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1、二项式定理复习二项式定理复习nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(通项（第通项（第r+1r+1项）：项）：1rT I.I.在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两的两项的二项式系数相等项的二项式系数相等. . .如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大的二项式系数相等并且最大. . .在二项展开式中，所有二项式系数的和等于在二项展开式中，所有二项式系数的和等于 ；奇数项的二项式系数的和等
2、于偶数项的二项式系数的和，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于都等于n2.21nrnCrrnba概念复习概念复习（1）如果）如果 的展开式中，第四项与的展开式中，第四项与第六项的系数相等，求展开式中的常数项；第六项的系数相等，求展开式中的常数项； （2）求）求 展开式中的所有有理项展开式中的所有有理项.nxx2)1( 84)21(xx(一一)通项公式的应用通项公式的应用注注:、巳知二项式巳知二项式 . （1）若展开式中第五项、第六项、第）若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；式系
3、数最大的项的系数； （2）若展开式中前）若展开式中前三项的二项式系数之和等于三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数，求展开式中系数最大的项。最大的项。nx)221(解法一解法一 因为（因为（x2十十3x十十2）5(x2十十3x)十十25 (x2十十3x)5十十 十十 十十 2)3(4215 xxC555424522)3(CxxC例例3.求（求（x2十十3x十十2）5的展开式中的展开式中x的系数。的系数。44523C所以所以x的系数为的系数为 240例例3.求（求（x2十十3x十十2）5的展开式中的展开式中x的系数。的系数。 解法二解法二 因为（因为（x2十十3x十十2）5（x2十十3x十
4、十2）（x2十十3x十十2）（）（x2十十3x十十2）（）（x2十十3x十十2）（x2十十3x十十2）所以（所以（x2十十3x十十2）5 展开式的各项是由五个因展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的，那么它的一次项式中各选一项相乘后得到的，那么它的一次项只能从五个因式中的一个取只能从五个因式中的一个取次项次项3x，另四个，另四个因式中取常数项因式中取常数项2相乘得到，即相乘得到，即3x24240 x所以所以x的系数为的系数为240（三）展开式中各项系数和（三）展开式中各项系数和例例4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为（ ） A.2n+1 B.2n C.0 D
5、.1分析：分析：设设(2x2-1)n=a0 x2n+a1x2(n-1)+an， 展开式各项系数和为展开式各项系数和为a0+a1+a2+an 上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，时， (2-1)n=a0+a1+a2+an a0+a1+a2+an=（2-1）n=1D求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为式中的字母为1例例5 已知已知: 展开式的系数之和比展开式的系数之和比 展开式的系数之和小展开式的系数之和小240,求展开式求展开式nxx 31 nba2 nxx 31中系数最大的项中系数最大的项. 832yx 展开式的二
6、项式系数的和为展开式的二项式系数的和为多少多少?系数的和为多少系数的和为多少?1.(1+x)+(1+x)2+(1+x)n的展开式的各项系数的展开式的各项系数 和是和是（ ） A.2n+1-2 B.2n+1-1 C. 2n+1 D. 2n+1+12.A（四）求展开式中各奇数项与各（四）求展开式中各奇数项与各偶偶 数项的系数和数项的系数和例例6.已知：已知：(2- )100=a0+a1x+a2x2+a100 x100， A=a0+a2+a4+a100，B=a1+a3+a5+a99， 求：求： A+B、A-B、A2-B2.x3小结小结：(a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+anb
7、n， 设设 A=a0+a2+a4+，B=a1+a3+a5+， （即（即A为展开式中各奇数项的系数和，为展开式中各奇数项的系数和， B为展开式中各偶数项的系数和）为展开式中各偶数项的系数和）. 则：令则：令a=b=1，得，得A+B=2n(1) 令令a=1，b=-1，得，得A-B=0(2) 由（由（1）（）（2）可分别解得）可分别解得A、B这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本思路思路.归纳：求系数和的基本思路是：对二项式的归纳：求系数和的基本思路是：对二项式的X赋赋特殊值特殊值(五五)整除性的证明、求余数；整除性的证明、求余数；例例7 7 如果今天是星期一，
8、那么对于任意自然如果今天是星期一，那么对于任意自然数数n n，经过，经过2 23 3n+3n+37n7n5 5天后的那一天是星期天后的那一天是星期几？几？解：由于解：由于2 23 3n+3n+37n7n5=85=8n+1n+17n7n5=5=（7 71 1）n+1n+17n+5=77n+5=7n+1n+1+7n+5=7(7+7n+5=7(7n n + +n)+6+n)+6则则 2 23 3n+3n+37n7n5 5被被7 7除所得余数为除所得余数为6 6所以对于任意自然数所以对于任意自然数n n，经过，经过2 23 3n+3n+37n7n5 5后的一后的一天是星期日天是星期日77771能被能被
9、19整除吗？整除吗？ （六）近似计算（六）近似计算 |x|1时，时， 要注意误差绝对值应小于精确度的一半，要注意误差绝对值应小于精确度的一半，否则应该加项。否则应该加项。nxxn 1)1()001. 0(997. 15精确到例：计算761.3100072. 024. 032997. 15 答答案案：这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将右式发生联系，将3 3换成换成2 21 1注意到：注意到： 2 2n n+n+n2 2n-1n-1=2=2n-1n-1（2 2n n）=2=2n-1n-1（n+2n+2）；）； n n2 2，右式至少三项
10、；，右式至少三项；这样，可以得到这样，可以得到3n2n-1（n2）（）（nN，且，且n2） (七七)其它应用其它应用例例 9 9 求证：求证：3 3n n2 2n-1n-1（n n2 2）（）（n nN N，且，且n n2 2）、设设 （1）若）若试用试用q和和n表示表示 ； （2）若）若 试用试用n表示表示 ),1,(112qNnqqqann.2211nnnnnnaCaCaCAnA),(321NnnannA、在 的展开式中 的系数是 .)10()2)(1(xxx9x、在 的展开式中 的系数是 ，该项的二 项式系数是 .16)2(yxyx7、在 (kN)的展开式中二项式系数最大的项是第 项.kyx2)( 、 .810610410210CCCC、设 ， 则 ， .0177888)2(axaxaxax178aaa2468aaaa、设 ，则 的反函数 等于（ ）1510105)(2345xxxxxxf)(xf)(1xf、 展开式中 的系数是 （ ）6)32(zyxzyx23、 被4除所得余数为 （ ） 992333151 )xA521 )xB521 )xC521 )xD4320 )A4320 ) B60 )C60 ) D0 )A1 )B2 )C3 )D