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1、初中数学二次函数综合题目初中数学二次函数综合题目一解答题（共2 小题）1 （2012? 遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）的图象经过原点O，交 x 轴于点 A，其顶点 B 的坐标为（ 3，） （1）求抛物线的函数解析式及点A 的坐标；（2）在抛物线上求点P，使 SPOA=2S AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q， 使AQO 与AOB 相似？如果存在， 请求出 Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由2 （ 2012? 扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点
2、P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使 MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 初中数学二次函数综合题目2012 年 12 月郝吉辉的初中数学二次函数组卷参考答案与试题解析一解答题（共2 小题）1 （2012? 遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0 ）的图
3、象经过原点O，交 x 轴于点 A，其顶点 B 的坐标为（ 3，）（1）求抛物线的函数解析式及点A 的坐标；（2）在抛物线上求点P，使 SPOA=2S AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q， 使AQO 与AOB 相似？如果存在， 请求出 Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。1938326 专题：综合题。分析：（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A 的坐标（2）根据题意可得点P 到 OA 的距离是点B 到 OA 距离的 2 倍，即点 P 的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P 的横
4、坐标；（3）先求出 BOA 的度数，然后可确定Q1OA= 的度数，继而利用解直角三角形的知识求出 x，得出 Q1 的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2 的坐标解答：解： （1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a0 ） ，又函数的顶点坐标为（3，） ，解得： ，故函数解析式为：y=x2x，由二次函数图象的对称性可得点A 的坐标为（ 6，0） ；（2） SPOA=2S AOB，点 P 到 OA 的距离是点B 到 OA 距离的 2 倍，即点 P 的纵坐标为2，代入函数解析式得：2=x2x，解得： x1=3+3，x2=33，即满足条件的点P 有两个，其坐标为：P1（3+3
5、，2） ，P2（33，2） （3）存在过点 B 作 BPOA ，则 tanBAP= ，故可得 BOA=30 ，设 Q1 坐标为（ x，x2x） ，过点 Q1 作 Q1F x轴， OAB OQ1A ， Q1OA=30 ，故可得 OF=Q1F ，即 x=（x2x） ，解得： x=9 或 x=0（舍去），经检验得此时OA=AQ1 ，OQ1A 是等腰三角形，且和OBA 相似即可得 Q1 坐标为（ 9，3） ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - -
6、- - - - - 初中数学二次函数综合题目根据函数的对称性可得Q2 坐标为（ 3，3） 在抛物线上存在点Q，使 AQO 与AOB 相似，其坐标为： （9，3）或（ 3，3） 点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答2 （ 2012? 扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线l 上是否存在点M ，使
7、MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。1938326 专题：综合题；分类讨论。分析：（1）直接将A、 B、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可（2）由图知： A、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么 BC 与直线 l 的交点即为符合条件的P 点（3）由于 MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MA=AC 、MA=MC 、AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解解答：解： （1）将
8、A（1，0） 、B（3， 0） 、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c 中，得：，解得：抛物线的解析式：y= x2+2x+3（2）连接 BC，直线 BC 与直线 l 的交点为 P；设直线 BC 的解析式为y=kx+b ，将 B（3，0） ，C（0，3）代入上式，得：，解得：直线 BC 的函数关系式y=x+3；当 x=1 时， y=2，即 P的坐标（ 1，2） （3）抛物线的对称轴为：x=1，设 M（1，m） ，已知 A（1，0） 、C（0，3） ，则：MA2=m2+4 ，MC2=m2 6m+10， AC2=10 ；若 MA=MC ，则 MA2=MC2 ，得：m2+4=m26m+10，得：
9、 m=1；若 MA=AC ，则 MA2=AC2 ，得：m2+4=10，得： m= ；若 MC=AC ，则 MC2=AC2 ，得：m26m+10=10 ，得： m1=0，m2=6；当 m=6 时， M 、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为M （1， ） （1，）（1，1） （1，0） 点评：该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -