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1、2023年基本不等式教学设计（基本不等式优秀教案）基本不等式教学设计1一、教学目标：（一）知识与技能1掌握不等式的三条基本性质。2运用不等式的基本性质对不等式进行变形。（二）过程与方法1通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。2通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。（三）情感态度与价值观通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。二、教学重难点教学重点： 探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。教学难点： 不等式基本性质
2、3的探索与运用。三、教学方法：自主探究合作交流四、教学过程:情景引入：1举例说明什么是不等式？2判断下列各式是否成立？并说明理由。( 1 ) 若x6=10, 则x16( )( 2 ) 若3x=15, 则 x5 ( )( 3 ) 若x610 则 x16( )( 4 ) 若3x15 则 x5 ( )（1）、（2）小题唤起对旧知识等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。温故知新问题1由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？等式性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所
3、得结果仍是不等式。教师引导：“”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“，”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。问题2你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。问题3你能由等式性质2进一步猜想不等式还具有什么性质吗？等式性质2：等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），等式依然成立。估计学生会猜：不等式两边都乘或除以同一个数（除数不能是0），不等号的方向不变。你能和小伙伴一起来验证你们的猜想吗？学生在小组内合作交流，发现了在不等式两边都乘或除以同一个数时，不等号的方向会出现两种情况。教师进一步引导学生通过分析、比较探索规
4、律，从而形成共识，归纳概括出不等式性质2和3。问题4在不等式两边都乘0会出现什么情况？问题5如果a、b、c表示任意数，且ab，你能用a、b、c把不等式的基本性质表示出来码？不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同之处，有什么不同之处？学生思考，独立总结异同点。引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”。综合训练：你能运用不等式的基本性质解决问题吗？1、课本62页例3教师引导学生观察每个问题是由ab经过怎样的变形得到的，应该应用不等式的哪条基本性质。由学生思考后口答。2、你认为在运用不等式的基本性质时哪一条性质最容易出错，应该怎样记住？3火眼金睛a1, 则2
5、a_aa3a,则 a _ 0通过变式训练，加深学生对新知的理解，培养学生分析、探究问题的能力。课堂小结：这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？教师引导学生回顾、思考、交流。回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。思考题咱们班的盛芳同学准备在五、一期间和他的爸爸、妈妈外出旅游。青年旅行社的标准为：大人全价，小孩半价；方正旅行社的标准为：大人、小孩一律八折。若两家旅行社的基本价一样，你能帮盛芳同学考虑一下选择哪家旅行社更合算吗？利用所学的数学知识，解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。基本不等式教学设计2（一）教学目标1知识与技能:使学生感受到在现
6、实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。（二）教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。（三）教学设想创设
7、问题情境问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d。问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600m
8、m的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。由以上不等关系，可得不等式组：练习第82页，第1、2题。知识拓展设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢？从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质：（1）（2）（3）（4）证明：例1讲解（第82页）练习第82页，第3题。思考：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：小结：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；2.利用不等式的有关基
9、本性质研究不等关系；作业：习题（第83页）：（A组）4、5；（B组）2.基本不等式教学设计3教学目的掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。教学过程师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。第二组：-7 1+4; 2x 6， a+2 0; 34。生：第一组都是等式，第二组都是不等式。师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不
10、等式号“”、“”或“”表示不等关系，其中“”和“”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（ 除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。练习1 (回答)用小于号“”填空。（1）7 _ 4; （2）- 2_6; （3）- 3_ -2； （4）- 4_-6练习2（口答
11、）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试
12、验。练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：74；-26；-3-2；-4-6。师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。（让同学回答。）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。（让同学回答。）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。（让同学回答。）现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。生：如果ab。那
13、么a+cb+c（或a-cb-c；如果ab，那么a+cb+c（或a-cb-c）。师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？生：没有什么要求。师：哪位同学来回答第二、三条性质？生甲：如果a0， 那么acb，且c0，那么acbc(或生乙：如果ab，且cb，且c0，那么acbd;(2)如果ab，那么ac2bc2;(3)如果ac2bc2，那么ab;(4)如果ab，那么a-b0;(5)如果axb，且a0，那么xa;生甲：（1）不对，当c=d0时，acbd不成立。生乙：（2）也不对，因为c2是一个非负数，当c=0时，ac2bc2不成立。生丙：（3）对，因为ac2bc2成立，则c2一定大于零，根据不等式基本性
14、质2，得ab出。（4）对，根据不等式基本性质，由ab，两边减去b得a-b0。（5）不对，当a0时，根据不等式基本性质3，得。（6）不对，因为当b0时，根据不等式基本性质1，得a+ba；而当b=0时，则有a+b=a。师：同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用。课外做以下作业：略。教案说明（1） 不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进行的。在初中阶段，对不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本性质。通过试验，由特殊到一般，由具体到抽象，这是一种认识事物规律的重要方法。科学上的许多发现，大多离不开试验和观察。大数学家欧
15、拉说过：“数学这门科学，需要观察，也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法，具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验，就得出一般的结论，是不严密的。但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。（2） 不等式的基本性质的教学，还应采用对比的方法。学生已学过等式和等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程中，应将不等式的性质与等式的性质加以比较：强调等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负数或零；而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等
16、式的方向，有什么不同的影响。通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关知识，便于引入新课，而且也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。（3） 在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是具体数，判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时，根据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向，就比较困难。因为它比较抽象，特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时，学生必须考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零三种情况加以讨论。在教学
17、过程中，对于这类题目，采用讨论法是比较好的。因为在讨论时，学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解，教师可以让学生说出解题的依据；对于错误的见解，教师可以进行启发引导，发动学生自己找出错误的原因，自己修正见解。这样，有利于发现问题，有的放矢地解决问题，有利于深化对不等式基本性质的认识。基本不等式教学设计41.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。2建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。3了解不等式或不等式组的实际背景。4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。
18、重点:.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。难点:1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。教学环节教师活动学生活动设计意图
19、导入新课日常生活中，同学们发现了哪些数量关系。你能举出一些例子吗？实例1.某天的天气预报报道，最高气温35，最低气温29。实例2.若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。实例3.两点之间线段最短。实例4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。在老师的引导下，学生肯定会迫不及待的能说出很多个例子来。即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。推进新课同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系，非常好。而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式，所举的实例都是反映不等量的关系。（下面利用电脑投影展示两个实例）实例5：限
20、时40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度v不超过40km/h。实例6：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于%，蛋白质的含量p应不少于%.同学们认真观看显示屏幕上老师所举的例子。让学生们边看边思考：生活中有许多的事情的描述可以采用不等的数量关系来描述过程引导能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但是我们还要能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，那么我们用什么知识来表示这些不等关系呢？什么是不等式呢？用大屏幕展示一组不等式-71+4;2x6;a+20;34.能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出
21、来，也就是建立不等式数学模型的过程通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于现实生活，这才是学习数学的最终目的。思考并回答老师的问题：可以用不等式或不等式组来表示不等关系。经过老师的启发和点拨，学生可以自己总结出：用不等号将两个解析试连接起来所成的式子叫不等式。目的是让学生回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号，的含义，是或的关系。回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了。此时学生已经迫不及待地想说出自己的观点了。合作探究（一）。下面我们把上述实例中的不等量的关系用不等式或不等式组一一的表示出来，那应该怎么表示呢？这两位同学的观点是否正确？老师要表扬学生：“很好！这样思考问题很严密。”应
22、该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达。（二）。问题一：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点。请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量的关系。老师提示：借助于图形，这个问题是不是可以解决？（下面让学生板演，结合三角形草图来表达）问题（二）：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？是不是还有其他的思路？为什么可以这样设？很好，请继续讲。这位学生回答的很好，表述得很准确。请同学们对两种解法作比较。问题（三）
23、：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等式关系的不等式？假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？右边的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？这位学生回答得很好，思维很严密，那么该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等式组把实际问题中隐藏的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好。请同学们完成书本练习第74页1，2。课堂小结：1.学习数学可以帮助我们解决实际生活中的问题。2
24、.数学和我们的生活联系非常密切。3.本节课巩固了二元一次不等式及二元一次不等式组，并且能用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题。还要注意思维要严密，规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用。布置作业：第75页习题 A组4，5。29t35x0|AC|+|BC|AB|AB|+|BC|AC|、|AC|+|BC|AB|、|AB|+|AC|BC|.|AB|-|BC|AC|、|AC|-|BC|AB|、|AB|-|AC|BC|.交被减数与减数的位置也可以。如果用表示速度，则v40km/h.f%或p%学生自己纠正了错误：这种表达是错误的，因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示次
25、实际问题中的不等量关系，即可以表示为也可表示为f%且p%.过点A作AC平面于点C，则d=|AC|AB|可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本。销售量变为(8-)万本，则总收入为(8-)x万元。即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8-)x20.解法二：可设杂志的单价提高了元，（n）我只考虑单价的增量。那么销售量减少了万本，单价为（+）元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为（+）（）20.截得两种钢管的总长度不能超过4000mm。截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。截得两种钢管的数量都不能为负数。它们是同时满足条件，应该是且的关系。由实际问题的意义，
26、还应有x,y要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：如果学生没有想到的话，老师可以在黑板上板演示意图，启发学生考虑三边的大小关系。此时启发学生“或”字可以吗？学生没有了声音，他们在思考着。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。此时学生们在思考，时间长的话，老师要及时点拨。让学生知道，在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，下面有学生的声音，有学生在讨论，有的学生还有疑问。老师注意关注学生的思维状况，并且及时的加以指导。此时学生已经真正进入本节课的学习状态，老师再给出问题（三）使学生一直处于跟随老师积极思考和解决问题的状态。问题是教学研究的核心，以问题展示的形式来
27、培养学生的问题意识与探究意识。()本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。基本不等式教学设计5一、三维目标：1、知识与技能：理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式
28、、比较大小、求取值范围等问题2、过程与方法：能够理解并建立不等式的知识链3、情感、态度与价值观：通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识4、本节重点：应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程5、本节难点：应用基本不等式求最值二、课程引入：第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：四个以a，b为直角边的直角ABC，组成正方形ABCD则如图可知： 即当且仅当小正方形EFGH面积为0时取等号，即时取得等号三、新课讲授：（一）基本不等式的推证：1、重要不等式与基本不等式由引入中提到的重要不等式，将其中的用代换，得到基本不等式，
29、当且仅当时，即时取得等号。特别注意，重要不等式的适用范围是全体实数，而基本不等式的使用需要2、基本不等式的几种表述方式平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长3、分析法推证基本不等式要证，只需证明（2）。要证明（2）只需证明（3）。要证明（3）只需证明（4）。（4）式显然成立，故得证。（二）基本不等式的应用与提高：1、你是设计师！（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。有以下两种方案：圆形花圃：造价12元/米矩形花圃：造价10元/米你觉得哪个方案更省钱
30、呢？分析及解答：因为初中学习过平面几何，同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大，由此可知，同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题，两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少，但是每米的花费高，所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派，可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。圆形花圃：矩形花圃：设两边为x，y，故当x=y时花费最少为400元（2）现在只有36米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？解：（3）有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智，用这36米的篱笆
31、，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？2、看谁算得快！3、大家来挑错！分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。本题的解答没有注意本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得。（三）小结：1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可用于全体实数。2、
32、积定和最小、和定积最大。3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等”四、作业：1、书后练习题。2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。五、课后反思：1、多媒体的运用。在引入部分，关于数学家大会的图标，如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果，让学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。2、应该引导学生多种思路考虑问题比如这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。3、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。一些简单的，同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答
33、的小题，让学生在很短的时间中完成。这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用，而且也对快速反应和解答题目进行了强化，提高学生解题效率。4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。基本不等式教学设计6教学重点1、创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2、从不同角度探索基本不等式的证明过程；3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路。教学难点1、对基本不等式从不同角度的探索证明；2、通过基本不等式的证明过程体
34、会分析法的证明思路。教具准备 多媒体及课件三维目标一、知识与技能1、创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2、尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3、从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件。二、过程与方法1、采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2、教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3、将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。三、情感态度与价值观1、通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界
35、和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2、学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3、通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣。教学过程导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国
36、人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）推进新课师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）生 应该先从此图案中抽象出几何图形。师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？（请两位同学在黑板上画。教师根据两位同学的板演作点评）（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观。此时教师用投影片
37、给出隐含的规范的几何图形）师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确。这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩。（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）过程引导师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和。师 一定吗？（大家齐声：不一定，有可能相等）师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab。正方形的边
38、长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b22ab。师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b22ab证明了吗？生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已。师 回答得很好。（有的同学感到迷惑不解）师 这样的叙述不能代替证明。这是同学们在解题时经常会犯的错误。实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明。（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b22ab。生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-
39、b)20，所以可得a2+b22ab。师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生 正确。教师精讲师 这位同学的证明思路很好。今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样。生 实质一样，只是设问的形式不同而已。一个是比较大小，一个是让我们去证明。师 这位同学回答得很好，思维很深刻。此处的比较法是用差和0作比较。在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”。（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）生 作商，用商和“1”比较大小。师 对。那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问
40、题中自然会遇到。（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）合作探究师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到。生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号。（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）师 从不等式a2+b22ab的证明过程能否去说明。生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号。师 这位同学回答得很好。请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致。（大家齐声）一致。（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用。就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）板书：一般地，对
41、于任意实数a、b，我们有a2+b22ab，当且仅当a=b时，等号成立。过程引导师 这是一个很重要的不等式。对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延。只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错。（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b22ab中得出什么。此时，教师应及时点拨、指引）师 当a0,b0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。生 完全可以。师 为什么？生 因为不等式中的a、bR。师 很好，我们来看一下代替后的结果。板书：即 (a0,b0)。师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式。它很重要，在数学的研究中有很
42、多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能。教师利用投影片展示推导过程的填空形式）要证：，只要证a+b2，要证，只要证：a+b-20，要证，只要证：显然是成立的，当且仅当a=b时，中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式。（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等
43、式的探究力度）合作探究老师用投影仪给出下列问题。如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DD，连结AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）合作探究师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？生 可证ACD BCD,所以可得。生 由射影定理也可得。师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？生表示半弦长，表示半径长。师 半径和半弦又有什么关系呢？生 由半径大于半弦可得。师 这位同学回
44、答得是否很严密？生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a0,b0)。课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b22ab。生 由a2+b22ab,当a0，b0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a0,b0)。进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式。生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式。（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本
45、不等式。并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a0，b0，及当且仅当a=b时等号成立。在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法。以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用。布置作业活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,的大小关系，并证明你的结论。分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明。（方法二）创设几何直观情景。设AC=a,BC=b，用a、b表示线段、的长度，由可得。板书设计基本不等式的证明一、实际情景引入得到重要不等式a2b22ab二、定理若a0，b0课后作业：证明过程探索：