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1、二次函数综合题训练题型集合1、如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0) ，直线mxy与该二次函数的图象交于 A、B两点，其中A点的坐标为 (3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段 AB上的一个动点（点P 与 A、B不重合），过 P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE的长为h，点 P 的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线 AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由 . 2、如图
2、2，已知二次函数24yaxxc的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0） ，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离E B A C P 图 1 O x y D x y O 3 9 1 1 A B 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页P B A C O xyQ 图 3 3、如图3，已知抛物线cxbxay2经过 O(0,0) ，A(4,0),B(3,3) 三点，连结AB ，过点 B作 BC x轴交
3、该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、 Q分别从 O、A两点同时出发,以每秒 1 个单位长度的速度运动. 其中，点 P沿着线段0A向 A点运动，点Q沿着折线ABC的路线向 C点运动 . 设这两个动点运动的时间为t（秒 ) (0 t 4) ， PQA的面积记为S. 求 S与t的函数关系式； 当t为何值时， S有最大值，最大值是多少？并指出此时PQA的形状； 是否存在这样的t值，使得 PQA是直角三角形 ?若存在，请直接写出此时P、 Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. 4、 某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后， 公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4
4、 的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润S （万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系） . 根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30 万元；（4）求第 8 个月公司所获利是多少元？-3 0 -1 -2 1 2 3 4 S(万元 ) 图 4 1 23 4 5 6 t(月) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页5、(07 年海口模拟二 ) 如图 5，已知抛物线cxbxay
5、2的顶点坐标为E（1,0 ） ，与y轴的交点坐标为（0,1 ） . （1）求该抛物线的函数关系式. （2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4 ， A在 B的左边，过A作 AD x轴交抛物线于D，过 B作 BC x轴交抛物线于C. 设 A点的坐标为（t,0 ） ，四边形ABCD的面积为S. 求 S与t之间的函数关系式. 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得 PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时PAE的周长；若不存在，说明理由. 6、(07 浙江中考 )如图 6，抛物线22
6、3yxx与 x 轴交 A、B 两点（ A点在 B 点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求 A 、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P 是线段AC上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE长度的最大值；（3）点 G抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、 G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标； 如果不存在， 请说明理由。xyD 图 5 E B A C O 1 xyE O 1 备用图备用图 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
7、 - - -第 3 页，共 10 页7、 （ 07 海南中考）如图7，直线434xy与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点0,1B. （1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC按OAC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按OCA的路线运动， 当D、E两点相遇时， 它们都停止运动. 设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S . 请问D、E两点在运动过程中，是否存在DEOC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
8、请求出 S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；设0S是中函数S的最大值，那么0S = . CAMyBOx图 7 CAMyBOx备用CAMyBOx备用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页8、 （ 05 海南中考）如图8，抛物线cbxxy2与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点 . (1) 求该抛物线的解析式；(2) 设(1) 中的抛物线上有一个动点P，当点 P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足SPAB=8, 并求出此时P点的坐标；(3) 设(1) 中抛物线交y 轴于 C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点
9、Q，使得 QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 9、 （ 04 海口中考）如图9、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数 ). (1) 当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2) 设 A是(1) 所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作 AB x 轴于 B，DC x 轴于 C. 当 BC=1时，求矩形ABCD的周长；试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由. 图 8 xy0123
10、4-1-1-2-312A B C D 图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页10、 （07 本校模拟一）如图10，已知点A(0,8) ，在抛物线221xy上，以 A为顶点的四边形ABCD 是平行四边形，且项点 B，C，D在抛物线上，AD x 轴，点 D在第一象限 . (1) 求 BC的长；(2) 若点 P是线段 CD上一动点，当点P运动到何位置时，DAP的面积是7. (3) 连结 AC ，E为 AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线 OE将ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式
11、 . 11、 （07 本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型( 如图 11-1), 拱高 6 米,跨度 20 米, 相邻两支柱间的距离均为5 米. （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中( 如图 11-2 所示 ) ，其表达式是caxy2的形式 . 请根据所给的数据求出ca ,的值 . （2）求支柱MN的长度 . （3）拱桥下地平面是双向行车道( 正中间 DE是一条宽2 米的隔离带 )，其中的一条行车道能否并排行驶宽2 米、高 3 米的三辆汽车 (汽车间的间隔忽略不计) ？请说说你的理由. A B C D O y x 图 10M N 10 米20 米6 米5 米图 11-1 图 11-2D E
12、 O x A B C y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页E F P B A C O xyQ 图 13 二次函数综合题训练题型集合1、 (1) m=1. 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即 y=x2-2x+1. (2) 设 P、E两点的纵坐标分别为yP和 yE . PE=h=yP-yE =(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x. 即 h=-x2+3x (0 x3). (3) 存在 . 要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. 点 D在直线 y=x+1 上, 点 D的坐标为 (1,2),
13、-x2+3x=2 . 即 x2-3x+2=0 . 解之，得 x1=2，x2=1 ( 不合题意，舍去) 当 P 点的坐标为 (2,3) 时，四边形DCEP 是平行四边形 . 2、解： （1）二次函数的表达式为642xxy（2）对称轴为2x；顶点坐标为（2，-10 ） （3）将（m，m）代入642xxy，得642mmm，解得121,6mmm0，11m不合题意，舍去m=6点P与点Q关于对称轴2x对称，点Q到x轴的距离为 63、 （1） 所求抛物线的函数关系式为xxy334332. （2） 过点 B作 BEx轴于 E，则 BE=3，AE=1 ，AB=2. 由 tan BAE=3AEBE，得 BAE =
14、60. （）当点Q在线段 AB上运动，即0t2 时， QA=t，PA=4-t. 过点 Q作 QF x轴于 F，则 QF=t23， S=21PA QFtt23)4(21tt3432. （）当点Q在线段 BC上运动，即2t4 时， Q点的纵坐标为3，PA=4-t. 这 S=3)4(21t3223t（）当 0t2 时，3)2(4334322tttS. 043， 当t=2 时，S 有最大值，最大值S=3. （）当 2t4 时，3223tS023， S 随着t的增大而减小 . 当t=2 时， S有最大值，最大值332223S. 综合（）（），当t=2 时， S有最大值，最大值为3. PQA是等边三角形
15、. 存在 . 当点 Q在线段 AB上运动时，要使得 PQA 是直角三角形， 必须使得 PQA =90， 这时 PA=2QA ，即 4-t=2t，34t. P、Q两点的坐标分别为P1(34,0) ，Q1(310,332). 当点 Q在线段 BC上运动时，Q、 P两点的横坐标分别为5-t和t， 要使得 PQA是直角三角形， 则必须 5-t=t，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页25t P 、Q两点的坐标分别为P2(25,0) ，Q2(25,3) 4、 （1）由图象可知公司从第4 个月末以后开始扭亏为盈（2）由图象可知其
16、顶点坐标为(2,-2)，故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2. 所求函数关系式的图象过(0,0) ，于是得 a(t-2)2-2=0 ，解得a=21 . 所求函数关系式为：S=21t-2)2-2 或 S=21t2-2t. （3）把 S=30 代入S=21t-2)2-2 ，得21t-2)2-2=30 解得 t1=10，t2=-6 （舍去） . 答：截止到10 月末公司累积利润可达30 万元 . （4）把 t=7代入关系式，得S=2172-27=10.5 把 t=8 代入关系式，得S=21 82-28=16 16-10.5=5.5 答：第 8 个月公司所获利是5.5 万元 . 5、 （1）
17、抛物线cxbxay2顶点为 F（1,0 ）2)1( xay 该抛线经过点E（0,1 ）2)10(1a1a2)1( xy， 即函数关系式为122xxy. （2） A 点的坐标为（t,0 ）, AB=4 ，且点 C、D在抛物线上，B、 C、 D点 的 坐 标 分 别 为 (t+4,0)， (t+4, (t+3)2) ， (t,(t-1)2). 20844)3()1(21)(21222ttttABBCADS. 16)1(4208422tttS 当t=-1 时，四边形ABCD 的最小面积为16 此时 AD=BC=AB=DC=4，四边形 ABCD 是正方形 当四边形 ABCD 的面积最小时， 四边形 A
18、BCD 是正方形，其对角线BD上存在点 P, 使得 PAE的周长最小 . AE=4 （定值），要使 PAE的周长最小，只需PA+PE最小 . 此时四边形ABCD是正方形，点A与点 C 关于 BD所在直线对称 , 由几何知识可知，P是直线 CE与正方形ABCD 对角线 BD的交点 .点 E、B、C、D的坐标分别为（ 1,0 ） （3,0 ） （3,4 ） （-1,4 ）直线 BD ，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. P(35,34) 在 Rt CEB中， CE=524222, PAE的最小周长 =AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+52.6、解：（1）C（2
19、， 3）直线 AC的函数解析式是y=x1 （2）设 P点的横坐标为x（ 1x2）则 P、E 的坐标分别为： P（x，x1） ， （1 分）E （2(,23)x xxP点在 E点的上方，PE=22(1)(23 )2xxxxx当12x时， PE的最大值 =94（3）存在 4 个这样的点F，分别是1234(1, 0),(3, 0),(47 ),(47 )FFFFxyE O 1 D B A C P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页438342xxy（2）顶点 M的坐标7、解： （1）316,1过点 M作 MFx 轴于 F
20、 为FOCMAFMAOCMSSS梯形四边形=1013164213161321四边形 AOCM 的面积为 10 （3）不存在DE OC 若 DE OC ，则点 D、E应分别在线段OA 、CA上，此时 1t2，不满足 1t2. 不存在 DE OC 根据题意得D、E 两点相遇的时间为1124423543（秒）现分情况讨论如下：当0 t 1 时，2342321tttS； 当1t 2 时 ， 设 点E 的 坐 标 为22, yx544542ty， 516362tyttttS5275125163623212当2 t1124时，设点 E 的坐标为33, yx，类似可得516363ty设点 D的坐标为44,
21、yx532344ty，51264tyAODAOESSS512632151636321tt=572533t802430S10、 （1）四边形ABCD是平行四边形，AD=BC. A(0,8), 设 D点坐标为 (x1,8), 代入221xy中， 得 x1=4. 又 D点在第一象限， x1=4， BC=4. （2） C(2,2) ，D(4,8) ，A B C D O y x E ECAyOBxMDECAyOBFxMD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页直线 CD的函数关系式为y=3x-4. 设点 P 在线段 CD上，P(x
22、2,y2) ，y2=3x2-4. AD=BC=4, 214(8-y2)=7 ，y2=29. 3x2-4=29， x2=617. P(617,29), 即当点 P在(617,29) 的位置时， DAP的面积是 7. （3）连接 AC ，当点 E 运动到 AC的中点（或 AC与 BD的交点）时，即E点为ABCD 的中心，其坐标为E（1,5 ）, 直线 OE将ABCD 分成面积相等的两部分. 设直线 OE的函数关系式为y=kx, k=5，直线 OE的函数关系式为y=5x. 11、(1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是 (-10,0)、(0,6) 、(10,0). 将 B、C的坐标代入caxy2，得.1000,6cac解得6,503ca. 抛物线的表达式是65032xy. (2) 可设 N(5,Ny) ，于是5.4655032Ny. 从而支柱 MN的长度是 10-4.5=5.5米. (3) 设 DE是隔离带的宽， EG是三辆车的宽度和，则 G点坐标是 (7,0)(7=2223). 过 G点作 GH垂直 AB交抛物线于 H，则35013675032Hy. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车. G H 图 12-2 D E O x A B C y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页