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1、.*管理运筹学（第二版）课后习题参考答案第1章 线性规划（复习思考题）1什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。2
2、求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。3什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项，决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
3、4试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。答：可行解：满足约束条件的解，称为可行解。基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：5用表格单纯形法求解如下线性规划。s.t. 解：标准化 s.t. 列出单纯形表41200b02831102/808611018/64120041/413/81/81/80(1/4)/(1/8)013/265/41/43/41(13/2)/(1/4)01/23/2-1/2022831100
4、622011125020故最优解为，即，此时最优值为6表115中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以代替基变量；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。表115 某极大化问题的单纯形表000b0d41000215010033001000解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）为人工变量，且为包含M的大于零的数，；或者为人工变量，且为包含M的大于零的数，7用大M法求解如下线性规划。s.t. 解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：s.t. 列出单纯形表5360
5、0Mb01812110018/101621301016/3M1011100110/15+M3+M6+M000038/31/35/3011/3038/5616/32/31/3101/3016M14/31/32/3001/3114/2000011/20011/25/2631/20101/21/26371/21001/23/2141/20003/2040011135610201134011012001021M故最优解为，即，此时最优值为8A，B，C三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I，II两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表116所示。由于
6、需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少030单位，城市B的供应量不变，城市C的供应量不能少于270单位。试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。表116 单位电力输电费（单位：元）电站 城市ABCI151822II212516解：设为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2; j=1,2,3），建立模型如下：s.t. 9某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计
7、划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？解：设表示第一次投资项目i，设表示第二次投资项目i，设表示第三次投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为s.t. 通过LINGO软件计算得：10某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种
8、家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表117给出。问工厂应如何安排生产，使总利润最大？表117 家具生产工艺耗时和利润表生产工序所需时间（小时）每道工序可用时间（小时）12345成型346233600打磨435643950上漆233432800利润（百元）2.734.52.53解：设表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,5），则s.t. 通过LINGO软件计算得：11某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表210所示。表118 产品生产工艺消耗系数甲乙丙设备能力A（小时）1
9、11100B（小时）1045600C（小时）226300单位产品利润（元）1064 （1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。（2）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到6，求最优生产计划。（3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？（4）设备A的能力如为100+10q，确定保持原最优基不变的q的变化范围。（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。解：（1）设分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型s.t. 标准化得s.t. 列出单纯形表1064000b010011110010006001045010600300
10、226001150106400004003/51/211/100200/3106012/51/201/100150018006/5501/511500210106200/3015/65/31/6010100/3101/62/31/600100004201008/310/32/30故最优解为，又由于取整数，故四舍五入可得最优解为,（2）产品丙的利润变化的单纯形法迭代表如下：106000b6200/3015/65/31/6010100/3101/62/31/6001000042010020/310/32/30要使原最优计划保持不变，只要，即故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
11、如产品丙每件的利润增加到6时，此时66.67，故原最优计划不变。（3）由最末单纯形表计算出，解得，即当产品甲的利润在范围内变化时，原最优计划保持不变。（4）由最末单纯形表找出最优基的逆为，新的最优解为解得，故要保持原最优基不变的q的变化范围为（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，则线性规划模型变成s.t. 通过LINGO软件计算得到：第2章 对偶规划（复习思考题）1对偶问题和对偶向量（即影子价值）的经济意义是什么？答：原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带
12、来的。对偶变量的值表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。 2什么是资源的影子价格？它与相应的市场价格有什么区别？答：若以产值为目标，则是增加单位资源i对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price）。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购
13、进资源，减少不必要的损失。3如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系？答：（1）最优性定理：设分别为原问题和对偶问题的可行解，且，则分别为各自的最优解。（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的松弛变量为和，它们的可行解为最优解的充分必要条件是（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负值。若对应于原问题决策变量x的检验数，则对应于原问题松弛变量的检验数。4已知线性规划问题s.t. （1）求出该问题产值最大的最优解和最优值。（2）求出该问题的对偶
14、问题的最优解和最优值。（3）给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由2变为4，最优解是否改变？（4）代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单位，应该如何定价？解：（1）标准化，并列出初始单纯形表41200b02831102/808611018/64120041/413/81/81/802013/265/41/43/412601/23/2-1/2022831100622011125020由最末单纯性表可知，该问题的最优解为：，即，最优值为（2）由原问题的最末单纯形表可知，对偶问题的最优解和最优值为：（3）两种资源的影子价格分别为2、0，表示对产值贡献的
15、大小；第一种资源限量由2变为4，最优解不会改变。（4）代加工产品丁的价格不低于5某厂生产A，B，C，D4种产品，有关资料如表26所示。表26资源消耗资源产品资源供应量（公斤）原料成本（元/公斤）ABCD甲23128002.0乙543412001.0丙345310001.5单位产品售价（元）14.52115.516.5（1）请构造使该厂获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题（不计加工成本）。（2）该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出对偶问题的数学模型，资源甲、乙、丙的影子价格是多少？若工厂可在市场上买到原料丙，工厂是否应该购进该原料以扩大生产？（3）原料丙可利用量在多
16、大范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）？（4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划是否需要调整？解：（1）设分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型s.t. 初始单纯形表1534000b08002312100800/30120054340101200/40100034530011000/41534000最末单纯形表1534000b01001/40-13/4011/4-1420020-2101-15100-3/4111/400-3/41-13/40-11/400-1/4-1解得最优解为：，最优值（2）原问题的对偶问题的数学模型为 s.t.解得影子价格分别为2、
17、1.25、2.5。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进。 （3）原料丙可利用量在900,1100范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。 （4）若产品B的价格下降了0.5元，生产计划不需要调整。 6某企业生产甲、乙两种产品，产品生产的工艺路线如图21所示，试统计单位产品的设备工时消耗，填入表27。又已知材料、设备C和设备D等资源的单位成本和拥有量如表27所示。表27 资源消耗与资源成本表产品资源 资源消耗资源成本资源拥有量甲乙元/单位资源材料（公斤）60502004200设备C（小时）3040103000设备D（小时）6050204500据市场分析，甲、乙
18、产品销售价格分别为13700元和11640元，试确定获利最大的产品生产计划。（1）设产品甲的计划生产量为，产品乙的计划生产量为，试建立其线性规划的数学模型；若将材料约束加上松弛变量，设备C约束加上松弛变量，设备D约束加上松弛变量，试化成标准型。（2）利用LINDO软件求得：最优目标函数值为18400，变量的最优取值分别为，则产品的最优生产计划方案是什么？并解释的经济意义。（3）利用LINDO软件对价值系数进行敏感性分析，结果如下：Obj Coefficient RangesVariableCurrent CoefAllowable IncreaseAllowable Decrease20088
19、2024026.6773.33试问如果生产计划执行过程中，甲产品售价上升到13800元，或者乙产品售价降低60元，所制定的生产计划是否需要进行调整？（4）利用LINDO软件对资源向量进行敏感性分析，结果如下：Right hand Side RangesResourceCurrent RhsAllowable IncreaseAllowable Decrease材料4200300450设备C3000360900设备D4500Infinity300试问非紧缺资源最多可以减少到多少，而紧缺资源最多可以增加到多少？解：（1）建立的线性规划模型为s.t. 将其标准化s.t. （2）甲生产20件，乙生产6
20、0件，材料和设备C充分利用，设备D剩余600单位。（3）甲上升到13800需要调整，乙下降60不用调整。（4）非紧缺资源设备D最多可以减少到300，而紧缺资源材料最多可以增加到300，紧缺资源设备C最多可以增加到360。 第3章 整数规划（复习思考题）1整数规划的类型有哪些？答：纯整数规划、0-1规划和混合整数规划。2试述整数规划分枝定界法的思路。答：（1）首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。若相应的线性规划问题没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。（2）定界过程。对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目标函数值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子
21、问题的解中，最大的目标函数值为整数规划问题的下界。当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。（3）剪枝过程。在下述情况下剪除这些分枝：若某一子问题相应的线性规划问题无可行解；在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值Z不优于现有下界。 （4）分枝过程。当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。选取一个不符合整数条件的变量作为分枝变量，若的值是，构造两个新的约束条件：或，分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。对任一个子问题，转步骤（1）3试用分枝定界法求如下线性规划：s.t.解：最优整数解为：4有4名职工，由于各人的能力不同，每个人做各项工作所用的时间不同，
22、所花费时间如表37所示。表37（单位：分钟）时间 任务人员ABCD甲15182124乙19232218丙26171619丁19212317问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间最少？解：设，为个人i对于任务j的时间耗费矩阵，则建立整数规划模型为：s.t. 解得：，其余均为零，即任务A由乙完成，任务B由甲完成，任务C由丙完成，任务D由丁完成。5某部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五至少需要80人，周六周日每天至少需要90人，先规定应聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少。解：设表示在第i天应聘的雇员
23、人数（i=1,2,3,4,5,6,7）。数学模型为s.t.解得：第4章 目标规划（复习思考题）1某计算机公司生产A，B，C三种型号的笔记本电脑。这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产一台A，B，C型号的笔记本电脑分别需要5小时、8小时、12小时。公司装配线正常的生产时间是每月1700小时，公司营业部门估计A，B，C三种笔记本电脑每台的利润分别是1000元、1440元、2520元，而且公司预测这个月生产的笔记本电脑能够全部售出。公司经理考虑以下目标：第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足；第二目标：优先满足老客服的需求，A，B，C三种型号的电脑各为50台、50台、80台，同时根据
24、三种电脑三种电脑的纯利润分配不同的加权系数；第三目标：限制装配线加班时间，最好不超过200小时；第四目标：满足各种型号电脑的销售目标，A，B，C三种型号分别为100台、120台、100台，再根据三种电脑的纯利润分配不同的加权系数；第五目标：装配线加班时间尽可能少。请列出相应的目标规划模型，并用LINGO软件求解。解：建立目标约束。（1）装配线正常生产设生产A，B，C型号的电脑为（台），为装配线正常生产时间未利用数，为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为（2）销售目标优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，A，B，C三种型号的电脑每小时的利
25、润是，因此，老客户的销售目标约束为再考虑一般销售。类似上面的讨论，得到（3）加班限制首先是限制装配线加班时间，不允许超过200小时，因此得到其次装配线的加班时间尽可能少，即写出目标规划的数学模型s.t.经过LINGO软件计算，得到，装配线生产时间为1900小时，满足装配线加班不超过200小时的要求。能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。销售总利润为1001000+551440+802520=380800（元）。2已知3个工厂生产的产品供应给4个客户，各工厂生产量、用户需求量及从各工厂到用户的单位产品的运输费用如表43所示。由于总生产量小于总需求量，上级部门经研究后，制定了调配方案的8个目标
26、，并规定了重要性的次序。表43 工厂产量用户需求量及运费单价（单位：元）工厂 用户1234生产量152672354634523需求量（单位）200100450250第一目标：用户4为重要部门，需求量必须全部满足；第二目标：供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100个单位；第三目标：每个用户的满足率不低于80%；第四目标：应尽量满足各用户的需求；第五目标：新方案的总运费不超过原运输问题（线性规划模型）的调度方案的10%；第六目标：因道路限制，工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务；第七目标：用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡；第八目标：力求减少总运费。请列出相应的目标规划模型，并用LINGO
27、软件求解。解：假设三个工厂对应的生产量分别为 300，200，400 （1）求解原运输问题由于总生产量小于总需求量，虚设工厂4，生产量为100 个单位，到各个用户间的运费单价为0。用LINGO软件求解，得到总运费是2950元，运输方案如下表所示。工厂 用户1234生产量1100200300220020032501504004100100需求量（单位）200100450250（2）下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。设表示“工厂i（i=1,2,3）调配给用户j（j =1,2,3,4）的运量”，表示“从工厂i到用户j的单位产品的运输费用”，（j=1,2,3,4）表示第j个用户的
28、需求量， （i=1,2,3）表示第i个工厂的生产量。 供应约束应严格满足，即； 供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100个单位，即； 需求约束。各用户的满足率不低于80%，即应尽量满足各用户的需求，即 新方案的总运费不超过原方案的10%（原运输方案的运费为2950元），即 工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务，即 用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡，即 力求总运费最少，即目标函数为经过8次运算，得到最终的计算结果，见下表。总运费为3360元，高于原运费410元，超过原方案10%的上限115元。工厂 用户1234生产量11002003002901102003100250504004190
29、100360250需求量（单位）2001004502503已知条件如表44所示。表44 数据资料工序产品型号每周可用生产小时（小时）ABI（小时/台）56200II（小时/台）3385利润（元/台）310455如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下：级目标：每周总利润不得低于10000元；级目标：因合同要求，A型机每周至少生产15台，B型机每周至少生产20台；级目标：希望工序I的每周生产时间正好为200小时，工序II的生产时间最好用足，甚至可适当加班。试建立这个问题的目标规划模型，并用LINGO软件求解。解：设分别表示生产A，B型机的台数。目标规划模型为s.t.用LINGO软件计算结果为：生产A型机15台，B型机21台，利润增加4129元，工序II加班22.5小时。