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1、管理运筹学 ( 第二版 )课后习题参考答案第 1 章线性规划 ( 复习思考题 ) 1. 什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划 (Lin ear Programmi ng , LF) 是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现
2、极大值，有的则要求极小值。2. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：(1)唯一最优解：只有一个最优点；(2)多重最优解：无穷多个最优解；(3)无界解：可行域无界，目标值无限增大；(4)没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。3. 什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 ，决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“遅 约束
3、的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。4?试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。答：可行解：满足约束条件扎丸的解，称为可行解。基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。它们的相互关系如右图所示：5 ?用表格单纯形法求解如下线性规划解：标准化1可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。基可行解SA + S 2 1s.t. 列出单纯形表/4 3/2 0 1/2 8 /8 3/2 /6 /8 1/8 5/4 /4 1/2 /8 1/4/(1/8 3/4 13/2/(1/4 512 5故
4、最优解为二- 1，即心I八，此时最优值为 1士匚6. 表1 15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中1为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以代替基变量；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。表1 15某极大化问题的单纯形表勺巧6 0: ：b -i50 d 4解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下:解: (1) ， 11；(2) 阮存匚 監D 小口中至 少有一 个为零） . 7(3) 八d 3c. 0, a, 0* 4 心. (4) 为人工变量，且为包含M的大于零的数 , 量，且 为包含M的大于
5、零的数，. (5) 为人工变7 ?用大M法求解如下线性规划max Z = 5A, +3X; +6州2 + x2 4 3咼 290 xu+ x3l 270若j + 350s.t. 口“小9?某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV需要在第
6、三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？山门|解：设表示第一次投资项目i，设?表示第二次投资项目i，设?表示第三次投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为max Z- 1.2* + L61； + 1+4* 牢+屮s 30 x（c2F+A；hL2A；） + 30-A；H-1.2屮】 + L5h+ 1.2宮” + 30 - x；1-.曙- 屮岸乜15）0.LU：性0上123冲通过LINGO软件计算得：，- 1- 1 110?某家具制造
7、厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表117给出。问工厂应如何安排生产，使总利润最大？表117家具生产工艺耗时和利润表生产工序所需时间（小时）每道工序可用时间（小时）12345成型346233600打磨435643950上漆233432800利润（百元）2.734.52.53解：设表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,-,), 则max Z二+ 3乳+ 4.5.t + 2.5r +3 3X + 4A,+ 6 A.+ 2 AJ+ 3 36004為 + 3儿 + 5旺+ &旺 + 4A5
8、39502州+ 3x2+ 3A,+ 4.q + 3旺 0,/- L2,-%5通过LINGO软件计算得 : 厂黑 识氏 - 讥?-沁I -沁】11 ?某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A, B, C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表210所示。表1 18产品生产工艺消耗系数设甲乙丙备能力A （小时）111010B （小时）1045060C （小时）226030单位产品利润（元）1064（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。（2）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到6, 求最优生产计划。（3）产品甲的
9、利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？（4）设备A的能力如为100+10q，确定保持原最优基不变的q的变化范围（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。解：（1）设 分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型max Z = 10 片+6X2+ 铭0I(X)10X, + 4 v：+ 6002珀-2也+ 6 0标准化得max Z = 10 ij + 6 吗 + 4 杓 + Di. +0 x5 + 0 兀%r+ x, + = 10010 州+ 42+ 5* + Xj = 6002 4- 2JT?+ 6 码 + = 300s.t. 斗、耳q 0列出单纯形表010640
10、0r,b百X.0100111060010450300226T1064001 0 0 1000 1 0 600 0 1 15004003/51/210 200/31/10106012/51/201/10 0 150018006/5501 1501/502-10106%200/3015/65/301/610100/3101/62/31/6 0010000420 1008/310/32/30故最优解为L = 100 13：Xy -200 y，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为=671= 732(2) 产品丙的利润变化的单纯形法迭代表如下: 1065 000H儿b耳町q、6200/3015/65/
11、301/610100/3101/62/31/6 0010000420 10020/310/32/30要使原最优计划保持不变，只要20Cj_T0 2，即26a 6.673 .故当产品丙每件的利润增加到大于6.67 时，才值得安排生产。如产品丙每件的利润增加到6时，此时66.67，故原最优计划不变。(3) 由最末单纯形表计算出,I 2 A A打* =I ?. j =一10 + C| =】一 一 G 兰06 3 6, 解得 . ，即当产品甲的利润在I范围内变化时，原最优计划保持不5/3 -1/6 (T-2/3 1/6 0 1丿，新的最优解为解得八匕鼓，故要保持原最优基不变的(5) 如合同规定该厂至少
12、生产10件产品丙，则线性规划模型变成max Z= 10占十6坷+ 4為Ar+ ? + 舌 10010 E + 4 ,Y?+5 . ￥? 600* 2 州 * 2 扎 + 6 召 10s.t. S勺小去通过LINGO软件计算得到：三沢乜 沁沁 、=二总懐第 2 章对偶规划 (复习思考题 ) 1 ?对偶问题和对偶向量(即影子价值 ) 的经济意义是什么？答：原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。* 5/3-1/6r100 1 10 y(200 + 50g 1-
13、2/30(W二亍100 -20 (/ I-201Ji 300 ,3(100 - 20q)X； - B bf=B(4) 由最末单纯形表找出最优基的逆为对偶变量的值表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。2 ?什么是资源的影子价格？它与相应的市场价格有什么区别？答：若以产值为目标，则是增加单位资源i对产值的贡献，称为资源的影子价格 (Shadow Pric?。即有影子价格=资源成本+影子利润”因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源
14、的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。3. 如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？答： (1)最优性定理：设 ?分别为原问题和对偶问题的可行解，且= h!f，则X分别为各自的最优解。(2)对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。(3) 互补松弛性：原问题和对偶问题的松弛变量为 和、，它们的可行解；为最优解的充分必要条件是b (4) 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变
15、量的检验数的负值。若对应于原问题决策变量x的检验数，则对应于原问题松弛变量的检验数。4. 已知线性规划问题mai Z二铭 + 山 + lx、河* 3心* 玄2 ( 第”种资源 )* 6旺4- x2+ Xj K ( 第二种资源 )(1)求出该问题产值最大的最优解和最优值。(2)求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。(3)给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由2变为4, 最优解是否改变 ? (4) 代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第种资源3单位，应该如何定价？解：(1) 标准化，并列出初始单纯形表b 2 0 021/8由最末单纯性表可知，该问题的最优解为:
16、Aj =Q, X)= 0,為-2028310无86114120041/413/81/8/8013/265/41/43/401/23/2-1/202.1283106220112502080/61 2- 261（2）由原问题的最末单纯形表可知，对偶问题的最优解和最优值为: （3）两种资源的影子价格分别为2、0, 表示对产值贡献的大小；第一种资源限量由2变为4, 最优解不会改变。（4）代加工产品丁的价格不低于】一5. 某厂生产A, B, C, D4种产品，有关资料如表26所示。表26耗资源消产品资源供应量原料成本资源（公斤）（元/公斤）ABCD甲2312800 2.0乙54341200 1.0丙34
17、531000 1.5单位产品售价（元）14.52115.516.5b（1）请构造使该厂获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题（不计加工成本）。（2）该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出对偶问题的数学模型，资源甲、乙、丙的影子价格是多少？若工厂可在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料以扩大生产？（3）原料丙可利用量在多大范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）？（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划是否需要调整？解：（1）设分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型max Z =占 + 5A; + 3 + 4兀+ + Xi + 2
18、 塔005旺4 + 3血 + 4I4 12003 斗 + 4 A + 5 + 3 A4 5 “ /i * 3”丰5儿艺I2厲 * 峽 + 3y5 4s.t.丿i-解得影子价格分别为2、1.25、2.5。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进（3）原料丙可利用量在900,1100 范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划不需要调整。6 ?某企业生产甲、乙两种产品，产品生产的工艺路线如图21所示，试统计单位产品的设备工时消耗，填入表27。又已知材料、设备C和设备D等资源的单位成本和拥有量如表27所示表27资源消耗与资源
19、成本表3/4 -13/4 0 -11/4 0 0 1/4 1 产品资源成本资源消耗资源乙元/单位资源大的产品生产计划（1）设产品甲的计划生产量为，产品乙的计划生产量为，试建立其线性规划的数学模型；若将材料约束加上松弛变量，设备C约束加上松弛变量，设备D约束加上松弛变量，试化成标准型。（2）利用LINDO软件求得：最优目标函数值为18400,变量的最优取值分别为- 九匚厂以】 厂二汀-二心，则产品的最优生产计划方案是什么？并解释的经济意义。（3）利用LINDO软件对价值系数进行敏感性分析，结果如下:资源拥有量材料（公斤）60 50200 4200设备 C （小时）3040 10 3000设备D
20、（小时）6050204500据市场分析，甲、乙产品销售价格分别为13700元和11640元，试确定获利最Obj Coefficie nt Ran ges 240 26.67 73.33 试问如果生产计划执行过程中，甲产品售价上升到13800元，或者乙产品售价降低60元，所制定的生产计划是否需要进行调整？（4）利用LINDO软件对资源向量进行敏感性分析，结果如下：Right hand Side Ran ges Variable Curre nt Coef Allowable In crease Allowable Decrease 200 88 20 试问非紧缺资源最多可以减少到多少，而紧缺资源
21、最多可以增加到多少? 解：（1）建立的线性规划模型为60 再+50A：s 4200301, *40 耳W 300060 為七50 4500s.t. 将其标准化0X1x2= 200 + 2401.60 曲 + 50 丹 + A.- 420030 x(+ 40 + = 300060 x. + 50 X,+ 饥=4500（2）甲生产20件，乙生产60件，材料和设备C充分利用，设备D 剩余600单位。Resource Curre nt Rhs Allowable In crease Allowable Decrease 材料4200 300 450 设备C 3000 360 900 设备D4500 I
22、nfinity 300 s.t.（3）甲上升到13800需要调整，乙下降60不用调整。（4）非紧缺资源设备D最多可以减少到300, 而紧缺资源一材料最多可以增加到300, 紧缺资源一设备C最多可以增加到360。第 3 章整数规划（复习思考题）1. 整数规划的类型有哪些？答：纯整数规划、0-1规划和混合整数规划。2. 试述整数规划分枝定界法的思路。答：（1）首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。若相应的线性规划问题没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。（2）定界过程。对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目标函数值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问
23、题的解中，最大的目标函数值为整数规划问题的下界。当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。（3）剪枝过程。在下述情况下剪除这些分枝：若某一子问题相应的线性规划问题无可行解；在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值Z不优于现有下界。（4）分枝过程。当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。选取一个不符合整数条件的变量?作为分枝变量，若 ?的值是，构造两个新的约束条件：?或，分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。对任一个子问题，转步骤（1）. 3?试用分枝定界法求如下线性规划：解: 最优整数解为 :4 理-0空HI 111BlLPL1A幻=4 r3 2 :
24、- 349 5. J. 1 * 1 r 9坷 + 7X2 50州+勺+ E +焉+旺三50州+ * 斗怎 +暫*斗工50吗十? * 為 十兀 + 旺2 50* + .Y; + Aj + 哲 + x5 S0+ Jtj + x4+ AS+ 90+ X，! + X, + + X7 Wxr工04/= ，st.兀取整数八】Z,7解得：? = 0心=4.X = 32?再=”） . 二乩人=IQ J. = 4.Z -W第 4 章目标规划（复习思考题）1 ?某计算机公司生产A , B, C三种型号的笔记本电脑。这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产一台A，B, C型号的笔记本电脑分别需要5小时、8 小
25、时、12小时。公司装配线正常的生产时间是每月1700小时，公司营业部门估计A，B，C三种笔记本电脑每台的利润分别是1000元、1440元、2520元，而且公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出。公司经理考虑以下目标：第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足；第二目标：优先满足老客服的需求，A，B，C三种型号的电脑各为50台、50台、80台，同时根据三种电脑三种电脑的纯利润分配不同的加权系数；第三目标：限制装配线加班时间，最好不超过200小时；第四目标：满足各种型号电脑的销售目标，A，B，C三种型号分别为100台、120台、100台，再根据三种电脑的纯利润分配不同的加权系数；第五目标：
26、装配线加班时间尽可能少。请列出相应的目标规划模型，并用LINGO软件求解。解：建立目标约束。（1）装配线正常生产设生产A，B，C型号的电脑为 （台），为装配线正常生产时间未利用数， . 为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为mini ? !5 令隅+ 12 九+=1700(2)销售目标优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，A , 1000 1440 2520B，C三种型号的电脑每小时的利润是一，因此，老客户的销售目标约束为nin|20rf2+18(20 +18+21d；)+ 5x,斗8旺 + I2x. + d；- d；= 1700 州
27、+ 汁： -d ； = 50勺 + dy- cf；- 50咼+叭巧 二80州 + d； - rf； = 100心+ % - %= 120氐 + d - rf；= 1005A, + 8.Y?+ 12.v5 + rf, - =1900 xt工O,i= 1,2经过LINGO软件计算，得到 工二也- 芋 f 二乩，装配线生产时间为1900小时，满足装配线加班不超过200小时的要求。能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。销售总利润为100X1000+55X1440+80X2520=380800 （元）2?已知3个工厂生产的产品供应给4个客户，各工厂生产量、用户需求量及从各工厂到用户的单位产品的运输费
28、用如表43所示。由于总生产量小于总需求量，上级部门经研究后，制定了调配方案的8个目标，并规定了重要性的次序。表43工厂产量一用户需求量及运费单价（单位：元）3 4 生产量工厂用户152672354634523需求量（单位）200100450250第一目标：用户4为重要部门，需求量必须全部满足；第二目标：供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100个单位；第三目标：每个用户的满足率不低于80%; 第四目标：应尽量满足各用户的需求；第五目标：新方案的总运费不超过原运输问题（线性规划模型）的调度方案的10%；第六目标：因道路限制，工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务；第七目标：用户1和用户3的满足
29、率应尽量保持平衡；第八目标：力求减少总运费。请列出相应的目标规划模型，并用LINGO软件求解。解：假设三个工厂对应的生产量分别为300, 200, 400. （1）求解原运输问题由于总生产量小于总需求量，虚设工厂4, 生产量为100个单位，到各个用户间的运费单价为0。用LINGO软件求解，得到总运费是2950元，运输方案如下表所示。工厂用户1234生产量1100200300220020032501504004100100需求量 ( 单位) 200100450250(2) 下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。设 表示“工厂i ( i =1,2,3 ) 调配给用户j (j =1
30、,2,3,4 )的运量”，表示“从工厂i到用户j的单位产品的运输费用”，(j=1,2,3,4 )表示第j个用户的需求量，(i =1,2,3 ) 表示第i个工厂的生产量。f丸兰bi供应约束应严格满足，即；供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100个单位，即心 + d厂d：二100 .需求约束。各用户的满足率不低于80%，即ll卫 + + / ； = 80和十甩 +岛+ dq+d厂360 14 耳 + A.J+ d. + d.200 力求总运费最少，即I L % + % -町厂29,0 目标函数为min Z=片此 +Rd| + Pjd、+（/3 + rf4 + d*） + 片仏 + d? + &
31、 + dj+ P、dd；+ R仏+；） +% 应尽量满足各用户的需求，即14 新方案的总运费不超过原方案的10% （原运输方案的运费为2950 元），工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务，即MW 用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡，即200f - 而（岭 f f ）d.：= 0经过8次运算，得到最终的计算结果，见下表。总运费为3360元，高于原运费410元，超过原方案10%勺上限115元。工厂用户1234/ 、/ ? 1=1. 生产量11002003002901102003100250504004190100360250需求量（单位）2001004502503. 已知条件如表44所示表4
32、4数据资料小时（小时）ABI （小时/台）56200II （小时/台）3385利润（元/台）310455工序产品型号每周可用生产min 啊+片仏 +（/J+ +町十山）如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下：级目标：每周总利润不得低于10000元；，级目标：因合同要求，A型机每周至少生产15台，B型机每周至少生产20 台；级目标：希望工序I的每周生产时间正好为200小时，工序II的生产时间最好用足，甚至可适当加班。试建立这个问题的目标规划模型，并用LINGO软件求解。解：设分别表示生产A，B型机的台数。目标规划模型为用LINGO软件计算结果为：生产A型机15台，B型机21台，利润增加4129 元，工序II加班22.5小时。