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1、1. 编号 1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X. （1）求随机变量X 的分布列；（2）求随机变量X 的数学期望和方差. 解（1）P（X=0）=33A2=31；P（X=1）=3313AC=21；P（X=3）=33A1=61；随机变量X 的分布列为X0 1 3 P312161（2）E（X）=121+361=1. D（X）=(1-0)231+(1-1)221+(3-1)261=1. 2某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9 个白球、 1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10 元
2、；摸出两个红球可获得奖金50 元. 现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额. 求：（1）X 的分布列；（2）X 的均值 . 解（1）X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. P（X=0）=3109=0001729；P（X=10）=1012109+10912C101109=0001243; P( X=20)= 10112C 101109=000118; P( X=50)=1092101=00019; P( X=60)=3101 =00011. 故 X 的分布列为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
3、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - X0 10 20 50 60 P000172900012430001180001900011（ 2 ） E （ X ） =0 0001729+10 0001243+20 000118+50 00019+60 00011=3.3( 元). 3（本小题满分13 分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14 件和 5 件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克） 下表是乙厂的5 件产品的测量数据：编号1 2 3
4、4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y 满足 x175，且 y75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5 件产品中，随机抽取2 件，求抽取的2 件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。解： （1）987,573514，即乙厂生产的产品数量为35 件。（2）易见只有编号为2，5 的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品2,5故乙厂生产有大约235145（件）优等品，（3）的取值为0，1，2。2112
5、3323222555331(0),(1),(2)10510CCCCPPPCCC所以的分布列为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 0 1 2 P 310610110故3314012.105105E的均值为4 湖南理 18 （本小题满分12 分）某商店试销某种商品20 天，获得如下数据：日销售量（件）0 1 2 3 频数1 5 9 5 试销结束后 （假设该商品的日销售量的分布规律不变）， 设某天开始营业时有该商品3 件
6、，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。（）求当天商品不进货的概率；（）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。4解（I）P（ “当天商品不进货” ）P（ “当天商品销售量为0 件” ）P（ “当天商品销售量为1 件” ）.103205201（）由题意知，X的可能取值为2,3. PXP)2(（ “当天商品销售量为1 件” ）;41205PXP)3(（ “当天商品销售量为0 件” ）P（ “当天商品销售量 为2 件” ）P（ “ 当 天商 品 销售 量为3 件 ” ）.43205209201故X的分布列为X2
7、3 P4143X的数学期望为.411433412EX5、江西理16 （本小题满分12 分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 从 8 杯饮料中选出4 杯 A 饮料，若4 杯都选对，则月工资定为3500元，若 4 杯选对 3
8、 杯，则月工资定为2800 元，否则月工资定为2100元，令 X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和 B 两种饮料没有鉴别能力（1）求 X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望。 （本小题满分12 分）解： （1）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4 144445()(0,1,2,3,4)iC CP XiiC即X 0 1 2 3 4 P 170167036701670170（2）令 Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，3500 1(3500)(4)708(2800)(3)3553(2100)(2)70116533500280021002280.7
9、07070P YP XP YP XP YP XEY则所以新录用员工月工资的期望为2280 元. 6、辽宁理（ 19） （本小题满分12 分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验 选取两大块地， 每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙（I）假设 n=4，在第一大块地中， 种植品种甲的小块地的数目记为X，求 X 的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：名师资料总结 - - -精品
10、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 品 种甲403 397 390 404 388 400 412 406 品 种乙419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据nxxx,21的的样本方差)()()(1222212xxxxxxnsn，其中x为样本平均数6解：（I）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且4813444822
11、44483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P XCC CP XCC CP XCC CP XCP XC即 X 的分布列为4分X 的数学期望为181881()012342.7035353570E X6 分（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 222222221(403397390404388400412406
12、)400,81(3( 3)( 10)4( 12)0126 )57.25.8xS甲甲8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7( 9)06( 4)11( 12)1 )56.8xS乙乙10分由以上结果可以看出， 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 7、山东理18 （本小题满分12 分）红队队员甲、 乙、丙与蓝队队员A、B、C 进行围棋比赛， 甲对 A，乙对 B，丙对 C 各一盘，已知甲胜A，乙胜 B，丙胜 C 的概率分别为0.6,0.5,0.5
13、，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E. 7解：（I）设甲胜 A 的事件为 D，乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F，则,D E F分别表示甲不胜A、乙不胜 B，丙不胜C 的事件。因为()0.6,()0.5,()0.5,P DP EP F由对立事件的概率公式知()0.4, ()0.5, ()0.5,P DP EP F名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - -
14、- - - - - - 红队至少两人获胜的事件有：,.DEF DEF DEF DEF由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.60.5 0.50.6 0.5 0.50.4 0.5 0.50.6 0.5 0.50.55.PP DEFP DEFP DEFP DEF（II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。又由（ I）知,DEF DEF DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此(0)()0.4 0.5 0.50.1,PP DEF(1)()()()PP DEFP DEFP DEF0.40.50.50.40.50.50.60.50.5
15、0.35(3)()0.60.50.50.15.PP DEF由对立事件的概率公式得(2)1(0)(1)(3)0.4,PPPP所以的分布列为：0 1 2 3 P 01 035 04 015 因此00.11 0.3520.430.151.6.E20解（） Ai表示事件“甲选择路径Li时， 40 分钟内赶到火车站” ，Bi表示事件“乙选择路径Li时， 50 分钟内赶到火车站” ，i=1,2用频率估计相应的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
16、 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - P（A1） P（A2）, 甲应选择 Li P （B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09，P（B2） P（B1）, 乙应选择L2（） A,B 分别表示针对（）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（）知( )0.6,()0.9P AP B,又由题意知，A,B 独立，(0)()( ) ( )0.4 0.10.04P XP ABP A P B(1)()( ) ( )( )( )P XP ABABP A P BP A P B0.40.90.60.10.42(2)()
17、( )()0.60.90.54P XP ABP A P BX的分布列为X 0 1 2 P 004 042 054 00.041 0.4220.541.5.EX8、四川理18 （本小题共12 分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2 元（不足 1 小时的部分按1 小时计算）。 有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1 1,4 2；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为1 1,2 4；两人租车时间都不会超过四小时。（）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（） 求甲
18、、 乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望E；8解析：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0 元为11 114 28P，付 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 元为21 112 48P，付 4 元为31 114 416P则所付费用相同的概率为123516PPPP（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,81(0)81 11 15(2)4 42 2161 11 11 15(4)4
19、 42 42 4161 11 13(6)4 42 4161 11(8)4 416PPPPP分布列02468P185165163161165591784822E9、天津理16 （本小题满分13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3 个白球、 2个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在1 次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（）求在2 次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()E X. 9 本小题主要考查古典概型及其
20、概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 实际问题的能力.满分 13 分. （I）（i） 解：设 “在 1 次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),iAi则2132322531().5CCP ACC（ii）解：设“在1 次游戏中获奖”为事件B，则23BAA，又22111322222222253531(),2CCC
21、CCP ACCCC且 A2，A3互斥，所以23117( )()().2510P BP AP A（II）解：由题意可知X 的所有可能取值为0， 1，2. 212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100P XP XCP X所以 X 的分布列是X 0 1 2 P 9100215049100X 的数学期望921497()012.100501005E X10 重庆理 17 （本小题满分13 分） （）小问5 分， （）小问8 分）某市公租房的房源位于A，B，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的
22、任 4 位申请人中：（）恰有2 人申请 A 片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望10 （本题 13 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解：这是等可能性事件的概率计算问题. （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式2242C种，从而恰有2 人申请 A 片区房源的概率为224428.273C解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重
23、复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件A，则1().3P A从而，由独立重复试验中事件A 恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有2 人申请 A 片区房源的概率为22244128(2)( ) ( ).3327PC（II）的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)(2)272733PCC CC CCPP或12123342434444(3)(3).9933C C CC APP或综上知， 有分布列1 2 3 P 127142749从而有114465123.2727927E11. （2008全国理， 20）已知 5 只动物中有1 只患有某种疾
24、病, 需要通过化验血液来确定患病的动物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性的即没患病. 下面是两种化验方案 : 方案甲 : 逐个化验 , 直到能确定患病动物为止. 方案乙 : 先任取 3只 , 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明患病动物为这名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3 只中的 1 只, 然后再逐个化验 , 直到能确定患病动物为止; 若结果呈阴性则在另外2只中任取 1 只化验 . (
25、1) 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (2)表示依方案乙所需化验次数, 求的期望 . 解（1）设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则方案甲中1的分布列为11 2 3 4 P 515141545131435452324354方案乙中2的分布列为21 2 3 P 0 53CC31CC353435245232CC3524若甲化验次数不少于乙化验次数, 则P=P(1=1) P(2=1)+P(1=2) P(2=1)+P(2=2) +P(1=3) P(2=1)+P(2=2)+P(2=3) +P(1=4) =0+51（ 0+53）+51（ 0+53+
26、52）+52=2518=0.72. (2) E（）=10+253+352=512=2.4. 12. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为161. （1）求乙投球的命中率p；（2）若甲投球1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望 . 解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A， “乙投球一次命中”为事件B. 由题意得 (1- P( B)2=(1- p)2=161, 解得 p=43或 p=45（舍去），所以乙投球的命中率为43. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
27、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - （2）由题设和（ 1）知 P( A)=21, P(A)=21, P( B)= 43, P(B)=41. 可能的取值为0，1，2，3，故P(=0)=P(A) P(BB)=21241=321, P(=1)=P( A) P(BB)+12CP（B）P（B）P（A）=21241+2434121=327, P(=3)=P( A) P( BB)=21243=329, P(=2)=1- P(=0)- P(=1)- P(=3)=3215. 的分布列为0 1 2 3 P3213
28、273215329的数学期望E（）=0321+1327+23215+3329=2. 13. 设在 12 个同类型的零件中有2 个次品，抽取3 次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数. （1）求的分布列、期望值及方差；（2）求的分布列、期望值及方差. 解（1）的可能值为0，1，2. 若=0，表示没有取出次品，其概率为：P（=0）=31231002CCC=116; 同理，有 P（=1）=31221012CCC=229；P（=2）=31211022CCC=221. 的分布列为：0 1 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
29、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - P 116229221E（）=0116+1229+2221=21. D（）=(0-21)2116+2211229+2212221=223+889+889=4415. (2)的可能值为1，2，3，显然+=3. P(=1)=P(=2)=221, P(=2)=P(=1)=229, P(=3)=P(=0)=116. 的分布列为：1 2 3 P 221229116E（）=E（3-）=3- E（）=3-21=25. =-+3， D（）=（-1 ）2D（）=44
30、15. 14. 某地区的一个季节下雨天的概率是0.3 ，气象台预报天气的准确率为0.8. 某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000 元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500 元. （1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失的分布列，并求其平均值；（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写出的分布列 . 计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？解（1）设为损失数，分布列为：0 3 000 P 0.7 0.3 E（）=3 000 0.3=900 （元） . （2）设为损失数，则P（=0）=0.7 0.8=0.56.
31、P(=500)=0.3 0.8+0.7 0.2=0.38. P（=3 000 ）=0.3 0.2=0.06. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 分布列为：0 500 3 000 P 0.56 0.38 0.06 E（）=0+5000.38+3 000 0.06=370 平均每天损失为370 元. 370900，按天气预报作防雨处理是正确的选择. 15. （2008湖北理， 17）袋中有 20 个大小相同的球，其
32、中记上0 号的有 10 个，记上n 号的有 n 个（ n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. （1）求的分布列、期望和方差；（2）若=a+b, E（）=1,D（）=11, 试求 a, b 的值. 解（1）的分布列为0 1 2 3 4 P 2120110120351E（）=021+1201+2101+3203+451=1.5. D（）=(0-1.5)221+(1-1.5)2201+(2-1.5)2101+(3-1.5)2203+(4-1.5)251=2.75. (2) 由 D（）=a2D（）, 得 a22.75=11, 即 a=2. 又 E（）=aE（）+b, 所以当 a=2
33、 时, 由 1=21.5+ b, 得 b=-2. 当 a=-2 时, 由 1=-2 1.5+ b, 得 b=4. ,2, 2ba或42ba即为所求 . 16. A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由4 只小白鼠组成，其中2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 A 有效的概率为32，服用 B 有效的概率为21. （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察 3 个试验组，用表示这 3 个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望 . 名师资料总
34、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解（1）设 Ai表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只” ，i=0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只” ，i=0，1，2. 依题意有P（A1）=23132=94, P（A2）=3232=94. P( B0)= 2121=41, P( B1)=2 2121=21. 所求的概率为P=P( B0A1)+ P（B0A2）+P（B1A2）=4194+4
35、194+2194=94. （2）的可能值为0,1,2,3 ，且B(3,94). P（=0）=395=729125，P（=1）=13C 94295=243100, P(=2)=23C 29495=24380, P(=3)=394= 72964. 的分布列为0 1 2 3 P7291252431002438072964数学期望 E（）=0729125+1243100+224380+372964=34. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -