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1、第1页 共 13 页常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查 .2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下1命题的定义用语言、 符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1)原命题为“若p 则 q”，则它的逆命题为若q 则 p ；否命题为若p 则 q ；逆否命题为若q 则 p . (2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等
2、价四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即， 可以转化为判断它的逆否命题的真假命题真假判断的方法：(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明若判断其为假命题只需举出一个反例(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表(3)也可以利用 “ 互为逆否命题 ” 的等价性，判断其逆否命题的真假3充分条件与必要条件的定义(1)若 p? q 且 qp，则 p 是 q 的充分非必要条件(2)若 q? p 且 pq，则 p 是 q 的必要非充分条件(3)若 p?q且q?p，则 p 是 q 的充要条件(4)若 pq 且 qp，则 p
3、是 q 的非充分非必要条件设集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q ，则有第2页 共 13 页(1) 若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2) 若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3) 若AB，则p是q的充要条件；(4) 若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件2充分、必要条件的判定方法(1) 定义法，直接判断若p 则 q、若 q 则 p 的真假(2) 传递法(3) 集合法： 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现， 即Ax|p(x) ，Bx|q(x) ，则若A?B，则p是q的充分条件；若B?A，则p是q的必要条件；若
4、AB，则p是q的充要条件(4) 等价命题法：利用A? B 与 B? A，B? A与 A? B ， A? B与 B? A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础1 简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词(2)简单复合命题的真值表：p q p q p或 q p 且q (p 或 q)(p 且q)p 或q p 且q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2. 全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任
5、给”“所有的”等(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等3 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题(2)含有存在量词的命题叫特称命题4 命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题第3页 共 13 页(2)p 或 q 的否定：非p 且非 q；p 且 q 的否定：非p 或非 q. 注：1 逻辑联结词 “ 或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同如“xA 或 xB”，是指： xA 且 x?B；x?A 且 x B；xA 且 xB 三种情况再如“ p 真或 q 真”是指： p真且 q 假； p
6、假且 q 真； p 真且 q 真三种情况2 命题的否定与否命题“否命题 ”是对原命题 “若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定 ”即“非 p”，只是否定命题p 的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系3 含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题1(2013 皖南八校 )命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“
7、若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数选B. 2 (2012 湖北 )命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是() A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B 解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。2已知 a，b，cR，命题“若abc 3，则 a2b2c23”的否命题是 () A若 abc3，则 a2b2c23 B若 abc3，则 a2b2c
8、2y，则 x|y|”的逆命题B命题“若x1，则 x21”的否命题C命题“若x1，则 x2x 20”的否命题D命题“若x20，则 x1”的逆否命题答案A 第5页 共 13 页解析对于 A，其逆命题： 若 x|y|，则 xy，是真命题， 这是因为x|y|y y0y yy；对于 B，否命题：若x1，则 x21，是假命题如x 5，x2 251；对于C，其否命题：若 x1，则 x2 x20，因为 x 2 时，x2x20，所以是假命题；对于D，若 x20，则x0 或 x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 2已知命题p： ?nN,2n1 000 ，则p为( ) A?nN,2n1 000 B?nN,2
9、n1 000 C?nN,2n1 000 D?nN,2n1 000 解析特称命题的否定是全称命题即p：?xM，p(x) ，则p：?xM，p(x) 故选 A. 答案A 4 (2012 湖北改编 )命题“存在x0?RQ，x30Q”的否定是() A存在 x0D/?RQ，x30Q B存在 x0?RQ，x30D/QC任意 xD/?RQ，x3Q D任意 x?RQ，x3D/Q答案D 解析“存在 ”的否定是 “任意 ” ，x3Q 的否定是x3D/Q. 命题 “存在 x0?RQ， x30 Q” 的否定是 “任意 x ?RQ，x3D /Q”，故应选D. 1 (2011 安徽 )命题“所有能被2 整除的整数都是偶数”
10、的否定是() A所有不能被2 整除的整数都是偶数B所有能被2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2 整除的整数是偶数D存在一个能被2 整除的整数不是偶数答案D 解析由于全称命题的否定是特称命题，本题 “所有能被2 整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2 整除的整数不是偶数”2 (2012 辽宁改编 )已知命题 p：对任意x1，x2R，(f(x2)f(x1) (x2 x1)0，则 p 是() A存在 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1) 0 B对任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0 C存在 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)
11、0 D对任意x1，x2R，(f(x2) f(x1)(x2x1)0 答案C 解析p：存在 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2 x1)1”的否定是() A对任意实数x，都有 x1 B不存在实数x，使 x1 第6页 共 13 页C对任意实数x ，都有 x1 D存在实数x，使 x1 答案C 解析利用特称命题的否定是全称命题求解“存在实数x，使 x1”的否定是 “对任意实数x，都有 x1” 故选 C. 11给出以下三个命题：若 ab0，则 a0 或 b0；在 ABC 中，若 sin Asin B，则 AB；在一元二次方程ax2bx c0 中，若 b24ac0 的解集为x x12或x12? 2x2
12、x10，但 2x2x10D? /x12，故选 A. (2)在ABC 中，由正弦定理得sin Asin B? ab? AB.故选 B. 6 下列结论：若命题p：存在 xR，tan x1；命题 q：对任意xR，x2x 10.则命题“ p 且 q”是假命题；已知直线l1：ax3y 10，l2：xby1 0，则 l1 l2的充要条件是ab 3；命题“若x23x 20，则 x1”的逆否命题：“若x1，则 x23x20”其中正确结论的序号为_答案解析中命题 p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且q 为假命题，故正确；当 b a0 时，有 l1l2，故 不正确； 正确所以正确结论的序号为 . 5 下列命
13、题中正确命题的序号是_若 ac2bc2，则 ab；若 sin sin ，则 ；“实数a0”是“直线x2ay1 和直线 2x2ay 1 平行”的充要条件；若 f(x) log2x，则 f(|x|)是偶函数答案解析对于 ，ac2bc2，c20，ab 正确；对于 ，sin 30sin 150D? /30 150 ，所以 错误；对于 ，l1l2? A1B2A2B1，即 2a 4a? a0 且 A1C2A2C1，所以 对；对于 显第7页 共 13 页然对6已知 p(x)： x22xm0， 如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围为 _答案3,8) 解析因为 p(1)是假命题，所以
14、12m0，解得 m3；又因为p(2)是真命题，所以44m0，解得 m8.故实数 m 的取值范围是3m0”的否定是“? x0R,2x0 0”答案D 解析对 A，只有当p， q全是真命题时，pq 为真；对B，sin 12? 2k 6或 2k 56，kZ，故 “sin 12”是“ 6”的必要不充分条件；对C，l ， ? l或 l? ；对 D，全称命题的否定是特称命题，故选D. 15给出下列四个命题：命题“若 ，则 cos cos ”的逆否命题；“ ? x0R，使得 x20 x00”的否定是：“? xR，均有 x2x0”的否定应是：“? xR，均有 x2x0”，故 错；对 ，因由 “x24”得 x 2
15、，所以 “x24” 是“x 2”的必要不充分条件，故错；对 ，p，q 均为真命题，由真值表判定p 且 q 为真命题，故 正确 10给出下列命题：? xR，不等式x22x4x3 均成立；若 log2xlogx22，则 x1；“若 ab0 且 ccb”的逆否命题；若 p 且 q 为假命题，则p，q 均为假命题其中真命题是() ABCD答案A 解析中不等式可表示为(x1)2 20，恒成立； 中不等式可变为log2x1log2x2，得 x1；中由 ab0，得1a1b，而 c1，则mx22(m1)xm30 的解集为R”的逆命题其中真命题是 _( 把你认为正确命题的序号都填在横线上) 解析：原命题为真，而
16、它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误，正确又因为不等式mx22(m1)xm30 的解集为R，由m0m24m m?m0m1?m1. 故正确答案：3设 x，yR，则“ x2y29”是“ x3 且 y3”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件第9页 共 13 页答案B 解析结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手如图：x2y29 表示以原点为圆心，3 为半径的圆上及圆外的点，当x2y29 时， x3 且 y3 并不一定成立，当x2，y3 时， x2 y2 9，但 x3 且 y3 不成立；而x3 且 y 3 时，x2y29一定成立，故选B.
17、 一个命题的否命题、逆命题、 逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可4“ a0” 是“|a|0 ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析因为 |a|0? a0 或 a0? |a|0，但|a|0a0，所以 a0 是|a|0 的充分不必要条件，故选A. 50 x5 是不等式 |x2|4 成立的 () A充分不必要条件B必
18、要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由|x2|4 ，得 2x6。0 x5 是 2x12”是“ 2x2x10”的 () A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3 (2013 福建 )已知集合A1 ，a， B1,2,3 ，则“ a3”是“ A? B”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A 解析a3 时 A1,3 ，显然 A? B. 但 A? B 时， a2 或 3.所以 A 正确6 (2013 陕西 )设 a，b 为向量，则“|a b| |a|b|”是“ a b”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C
19、充分必要条件D既不充分也不必要条件答案C 解析由|a|b|cosa，b |a|b|，则有 cosa，b 1. 即 a， b 0 或 ，所以 ab.由 ab，得向量a 与 b 同向或反向，所以a，b 0 或第11页 共 13 页 ，所以 |a b|a|b|. (1)已知 p： 4xa4， q： (x2) (x3)0， 且 q 是 p 的充分条件， 则 a 的取值范围为 _【解析】设 q，p 表示的范围为集合A，B，则 A (2,3)，B(a4， a4)因为 q 是 p 的充分条件，则有A? B，则a42，a43，所以 1a6. 13设 p：xx20， q： 0 xm， 若 p 是 q成立的充分不
20、必要条件，则 m 的取值范围是_答案(2， ) 解析p：0 x2. 8 已知 p：? xR，mx220，q：? xR， x22mx10，若 pq 为假命题，则实数m的取值范围是() A1， ) B(， 1 C(， 2 D1,1 答案A 解析pq 为假命题， p 和 q 都是假命题由 p：? x R， mx220 为假命题，由綈 p：? xR，mx2 20 为真命题，m0. 由 q：? x R， x2 2mx 10 为假命题，得綈 q：? xR，x22mx10 为真命题， (2m)240? m21? m1 或 m1. 由 和得 m1，故选 A.第12页 共 13 页第13页 共 13 页大家都来
21、到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。光是莲藕的吃法就有很多：熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，还可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在温水里一泡，就是一杯清凉清甜的解暑饮料。用鲜莲叶来熬粥，蒸饭蒸鸡，或蒸其它肉类味道都是极鲜美的，做出来的食物均带着一股淡淡的莲叶清香。人们那么喜欢荷花，不单单是因为它的芳香美丽洁净高雅，更因为它全身是宝，每一处都可食可药可用。我最喜欢的是生鲜莲子羹。把剥好的莲子对半打开去芯，莲子芯很苦，可以药用，没有芯的莲子是甜的，正好用它熬糖水。把足量的生莲子洗净，和着一小片生姜一片鲜莲叶，放进清水锅里，盖着盖子大火烧滚，转小火熬二十分钟，捞起莲叶，加入冰糖，小火慢熬，边熬边搅拌，十五分钟后，一款既清香甘美又消暑解渴的莲子羹就做成了。这样的汤水，在炎热的夏季里，只要喝过一次都不会忘记。