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1、10101111 学年第一学期“微积分”期末复习指导学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章第一章函数函数一本章重点一本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。二复习要求二复习要求1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中.对于对数函数y y lnln x x不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数y y e ex x互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：u uv v e ev v lnln u u
2、.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、知道分段函数，隐函数的概念。.三例题选解三例题选解例 1.试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？.y y e esinsin2 2x x.y y arctan(arctan(1 11 1 x x2 2)分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。解：.y y e eu u,u u v v2 2,v v sins
3、inx x.y y arctanarctanu u,u u 1 1v v,v v x x2 2 1.1.例 2.y y arcarccotcot x x的定义域、值域各是什么？arcarccot1cot1？答：y y arcarccotcotx x是y y cotcot x x,x x(0,(0,)的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可 知y y arcarccotcot x x的 定 义 域 是D Df f (,)，值域为Z Zf f (0,(0,).arcarccot1cot1 4 4四练习题及参考答案四练习题及参考答案1.f f(x x)arct
4、anarctan x x则 f(x)定义域为，值域为f(1)=；f f(0)(0).2.f f(x x)arcsinarcsin x x则 f(x)定义域为，值域为f(1)=；f f(3 32 2).3.分解下列函数为简单函数的复合：.y y e e 3 3 x x.y y ln(ln(x x3 3 1)1)答案：答案：1.（-+）,(2 2,2 2),4 4,0 0-1-2.1,1,1 1,2 2,3 32 22 2 .3.y y e eu u,.y y lnlnu u,().limlimsinsin x x 1 1x x0 0 x xu u 3 3 x xu u x x3 3 1.1.1
5、11 1x x().lim(1lim(1)e e lim(1lim(1 x x)x xx xx x0 0 x x自我复习：习题一.（A）55、；习题一.（B）.11.记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限()的如下扩展形式求1 1 型未定式极限：1 1k kx xk klim(1lim(1)e e lim(1lim(1 kxkx)x xx x x x 0 0 x x1 1k kx x k klim(1lim(1)e e lim(1lim(1 kxkx)x xx x x x 0 0 x x第二章第二章极限与连续极限与连续一本章重点一本
6、章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。二复习要求二复习要求1了解变量极限的概念，掌握函数 f(x)在 x0点有极限的充要条件是：函数在 x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：5.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点 x0处连续的充要条是：函数在 x x0 0点极限存在且等于f f(x x0 0)，即：x xx x0 0limlimx x sinsinx x 0 01 1 0 0,x
7、 xlimlimsinsin x x 0 0 x x x xlimlim f f(x x)f f(x x0 0)3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当(x x)0 时,有：当分段函数在分段点x x0 0的左右两边表达式不相同时，函数 f(x)在分段点 x0处连续的充要条件则是：x xx x0 0limlim f f(x x)limlim f f(x x)f f(x x0 0).x xx x0 0sinsin(x x)(x x)；tantan(x x)(x x)6.掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数f f(
8、x x)在e e(x x)1 1(x x);x x0 0点间断，必至少有下列三种情况之一发生：ln(1ln(1 (x x)(x x);、f f(x x)在x x0 0点无定义；n n1 1 (x x)1 1(x x)n n、limlim f f(x x)不存在；x x x x0 01 1 coscos(x x)2 2(x x)2 2.、存在limlim f f(x x)，但limlim f f(x x)f f(x x0 0).x xx x0 0 x xx x0 0（参见教材 P79）4.掌握两个重要极限:-2-若x x0 0为f f(x x)的间断点，当limf(x)及xx0 xx0lim f
9、(x)都存在时，称x x0 0为f f(x x)的第一类间断点，特别limf(x)limf(x)时（即limlim f f(x x)xx0 xx0 x xx x0 0 x0lim f(x)limx0tan x 1 lim f(x)x0 x存在时），称x x0 0为f f(x x)的可去间断点；xx0即 D 也不对，剩下的 B 就是正确答案。由于limf(x)limf(x)时称x x0 0为f f(x x)的跳xx0跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性
10、质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材 P69 公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。2x221 2x21代换x2 limlim lim1222x0 x0 xx0 xsin x 应选择 D.例 3.求极限：ln(1ln(1 x x2 2)limlimx x0 01 1 coscos x xlimlim(x x三三.例题选解例题选解例 1.单项选择题下列极限中正确的是（）x x 2 2x x)x x 5 5解:此极限为A.limsin x1B.limxxxsin1x1x10 0型0 0当x 0时，有tan xsin x211D.lim
11、C.limx0 x0 xx 当x 0时，12x21是sin x的2x x2 2ln(1ln(1 x x)(x x),1 1 coscos x x2 22 22 2ln(1ln(1 x x2 2)x x2 2limlim limlim2 2 2 2x x0 0 x xx x0 01 1 coscos x x2 2 此极限为1型，可用重要极限。（）A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D.等价无穷小；分析与解：A 与 C 显然都不对，对于 D,limlim(x xx x 2 2x x3x)lim(1)xx x 5 5x 5tan x记f(x)，x3 lim(1)xx 5
12、x53x3x5tan xx则f(x)tan x xx 0 x533 lim(1)xx 53xx5x 0 e3.(lim33x x lim 3)xx 5xx 5f(x)limlimx0 x0tan x1x-3-x x2 2 9 9例 2判断函数y y 2 2的间断点，并x x x x 6 6判断其类型。x x2 2 9 9(x x 3)3)（x x+3)+3)解：由于y y 2 2x x x x 6 6(x x 3)(3)(x x 2)2)x x 3,3,.lim(lim(x x2 2x x 1 1x x)_；2 2x x 3 3x x 2 2是函数 y y 无定义的点，因而是函数 y y 的间
13、断点。x x3 3 _.limlim2 2x xx x0 0(e e 1)ln(11)ln(1 5 5x x2 2)cos(3cos(3x x)1tan1tan2.单项选择题设y y (x x 3)(3)(x x 3)3)x x 3 36 6 limlim limlimx x3 3(x x 3)(3)(x x 2)2)x x3 3x x 2 25 5x x 3 3为函数 y 的可去间断点；(x x 3)(3)(x x 2)2)，下面说法正确的是x x2 2 5 5x x 6 6(x x 3)(3)(x x 3)3)x x 3 3 limlim limlimx x2 2(x x 3)(3)(x
14、x 2)2)x x2 2x x 2 2x x 2 2为函数 y y 的第二类（无穷型）间断。例 3函数_；A.点x x 3,3,x x 2 2都是可去间断点；B.点x x 2 2是跳跃间断点，点x x 3 3是无穷间断点；C.点x x 2 2是可去间断点，点x x 3 3是无穷间断点；D.点x x 2 2是可去间断点，点x x 3 3是跳跃间断点；下面正确的是_.A.limlimx x 1 1 coscos 2 2f f(x x)2 2x x k k 在点x x 0 0处连续，求常数 k.x x 0 0 x x 0 01 1tantan x x 1 1；B.limlim x x sinsin
15、0 0；x x0 0 x x0 0 x xx x分析与解：由于分段函数f f(x x)在分段点x x 0 0的左右两边表达式相同，因此f f(x x)在x x 0 0连续的充要条件是C.limlimx x0 0tantan x xtantan x x 1 1.不存在；D.limlimx x0 0 x xx x 2 2limlim f f(x x)f f(0)(0)k k.x x0 0答案:1.同阶而不等价的；.e e；.2.C;.B.3 3.2020 x x2 2x x自我复习.习题二(A)1 1 coscos代换代换2 2 limlim8 811limlim f f(x x)limlim.(
16、4).24.,(4),.2 22 2x x 0 0 x x 0 0 x x 0 0 x xx x 1 11 1.k k .8 88 827.(4).28.,.30.37,.习题二(B).14.第三章第三章导数与微分导数与微分一一.本章重点本章重点.导数的概念，导数及微分的计算.x x四四.练习题及参考答案练习题及参考答案1.填空.当x x 0 0时，(e e 1)sin1)sin 2 2x x与二二.复习要求复习要求1.掌握函数 x x 在x x0 0处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，x x 在x x0 0处的导数的定-4-(1 1 x x 1
17、)ln(11)ln(1 2 2x x)相比，是_无穷小；义 式 常 用 的 有 如 下 三 种 形 式：f f (x x0 0)limlim x x0 0f f(x x0 0 x x)f f(x x0 0)x x 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：f f(x x0 0 h h)f f(x x0 0)limlimh h 0 0h hlnln y y 3 3x x lnln x x上式两边对x x求导，视y y为中间变量:f f(x x)f f(x x0 0)limlim.x x x x0 0 x x x x0 02.知道导数的几何意义，会求x在x0处的切线方程。3.熟记基
18、本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；复合函数求导法；隐函数求导法；取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。y y 3 31 1 lnln x x 3 3x x =x xy y2 2 3 3x xy y y y3 3x x3 3x x 1 1 lnln x x 1 1 2 2 3 3x x 1 1 lnln x x 1 1 2 2 1 12 2 x x 3 3x x3 3 x x (lnln
19、x x 1)1)2 2注：本题除此方法外，也可以：y e y e3xln x三三.例题选解例题选解例 1.求下列函数的导数：y y f f(1(1x x)，求y y,y y=x x3 3x x2 23xln x(13ln x 3x)x2 3x(tan(tan x x)e etantanx x secsec2 2x x.1 y y e etantan x xy y.dydy e etantanx x secsec2 2xdxxdx,求y y.，求dydy3 3.设y y=e etantanx x3 3x x2 2.y y 1 1 x x3 36 6x x(1(1 x x3 3)3 3x x2 2
20、 3 3x x2 23 3x x(2(2 x x3 3)y y 3 32 23 32 2(1(1 x x)(1(1 x x)例 2.设x在x 1处可导,且(1)2.y y ln(1ln(1 x x),求y y 解：、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：y y f f (1 1x x2 2)(1)(1x x2 2)f f (1(1 x x2 2)2 2x x 2 2x x f f (1(1 x x2 2).y y 2 2 f f (1(1 x x2 2)2 2xfxf (1(1 x x2 2)2 2x x 2 2 f f (1(1 x x)4 4x x f f (1(1 x x)-5-2
21、22 22 2求limlim(4(4 3 3x x)x x1 1x x 1 1分析:将 x x 在x x 1 1处的导数的定义式理解为结构式:(1)(1)=limlim0 0(1(1 )(1)(1)其中为x x 1或x的函数.且当x 0时,0 0即可.解:limlim(4(4 3 3x x)x x1 1x x 1 1 limlim(x x 1)1)x x1 1 3(3(x x 1)1)(3)3)3 3 f f (1)(1)6 6例 3求曲线x x3 3 y y3 3 3 3axyaxy a a3 3在点 0,0,a a 处的切线方程。解：显然，点 0,0,a a 在曲线上，现求切线的斜率，即y
22、 y(0,(0,a a)曲线方程两边对x求导：3 3x x2 2 3 3y y2 2 y y 3 3ayay 3 3axyaxy 0 0y y ayay x x2 2解得y y2 2 axaxy y(0,(0,a a)1切线方程为：y y a a x x即y y x x a a e e x x2 2例 4、设f f(x x)1 1 x x 0 0 x x 0 0 x x 0 0试讨论f f(x x)在x x 0 0处的连续性及可导性。分析与解：由已知，f f(0)(0)0 0；（1）讨论f f(x x)在x x 0 0处的连续性。e e x x2 2limlim 1 1x x 0 0f f(x
23、 x)limlimx x 0 0 x x代换代换2 2 limlim x xx x 0 0 x x 0 0 f f(0).(0).f f(x x)在x x 0 0处连续。（2）讨论f f(x x)在x x 0 0处的可导性。分 段 函 数 在 分 段 点 的 导 数 必 须 用 定 义 求：f f ()limlimf f（x x）f f(0)(0)x x 0 0 x x 0 0e e x x2 2 1 1 0 0 limlimx xx x0 0 x x 0 0e e x x2 2limlim 1 1代换代换x x0 0 x x2 2 limlim x x2 2 x x0 0 x x2 2 1
24、1即存在f f ()1.1.四四.练习题及参考答案练习题及参考答案1.单项选择题 ln(1ln(1 x x2 2).设x x2 2x x 0 0f f(x x)1 1x x 0 0 下面说法正确的是（）.A.f f(x x)在x x 0 0不连续；B.f f(x x)在x x 0 0连续，但不可导；C.f f(x x)在x x 0 0可导，且f f (0)(0)1 1；D.f f(x x)在x x 0 0可导，且f f (0)(0)0 0.2.填空题f f(x x)在x x x x0 0处可导，且f f (x x0 0)1 1,则（1）limlimf f(x x0 0 h h)f f(x x0
25、 0 h h)h h0 0h h _3.求函数的导数或微分：1 1y y x xx x,求y y y y f f ln(1ln(1 x x)(x x 1)1),求y y,y y y y lnlnx x2 2 1 1，求dydy.4.设y y3 3 x x cos(cos(xyxy)确定y y是x x的函数，求-6-dydy，并求出函数在点(0,1)(0,1)的切线方程。dxdx5、证明：（1）若f(x)是偶函数且可导，那么f(x)是奇函数，（2）若f(x)是奇函数且可导，那么注意:洛必达法则只能直接用于求“0”型或0”型未定式的极限，对于其他类型的未定式0极限，必须将其转化为“”型或“”型未定
26、0式才能使用法则。洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.f(x)是偶函数，答案：1.D.2.2 23.y y x x(2).y y
27、1 1 2 2x x(1(1 lnln x x)1 1 f f ln(1ln(1 x x)；x x 1 1y y 1 1f f ln(1ln(1 x x)2 2(x x 1)1)1 1f f ln(1ln(1 x x)(x x 1)1)2 2x xdxdx.x x2 2 1 1.dydy dydy1 1 y ysin(sin(xyxy)4.；2 2dxdx3 3y y x xsin(sin(xyxy)切线方程：3 3y y x x 3 3.自我复习:习题三(A)13；21,，；24.，；25；26.,;27.；29.，；47.，54.习题三(B)1；3；11.三三.例题选解例题选解例 1.求下
28、列极限e ex x sinsin x x 2 2x x 1 1(1).limlimx x0 0 x xln(1ln(1 x x)(2).x x 0 02sin2sin x xlimlim x x 第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用一一.本章重点本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；(3).limlim x x0 0解：1 1 1 1 x xln(1ln(1 x x)0 0()0 0e ex x sinsin x x 2 2x x 1 1(1)limlimx x0 0 x xln(1
29、ln(1 x x)代换代换二二.复习要求复习要求1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。e ex x sinsin x x 2 2x x 1 1 limlimx x0 0 x x2 2洛洛2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。-7-e ex x coscos x x 2 2limlimx x0 02 2x x0 0()0 0e ex x sinsin x xlimlimx x0 02 2洛洛(不是未定式不是未定式)例 2.求函数y y 间和拐点。解：函数y y x x的单调区间和极值，凹凸区1 1 x x2 21 1=.2 2(2)原式为幂
30、指型不定式（0 0型），利用代数变0 0 x x的定义域为(,)2 21 1 x x换：u uv v e ev v lnln u u，得：limlim2sin2sin x x2si2si n n x x lnlnx x 0 0 x x x xlimlimx x 0 0 e e e eli limm 2si2si n n x x lnln x xx x0 0 其中limlimx x0 0 2sin2sin x x lnln x x(0(0 )xlim02xlnx（代换）limlim2ln2ln x x0 0（）x x1 1x x2 2洛洛 limlimx xx x0 0 1 1x x2 2 li
31、m(lim(2 2x x)0 0.原式e e0 0 x x0 0 1 1(3)limlim 1 11 1 x x0 0 x x ln(1ln(1 x x)(型)=limlimln(1ln(1 x x)x xx x0 0 x xln(1ln(1 x x)(通分化为00型)=limlimln(1ln(1 x x)x xx x0 0 x x x x（代换）1 1 limlim1 1 x x 1 1x x0 02 2x x（洛必达）limlim x x1 1x x0 02 2x x(1(1 x x)2 2.(1(1 x x2 2)2 2x x x x1 1 x x2 2y y (1(1 x x2 2)
32、2 2(1(1 x x2 2)2 2，y y (2 2x x)(1(1 x x2 2)2 2 2(12(1 x x2 2)2 2x x(1(1 x x2 2)(1(1 x x2 2)4 4 2 2x x(x x2 2 3)3)(1(1 x x2 2)3 3。令y y (1(1 x x)(1)(1 x x)(1(1 x x2 2)2 2 0 0，得驻点x x 1 1，x x 1 1；无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：x x(,1)1)1 1(1,1)1,1)1 1(1,(1,)y y 00 0 y y极小极大令y y 2 2x x(x x 3)(3)(x x 3)3)(1(1
33、 x x2 2)3 3 0 0得x x 0,0,x x 3 3，无y y 不存在的点。曲线的凹向及拐点列表讨论如下：x x(,3)3)3 3(3,0)3,0)0(0,(0,3)3)3 3(3,3,)y y-0+0-0+y y拐点拐点拐点由上面的讨论看出：函数y y x x1 1 x x2 2的单减区间为(,1)1)(1,(1,)；单增区间为 1,1,11。极小值是y y(1)1)1 12 2，-8-极大值是y y(1)(1)1 1。2 2F F(x x)arctanarctanx x2 2 1 1 arcsinarcsin1 1x xx x曲线y y 的凸区间是(,3)3)(0,(0,3)3)
34、2 21 1 x x凹区间是(3,0)3,0)(3,3,)。由拉格朗日定理的推论，若能证明F F(x x)0 0则 F F(x x)c c，再确定c c 2 2即可。曲线y y 3 3x x(3,3,)，的拐点有三个：2 24 41 1 x x3 3)。4 4证：当x x 1 1时，(0,0)(0,0)，(3,3,例 3.证明不等式(1(1 x x)ln(1)ln(1 x x)1 12 2x x x x2 2(x x 0)0)分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令1 1()1 1x xF F(x x)(x x2 2 1)1)2
35、 22 21 11 1(x x 1)1)1 1()2 2x x1 11 12 2x xx x2 2 2 22 21 11 1 x x 1 12 2 x x 1 1x x2 2 1 1x x 1 1x xx x 1 12 2 1 1x xx x 1 12 2 0 0f f(x x)(1(1 x x)ln(1)ln(1 x x)1 12 2x x x x2 2F F(x x)c c(x x 0)0)则问题转化为证f f(x x)0 0 f f(0)(0)即证在x x 0 0时，f f(x x)单减。F(1)arctan0arcsin1c c 2 2 2，证毕！5 54 43 3f f (x x)l
36、n(1ln(1 x x)1 1 x x x x 1 11 1 x x例 5 求出函数y y x x 5 5x x 5 5x x 1 1在区间 ln(1ln(1 x x)x x 2,12,1上的最大、最小值。解：显然函数y y x x 5 5x x 5 5x x 1 1在闭区间5 54 43 3f f (x x)1 1 x x 1 1 0 01 1 x x1 1 x xx x 0 0时，f f (x x)单减，有 2,12,1上连续，因而必存在最大、最小值。y y 5 5x x4 4 2020 x x3 3 1515x x2 2 5 5x x2 2(x x 1)(1)(x x 3)3)由y y
37、0 0，解得区间(1,2)1,2)内的可疑点为：f f (x x)f f (0)(0)0 0f f(x x)也单减，有f f(x x)f f(0)(0)0 0，证毕。例 4.证明：对任意x x 1 1，有x x1 1 0,0,x x2 2 1 1.比较以下函数值，arctanarctanx x2 2 1 1 arcsinarcsin1 1 x x2 2f f(1)1)10,10,f f(0)(0)1,1,f f(1)(1)2,2,f f(2)(2)7 7分析：本题为恒等式的证明。我们设-9-得f fmaxmax(1)(1)2,2,f fminmin(1)1)1010.5.证明当x x 0 0时
38、，有：例 6.某食品加工厂生产x单位的总成本为arctanarctanx x arctanarctan参考答案：1.(1).1 1x x C C，并求出常数 C.C C(x x)200200 4 4x x 0.030.03x x2 2，得到的总收益是R R(x x)8 8x x 0.020.02x x2 2，求出生产该商品x单位的边际利润、生产 300 单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。解：.利润函数1 1；.0 0；.e e.2 2L L(x x)R R(x x)C C(x x)0.010.01x x2 2 4 4x x 2002004.单增区间(,1)1)(3,(3,)；边际利润
39、函数L L(x x)0.020.02x x 4 4.当x x 300300时，单减区间(1,1)1,1)；极大值y y(1)1)1414，极小值y y(3)(3)1818；上凹区间（1 1）；下凹（凸）区间（-1 1）；拐点（1,1,2 2）.5.C C L L(300)(300)0.020.02 300300 4 4 2 2.令L L(x x)0.020.02x x 4 4 0 0解得：x x 200200 2 2L L(200)(200)0.020.02 0 0，产量x x 200200单位时，可获最大利润。注：设函数y f(x)可导，导函数f(x)也称为边际函数。.自我复习：自我复习：习
40、题四（A）8,9.,，；14.,；18.，；19.；20.,；32.，；37；41。习题四（B）10；12.四四.练习题与参考答案练习题与参考答案1.求极限(1)limlim x x(1(1 coscosx x2 21 1)x xlim(lim(x x0 01 11 1)x xsinsin x x1 1lnln x xlim(tanlim(tan x x)x x0 02.证明.当x x 1 1时，有:(x x 1)ln1)ln x x 2(2(x x 1)1).3 证明：coscos x x 1 1 3 32 21 12 2x x2 2(x x 0)0)4.求y y x x 3 3x x 9 9x x 9 9单调区间和极值，凹凸区间和拐点。-10-