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1、精品_精品资料_平面几何中几个重要定理及其证明一、 塞瓦定理1塞瓦定理及其证明定理：在 ABC内一点 P,该点与 ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边 AB、BC、CA于点 D、AE、F,且 D、E、F 三点均不是 ABC的顶点,就有DFPADBECF1BECDBECFA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：运用面积比可得ADSDBSADP BDPS ADCS BDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据等比定理有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ADPS BDPS ADCS BDCS ADCS BDCS ADPS BDPS APC
2、S BPC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADSAPCBESAPBCFSBPC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DBS所以同理可得BPCECSAPC,FASAPB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三式相乘得ADBECF1 DBECFA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：在运用三角形的面积比时,要把握住两个三角形是“等高”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仍是“等底”,这样就可以产生出“边之比” 2. 塞瓦定理的逆定理及其证明
3、定理：在ABC三边 AB、BC、CA上各有一点 D、E、F,且 D、E、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F 均不是ABC的顶点,假设BF三线共点ADBECF DBECFA1 ,那么直线 CD、AE、A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 ：设直线 AE与直线 BF交于点 P,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/直线 CP交 AB于点 D,就据塞瓦定理有D /FDP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AD/BECF/ED / BECFA1BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 ADBECF1,所以有DBECFAADAD
4、/DBD/ B由于点 D、D 都在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/线段 AB上,所以点 D与 D重合即得 D、E、F 三点共线注：利用唯独性,采纳同一法,用上塞瓦定理使命题顺当获证 二、 梅涅劳斯定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ADECGFB3. 梅涅劳斯定理及其证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：一条直线与 ABC的三边 AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F,且 D、E、F 均不是 ABC的顶点,就有1ADBECFDBECFA证明：如图,过点 C作 AB的平行线,交 EF于点 G可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
5、_由于 CG / AB ,所以CGCFADFA 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 CG / AB ,所以CGECDBBE 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DBBECF由1 2可得 ADECFA,即得ADBECF1 DBECFA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：添加的帮助线 CG是证明的关键“桥梁” ,两次运用相像比得出两个比例等式,再拆去“桥梁” CG使得命题顺当获证4. 梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC的边 AB、BC上各有一点
6、 D、E,在边 AC的延长线1ADBECF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上有一点 F,假设DBECFA,AD/可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么, D、E、F 三点共线DBCEF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/证明：设直线 EF交 AB于点 D,就据梅涅劳斯定理有AD /BECF1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D/ BECFA由于 ADBECF1 ,所以有DBECFAADAD /DBD / B由于点 D、D都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/在线段 AB上,所以点 D与 D重合即得 D、E、F 三点共线注：
7、证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙,留意分析其相像后面的规律三、 托勒密定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABMEDC5托勒密定理及其证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 ：凸四边形 ABCD是某圆的内接四边形, 就有 ABCD+ BCAD= AC BD证明：设点 M是对角线 AC与 BD的交点,在线段 BD上找一点, 使得 DAE =BAM由于 ADB =ACB,即 ADE =ACB,所以 ADE ACB,即得ADDEACBC ,即 AD BCAC DE 1由于 DAE=BAM,所以 DAM=BAE,即 DAC=BAE.而 ABD=ACD,即 AB
8、E =ACD,所以 ABE ACD即得ABBEACCD ,即 AB CDAC BE 2由1+2得AD BCAB CDAC DEAC BEAC BD 所以 AB CD + BC AD = ACBD注：奇妙构造三角形,运用三角形之间的相像推得结论这里的构造具有特点,不简单想到,需要仔细分析题目并不断尝试可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 托勒密定理的逆定理及其证明定理：假如凸四边形 ABCD满意 AB CD + BCAD = AC BD,那么 A、B、C、D四点共圆证法 1同一法：在凸四边形 ABCD内取一点 E,使得 EABDAC , EBADCA ,BAB CD = BE A
9、C 1EAEADABAC 2DC就 EAB DAC A可得且就由DAECAB 及2可得 DAE CAB 于是有ADBC = DEAC 3由1+3可得 ABCD + BC AD = AC BE + DE 据条 件可得 BD = BE + DE,就 点 E 在线段 BD 上就 由EBADCA ,得 DBADCA ,这说明 A、B、C、D 四点共圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法 2构造转移法/延长 DA到 A ,延长 DB到 B ,使 A、B、B 、A 四点共圆延长 DC/到 C,使得 B、C、C、B 四点共圆如A /果能证明 A 、B 、C共线,就命题获证B/AB/那么,据圆
10、幂定理知 A、C、C 、A四点也共圆C/DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A/ B/A/ D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,ABBD,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B/ C/C/ D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCBD ABA/ DBCC/ D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 A/ B/B/ C/A/C/A/ DBD.ACA/ D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一方面,ACCD,即 A/ C/CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
11、_精品资料_ABA/ DBCC / D欲证BD=ACA/ DCD,即证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCDA/ DBCCDC/ DACBDA/ D即 BCCDC/ D ACBDABCD A/ D 据条件有 ACBDABCDADBC ,所以需证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCCDC/ DADBCA/ D ,/即 证 CDC/ DADA/ D, 这 是 显 然 的 所 以 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A/ B/B/ C /A/ C/,即 A 、B 、C共线所以A/ B/ B 与BB/ C/可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
12、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互补 由于A/ B/ BDAB ,BB/ C/DCB ,所以 DAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与DCB 互补,即 A、B、C、D四点共圆7. 托勒密定理的推广及其证明定理：假如凸四边形 ABCD的四个顶点不在同一个圆上,那么就有 AB CD + BC AD ACBDAB证明：如图,在凸四边形 ABCD内取一点 E,E使得EABDAC , EBADCA ,就DCEAB DAC 可得 AB CD = BE AC 1AEAB且ADAC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就由DAECAB 及2可得 DAE CAB 于
13、是ADBC = DE AC 3由1+3可得 ABCD + BC AD = AC BE + DE 由于 A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知AB CD + BC AD AC BD所以 BE + DE BD,即得点 E 不在线段 BD上,就据三角形的性质有 BE + DE BD所以 ABCD + BCAD ACBD四、 西姆松定理8. 西姆松定理及其证明定理：从 ABC外接圆上任意一点 P 向 BC、CA、AB或其延长线引垂线,垂足分别为D、E、F,就 D、E、F 三点共线/证明：如图示,连接 PC,连接 EF 交 BC于点 D,连接 PDAFDCEP由于 PEAE,PFAF,所以
14、A、F、P、E 四点共圆,可得FAE =FEP由于 A、B、P、C 四点共圆,所以 BACB=BCP,即 FAE =BCP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/所以, FEP=BCP,即 DEP=D CP,可得 C、D 、P、E 四点共圆/00/0所以, CDP +CEP= 180 .而 CEP= 90 ,所以 CDP = 90 ,/即 PDBC/由于过点 P 作 BC的垂线,垂足只有一个,所以点D与 D重合, 即得 D、E、F 三点共线注：1采纳同一法证明可以变被动为主动,以便充分的调用题设条件但需留意运用同一法证明时的唯独性2反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键,要把握好四点
15、共圆的运用手法五、 欧拉定理ADOHBEC9. 欧拉定理及其证明定理：设 ABC的重心、外心、垂心分别用字母 G、O、H表示就有 G、O、H三点共线欧拉线,且满意 OH3OG 证明向量法：连 BO并延长交圆 O于点 D.连接 CD、AD、HC,设 E为边 BC的中点,连接 OE和 OC就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OHOAAH 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 CDBC,AHBC,所以 AH / CD 同理 CH / DA 所以, AHCD为平行四边形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而得
16、AHDC 而DC2 OE,所以AH2 OE 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 OE1OBOC 2,所以 AHOBOC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得： OHOAOBOC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一方面, OGOAAGOA2 GFOAGBGC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而GBGOOB,GCGOOC ,所以可编辑资料 -
17、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OGOA2 GOOCOBOG1OAOBOC 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得： OH3OG 结论得证注：1运用向量法证明几何问题也是一种常用方法,而且有其特殊之处,留意把握向量对几何问题的表A现手法.DOG2此题也可用纯几何法赐予证明HBEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/又证几何法：连接 OH,AE,两线段相交于点G.连 BO并延长交圆 O 于点 D.连接 CD、AD、HC,设 E 为边 BC的中点,连接 OE 和 OC,如图由于 CDBC,AHBC,所以 AH / C
18、D 同理 CH / DA 所以, AHCD为平行四边形可得 AH = CD而 CD = 2OE,所以 AH = 2OE/由于 AH/CD,CD/OE,所以 AH/OE可得 AHGEOG所AHAG/HG /2以 OEG /EG/O1 /AG /2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 G / E1 ,及重心性质可知点 G就是ABC的重心,即 G与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 G重合所以, G、O、H三点共线,且满意 OH3OG 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、 蝴蝶定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 蝴蝶定理及其证明定
19、理 ：如图,过圆中弦 AB的中点 M任引两弦 CD和 EF,连接 CF 和 ED,分别交AB于 P、Q,就 PM = MQC/ EC/AQ QMPBDF/F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： 过点 M作直线 AB的垂线 l ,作直线 CF关于直线 l 的对称/直线交圆于点 C、F ,交线段 AB于点 Q连接 FF 、DF、QF 、DQ据圆的性质和图形的对称性可知：MF/ Q/=MFP, F/ Q/ M =FPM.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/且 FF/ AB,PM = MQ/ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/由于 C、D、F 、F 四点
20、共圆,所以CDF/ +CFF/ = 180 0,/0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而由 FF / AB可得 QPF +CFF = 180,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_/CDF=QPF,即 MDF=QPF/又由于 QPF =PQF ,即 QPF =MQF 所以有MDF/ =MQ/ F/ /这说明 Q、D、F 、M四点共圆,即得MFQ =QDM/由于 MFQ =MFP,所以MFP =QDM而 MFP =EDM,所/以 EDM = QDM这说明点 Q与点 Q重合,即得 PM = MQ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此定理仍可用解析法来证明：y
21、想法：设法证明直线 DE 和 CF 在 xEC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴上的截距互为相反数证：以 AB所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系, M 点是坐标原点设直线 DE、CF的方程分别为ABQMPxDF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x =m1y +n1 , x =m2y +n 2 .直线 CD、EF的方程分别为y =k1 x , y =k2 x 就经过 C、D、E、F 四点的曲线系方程为22 y k1 x y k2 x+ x m1 y n1 x m2 y n2=0 整理得+k1k2 x +1+m1m2 y k1 +k2+ m1+m2 xy n1+n2 x+ n1m2+n2m1 y+n1n2=0由于 C、D、E、F 四点在一个圆上,说明上面方程表示的是一个圆,所以必需+ k1 k2 = 1 +m1 m2 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 k1 +k2+ m1+m2=0 假设 =0,就 k1k2=1, k1+k2=0,这是不行能的,故0.又 y 轴是弦 AB的垂直平分线, 就圆心应落在 y 轴上,故有 n1+ n2 = 0,从而得 n1 + n 2 = 0 这说明直线 DE、CF在 x 轴上的截距互为相反数,即得 PM= MQ可编辑资料 - - - 欢迎下载