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1、单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线初中锐角三角函数是如何定义的？初中锐角三角函数是如何定义的？OMP sin=OPMPcos=OPOMtan =OMMP当OP=1时，sin=MP cos =OM设设P P（x,y)x,y)是是终边上任一点终边上任一点, ,线段线段0P0P的长度为的长度为 r r复习：任意角三角函数的定义复习：任意角三角函数的定义比值叫做的正弦，记作，即rysinrysin比值叫做的余弦，记作，即rxcosrxcos比值叫做的正切，记作，即xytanxytanxOP(x,y)y.角角的终边的终边1.1.设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于
2、点P P（x x，y y），角），角的三角函数是怎样定义的？的三角函数是怎样定义的？sinycosxtan(0)yxx2.2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其数学意义如何？其数学意义如何？ sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等. .4.4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. .我们从数我们从数的
3、观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一意义，就能实现数与形的完美统一. .可以用何种几何元素表示任可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？意角三角函数值？ 由三角函数的定义我们知道，对于角由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用的各种三角函数我们都是用比值比值来表示的，来表示的，或者说是用或者说是用数数来表示的，今天我们再来学习来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数正弦、余弦、正切函数的另一种的另一种表示方法表示方法几何表示法几何表示法 新课讲授新课讲授一、单位圆：一、单位
4、圆： 1、定义：定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆单位圆。oyxPMN2、单位圆与x轴的交点： 单位圆与y轴的交点： （1，0）和（-1，0）（0，1）和（0，-1）3、正射影：正射影：过P作PM垂直X轴于点M， PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别 是点P在X轴、Y轴上的正射影正射影 AT 问题问题1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆为第一象限角，其终边与单位圆的交点为的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是正数，都是正数，你能分别用一条线段表示角你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？的正弦值和余弦值吗？sinycosxP P（x x，y y）O
5、Ox xy yM|sinMPy|cosOMx问题问题2 2：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，都是负数，此时角此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M A AT T问题问题1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单为第一象限角，其终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用是正数，用哪条有向线段表示角哪条有向线段表示角的正切值最
6、合适？的正切值最合适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T问题问题2 2：若角若角为第四象限角，其终边与单位为第四象限角，其终边与单位圆的交点为圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，是负数，此时用哪条有向线段表示角此时用哪条有向线段表示角的正切值最合的正切值最合适？适？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考：思考：若角若角为第二象限角，其终边与单位圆的交为第二象限角，其终边与单位圆的交点为点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条是负数，此时用哪条有向线段表示角有
7、向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？tanyxtanyATxtanyx思考：思考：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向是正数，此时用哪条有向线段表示角线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx思考：思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角的终边或其反的终边或其反向延长线相交于点向延长线相交于点T
8、T，则，则AT=tan.AT=tan.A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P 我们称有向线段OM为角的余弦线.根据实际需要，我们规定：根据实际需要，我们规定：OMOM与与X X轴轴同向同向时，方向为时，方向为正向正向，且有，且有正值正值X X；OMOM与与X X轴轴反向反向时，方向为时，方向为负向负向，且有，且有负值负值X.X.有向线段：带有方向的线段. 如:有向线段OM,始点为O点，终点为M点，方向为：由O点指向M点这样，对任意角,都有： OMcos 我们把向量我们把向量 分别叫分别叫做做的的余弦线、正弦线和正切线余弦线、正弦线和正切线.,()OM MPAT
9、AT和和或或 xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()例例1 1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线332（1） ；（；（2） 例2.作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线： （1） （2） （3） 65cos,41cos? 例题3324 例2.比较三角函数值的大小： 例3.比较三角函数值的大小：65cos,41cos?例例4.比较大小：比较大小：(1) sin1和和sin1.5; (2) cos1和和cos1.5; (3) tan2和和tan3.解：由三角函数线得解：由三角函数线得sin1cos1.5
10、探究：探究：当当0/2时，总有时，总有 sintan.SPOAS扇形扇形AOPSAOTMPOA/2OA OA /2OA AT /2MPATsintan例例5 5：设：设 为锐角，试证为锐角，试证: : 1.1.P PO Ox xy yM证明：cossin 如图示： = =cosOM =sinMP|,|MPMPOMOM1cossin1|OPOMMP 为锐角例例6. 利用单位圆中的三角函数线利用单位圆中的三角函数线.76tan54tan;76cos54cos;110sin40sin:00与与与比较大小若 ，试确定sin的取值范围.365cos呢呢?课堂小结1、三角函数线的作法；、三角函数线的作法；2、三角函数线的作用：、三角函数线的作用：利用三角函数线确定角的终边；利用三角函数线确定角的终边；利用三角函数线比较三角函数值的大小；利用三角函数线比较三角函数值的大小；利用三角函数线确定角的集合或范围利用三角函数线确定角的集合或范围.