： 问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹解： 根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线5c，3a16435222222acb所求方程116922yx为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线例:P是双曲线13664
21、22yx上一点，1F、2F是双曲线的两个焦点，且171PF，求2PF的值分析： 利用双曲线的定义求解解： 在双曲线1366422yx中，8a，6b，故10c名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 由P是双曲线上一点，得1621PFPF12PF或332PF又22acPF，得332PF说明： 本题容易忽视acPF2这一条件，而得出错误的结论12PF或332PF六、求与圆有关的双曲线方程。例 6求下列动圆圆心M的轨迹方程：（
22、1）与2222yxC：内切，且过点02，A（2）与11221yxC：和41222yxC ：都外切（3）与93221yxC：外切，且与13222yxC ：内切分析： 这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离如果相切的1C、 2C的半径为1r、2r且21rr， 则当它们外切时，2121rrOO； 当它们内切时，2121rrOO 解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程解： 设动圆M的半径为r（1）1C与M内切，点A在C外2rMC，rMA，2MCMA点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：22a，2c，27222acb双曲线方程为2172222x
23、yx（2）M与1C、2C都外切11rMC，22rMC，112MCMC点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，且有：21a，1c，43222acb所求的双曲线的方程为：43134422yxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - （3）M与1C外切，且与2C内切31rMC，12rMC，421MCMC点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，且有：2a，3c，5222acb所求双曲线方程为：215422xyx说明
24、： （1） “定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1）yx42（2）)0(2aayx分析： （1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程解： （1）2p，焦点坐标是（0， 1） ，准线方程是：1y（2）原抛物
25、线方程为：xay12，ap12当0a时，ap412，抛物线开口向右，焦点坐标是)0 ,41(a，准线方程是：ax41当0a时，ap412，抛物线开口向左，焦点坐标是)0 ,41(a，准线方程是：ax41综合上述，当0a时，抛物线2ayx的焦点坐标为)0 ,41(a，准线方程是：ax41二、求直线与抛物线相结合的问题例 2 若直线2kxy与抛物线xy82交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为2，求此直线方程分析： 由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k解法一： 设),(11yxA、),(22yxB，则由：xykxy82
26、2可得：04)84(22xkxk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 直线与抛物线相交，0k且0，则1kAB 中点横坐标为：2842221kkxx，解得：2k或1k（舍去）故所求直线方程为：22xy解法二： 设),(11yxA、),(22yxB，则有22212188xyxy两式作差解：)(8)(212121xxyyyy，即2121218yyxxyy421xx444)(22212121kxxkkxkxyy，448kk
27、故2k或1k（舍去）则所求直线方程为：22xy三、求直线中的参数问题例 3（1）设抛物线xy42被直线kxy2截得的弦长为53，求 k 值（2）以（ 1）中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9 时，求 P 点坐标分析： （1）题可利用弦长公式求k， （2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标解： （1）由kxyxy242得：0)44(422kxkx设直线与抛物线交于),(11yxA与),(22yxB两点则有：4,122121kxxkxx)21(5)1(54)(5)(21(22212212212kkkxxxxxxAB53)21(5,53kAB，即4k（2）
28、9S，底边长为53，三角形高5565392h点 P 在 x 轴上，设P 点坐标是)0,(0 x则点 P 到直线42xy的距离就等于h，即55612402220 x10 x或50 x，即所求 P 点坐标是（ 1，0）或（ 5，0） 四、与抛物线有关的最值问题例 4定长为 3 的线段AB的端点A、B在抛物线xy2上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 求出此时AB中点的坐标解：
29、如图，设F是xy2的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M到准线的垂线为MN，C、D和N是垂足，则2321)(21)(21ABBFAFBDACMN设M点的横坐标为x，纵坐标为y，41xMN，则454123x等式成立的条件是AB过点F当45x时，41221Pyy，故22122)(212221221xyyyyyy，221yy，22y所以)22,45(M，此时M到y轴的距离的最小值为45例已知点)2,3(M，F为抛物线xy22的焦点，点P在该抛物线上移动，当PFPM取最小值时，点P的坐标为 _分析： 本题若建立目标函数来求PFPM的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决解： 如图，由定义知PEPF，故213MNMEPMPFPFPM取等号时，M、P、E三点共线，P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P点坐标为)2,2(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -