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1、电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型电力系统分析电力系统分析第第7 7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型教材配套课件教材配套课件电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型第第7 7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型7.17.1同步发电机的电压方程和磁链方程同步发电机的电压方程和磁链方程7.1.17.1.1同步发电机理想化的假设前提条件同步发电机理想化的假设前提条件7.1.27.1.2电压方程和磁
2、链方程电压方程和磁链方程7.2 7.2 派克变换派克变换 7.2.17.2.1派克变换表示的同步发电机方程派克变换表示的同步发电机方程7.2.27.2.2标幺制表示的派克变换标幺制表示的派克变换7.3 7.3 同步发电机的稳态运行同步发电机的稳态运行7.3.17.3.1空载运行空载运行7.3.27.3.2有载运行有载运行电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型7.1 7.1 同步发电机的电压方程和磁链方程同步发电机的电压方程和磁链方程7.1.1 7.1.1 同步发电机理想化的假设前提条件同步发电机理想化的
3、假设前提条件1 1理想同步发电机理想同步发电机v首先假设所研究的发动机为首先假设所研究的发动机为“理想发电机理想发电机”，常采用以下的简化假设条件：，常采用以下的简化假设条件： （1 1）忽略磁路饱和、磁滞、涡流等影响，假定电机铁心部分的导磁系）忽略磁路饱和、磁滞、涡流等影响，假定电机铁心部分的导磁系数为常数，即认为电机铁心工作在线性区域，因而可以应用重叠原理分析。数为常数，即认为电机铁心工作在线性区域，因而可以应用重叠原理分析。 （2 2）电机转子对于直轴和交轴而言，在结构上分别对称。）电机转子对于直轴和交轴而言，在结构上分别对称。 （3 3）定子的三相绕组在结构上完全相同，空间位置互差）定
4、子的三相绕组在结构上完全相同，空间位置互差120o120o电角度，电角度，因此在气隙中产生呈正弦分布的磁动势和磁感应强度（磁通密度）。因此在气隙中产生呈正弦分布的磁动势和磁感应强度（磁通密度）。 （4 4）电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势在定子绕组所感）电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势在定子绕组所感应的空载电势是时间的正弦函数。应的空载电势是时间的正弦函数。 （5 5）定子和转子的槽和通风沟不影响定子绕组和转子绕组的电感，即）定子和转子的槽和通风沟不影响定子绕组和转子绕组的电感，即认为电机的定子和转子具有光滑的表面。认为电机的定子和转子具有光滑的表面。电力系统分析（刘学军主
5、编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型2 2正方向的规定正方向的规定在具有阻尼绕组的凸极同步发电机中，在具有阻尼绕组的凸极同步发电机中，共有共有6 6个具有磁耦合关系的绕组。在定个具有磁耦合关系的绕组。在定子上有子上有a a、b b、c c三相定子绕组，在转子三相定子绕组，在转子上有一个励磁绕组上有一个励磁绕组f f和两个用来代替阻和两个用来代替阻尼绕组的尼绕组的D D和和Q Q等值绕组，一个沿转子直等值绕组，一个沿转子直轴方向（记为轴方向（记为d d轴），一个沿转子交轴轴），一个沿转子交轴方向（记为方向（记为q q轴）。阻
6、尼回路是短接回轴）。阻尼回路是短接回路。三个转子绕组都随转子一起旋转，路。三个转子绕组都随转子一起旋转，对于没有装设阻尼绕组的隐极同步发电对于没有装设阻尼绕组的隐极同步发电机，实心转子的阻尼作用是反映整块转机，实心转子的阻尼作用是反映整块转子铁芯中涡流所产生的阻尼作用。也可子铁芯中涡流所产生的阻尼作用。也可以用等值的阻尼绕组来代表。图以用等值的阻尼绕组来代表。图7-17-1为为同步发电机各绕组位置示意图。同步发电机各绕组位置示意图。图图7-17-1发电机各绕组轴线正方发电机各绕组轴线正方向示意图向示意图电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步
7、发电机的数学模型章同步发电机的数学模型设定电压、电流以及磁链的参考方向设定电压、电流以及磁链的参考方向 图图7-27-2所示为同步发电机定子所示为同步发电机定子a a、b b、c c三相绕组回路以及励磁绕组三相绕组回路以及励磁绕组f f和用来和用来代替阻尼绕组的等值绕组代替阻尼绕组的等值绕组D D和和Q Q回路。回路中电压及电流的参考方向如图所示，回路。回路中电压及电流的参考方向如图所示，定子回路中电流的参考方向即为由绕组中性点流向端点的方向，电压的参考方定子回路中电流的参考方向即为由绕组中性点流向端点的方向，电压的参考方向与相电流的相同，向外电路送出正向相电流的机端相电压是正的，转子回路向与
8、相电流的相同，向外电路送出正向相电流的机端相电压是正的，转子回路中各个绕组感应电势的参考方向与其绕组电流的参考方向相同。阻尼绕组回路中各个绕组感应电势的参考方向与其绕组电流的参考方向相同。阻尼绕组回路电压为零电压为零。图图7-2 7-2 同步发电机各回路电路图（未考虑绕组互感）同步发电机各回路电路图（未考虑绕组互感）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型7.1.2 7.1.2 电压方程和磁链方程电压方程和磁链方程1 1、电压方程及磁链方程、电压方程及磁链方程 根据以上设定的正方向，定子和转子各回路的电压
9、方程根据以上设定的正方向，定子和转子各回路的电压方程可用矩阵表示为可用矩阵表示为000000000000000.00000000000000000aaabbbcccffffDDDQQQruiruiruiiruirir （7-17-1）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型式中式中 为各绕组的磁链；为各绕组的磁链； 为磁链对时间的导为磁链对时间的导数，数， 。 如将矩阵中按虚线进行分块，则可以将方程如将矩阵中按虚线进行分块，则可以将方程式（式（7-17-1）简化为）简化为ddt00abcabcabcSfQ
10、DfQDfDQRuiriur 式中式中r rs s、r rR R和分别为定子和转子电阻矩阵。和分别为定子和转子电阻矩阵。 （7-2）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型由于各绕组是互相耦合的，因此绕组的磁链将包括本绕组电由于各绕组是互相耦合的，因此绕组的磁链将包括本绕组电流所产生的自感磁链和由其他绕组的电流与本绕组间产生的流所产生的自感磁链和由其他绕组的电流与本绕组间产生的互感磁链。各绕组的磁链方程可用矩阵表示为互感磁链。各绕组的磁链方程可用矩阵表示为.aaaabacafaDaQbbabbbcbfbD
11、bQccacbcccfcDcQffafbfcfffDfQDDaDbDcDfDDDQQQaQbQcQfQDQQLMMMMMMLMMMMMMLMMMMMMLMMMMMMLMMMMMML.abcfDQiiiiii（7-3）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型 式（式（7-3）中，）中，L为绕组的自感系数；为绕组的自感系数；M为绕组之间的互感系数，为绕组之间的互感系数，两绕组之间互感系数是可逆的，如两绕组之间互感系数是可逆的，如 ,abbaaffafDDfMMMMMMabcabcSSSRfDQfDQRSRRi
12、LMiML（7-4） 在电压及磁链方程组中一般是把各绕组的电压作为给定量，在电压及磁链方程组中一般是把各绕组的电压作为给定量，而作为发电机参数的各绕组电阻和自感以及绕组间的互感都应该而作为发电机参数的各绕组电阻和自感以及绕组间的互感都应该是已知量。当转子旋转时，定、转子绕组的相对位置不断地变化，是已知量。当转子旋转时，定、转子绕组的相对位置不断地变化，在凸极机中有些磁通路径的磁链也随着转子的旋转做周期性变化，在凸极机中有些磁通路径的磁链也随着转子的旋转做周期性变化，公式（公式（7-37-3）中的许多自感和互感系数也就随转子位置而变化，因）中的许多自感和互感系数也就随转子位置而变化，因此要应用同
13、步发电机的电压及磁链方程建立数学模型必先分析自此要应用同步发电机的电压及磁链方程建立数学模型必先分析自感和互感系数的变化规律。感和互感系数的变化规律。电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型2 2电感系数的分析电感系数的分析（1 1）定子各绕组的自感系数）定子各绕组的自感系数现以现以a a相为例分析自感系数的变化。在图相为例分析自感系数的变化。在图7-3a7-3a中画出了转子中画出了转子在四个不同位置时在四个不同位置时a a相绕组磁通的磁路。当相绕组磁通的磁路。当 为为9090和和180180时，时，d
14、d轴与轴与a a相绕组轴线重叠，相绕组轴线重叠，a a相磁通路径的磁阻最小，相磁通路径的磁阻最小，相应地相应地a a相自感系数相自感系数LaaLaa具有最大值；当具有最大值；当 为为9090和和270270时，时，q q轴与轴与a a相绕组轴线重叠，相绕组轴线重叠，a a相磁通路径的磁组最大，因此相磁通路径的磁组最大，因此a a相相自感系数自感系数LaaLaa具有最小值。由此可见，具有最小值。由此可见，a a相自感系数的变化规相自感系数的变化规律呈现出一个以律呈现出一个以为周期、随为周期、随 角而变化的周期函数。如角而变化的周期函数。如图图7-4b7-4b所示所示电力系统分析（刘学军主编）机械
15、工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型图图7-4 7-4 定子绕组间的互感定子绕组间的互感a a）转子的不同位置；）转子的不同位置；b b）互感的变化规律）互感的变化规律电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型4cos2cos420lllLaa2cos20llLaa)120(2cos20llLbb)120(2cos20llLcc略去四次及四次以上高次谐波分量，可得略去四次及四次以上高次谐波分量，可得120240由于由于b b、c c相绕组分别滞
16、后相绕组分别滞后a a相绕组相绕组和和，因此其自感系数与因此其自感系数与角的函数关系可以表示为角的函数关系可以表示为 式中，式中，2l0l2l为零。由于自感总是正的，所以为零。由于自感总是正的，所以恒大于恒大于。用傅里叶级数表示用傅里叶级数表示：0l为自感的平均值；为自感的平均值；2l为自感的变化部分的幅值，在隐极机中为自感的变化部分的幅值，在隐极机中（7-5）（7-6）（7-7）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型 （2 2）定子绕组间的互感）定子绕组间的互感凸极机中，定子各绕组间的互感系数也与转子
17、的位置有关。现以凸极机中，定子各绕组间的互感系数也与转子的位置有关。现以a a相与相与b b相之间的互感系数相之间的互感系数MabMab为例，分析其变化规律。由图为例，分析其变化规律。由图7-4a7-4a可见，当可见，当 为为6060和和240240时，转子轴线在时，转子轴线在a a、b b两相绕组轴线的两相绕组轴线的中间位置，此时两相绕组的公共磁通遇到的磁组最大，因而绕组中间位置，此时两相绕组的公共磁通遇到的磁组最大，因而绕组间互感系数间互感系数MabMab的绝对值最小；当的绝对值最小；当 为为150150和和-30-30时，公共磁时，公共磁通路径的磁组最小，因而互感系数的绝对值通路径的磁组
18、最小，因而互感系数的绝对值MabMab最大。由此可见，最大。由此可见，定子互感系数也是一个以定子互感系数也是一个以 为周期、随为周期、随 角而变化的周期函数。角而变化的周期函数。由于两个绕组的空间位置相差由于两个绕组的空间位置相差120120，a a相绕组的正磁通交链到相绕组的正磁通交链到b b相绕组时就成了负磁通，所以互感系数相绕组时就成了负磁通，所以互感系数MabMab恒为负值。同理，恒为负值。同理，b b、c c绕组间以及绕组间以及c c、a a相绕组间互感系数也是负的。根据上述分析，相绕组间互感系数也是负的。根据上述分析，互感系数与互感系数与 角的函数关系可以表示为角的函数关系可以表示
19、为电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型图图7-4 7-4 定子绕组间的互感定子绕组间的互感a a）转子的不同位置；）转子的不同位置；b b）互感的变化规律）互感的变化规律电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型020202cos2(30 )cos2(90 )cos2(150 )abbabccbcaacMMmmMMmmMMmm 式中，式中，m0为互感的平均值；为互感的平均值；m2为互感的变化部分的幅值，在为互感的变
20、化部分的幅值，在隐极机中为零。由于互感系数恒有负值，故隐极机中为零。由于互感系数恒有负值，故m0恒大于恒大于m2。式（式（7-47-4）中的电感系数表达式为：）中的电感系数表达式为：020202020202020202cos2cos2(30 )cos2(150 )cos2(30 )cos2(120 )cos2(90 )cos2(150 )cos2(90)cos2(120 )SSllmmmmLmmllmmmmmm mll(7-9)（7-8）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型（3 3）转子上各绕组的自感
21、系数和互感系数）转子上各绕组的自感系数和互感系数 由于定子的内缘呈圆柱形，不管转子位置如何，凸极机和由于定子的内缘呈圆柱形，不管转子位置如何，凸极机和隐极机一样，对于转子绕组电流产生的磁通，其磁路的磁阻总隐极机一样，对于转子绕组电流产生的磁通，其磁路的磁阻总是不变的，因此转子各绕组的自感系数都是常数，分别改记为是不变的，因此转子各绕组的自感系数都是常数，分别改记为L Lf f、L LD D、L LQ Q。 与转子绕组的自感系数相似，转子各绕组间的互感系数也与转子绕组的自感系数相似，转子各绕组间的互感系数也应为常数。其中两个直轴绕组（励磁绕组应为常数。其中两个直轴绕组（励磁绕组f f和阻尼绕组和
22、阻尼绕组D D）平行，）平行，他们之间的互感系数他们之间的互感系数M MfDfD=M=MDfDf= =常数，由于转子的直轴绕组和交轴常数，由于转子的直轴绕组和交轴绕组互相垂直，他们之间的互感系数为零，绕组互相垂直，他们之间的互感系数为零，即即M MfQfQ=M=MQfQf=M=MDQDQ=M=MQDQD=0=0。电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型（4 4）定子绕组和转子绕组间的互感系数）定子绕组和转子绕组间的互感系数1 1）励磁绕组与定子绕组间的互感系数）励磁绕组与定子绕组间的互感系数 定子绕组和转
23、子绕组间的互感系数与定子绕组与转子绕组的定子绕组和转子绕组间的互感系数与定子绕组与转子绕组的相对位置有关。相对位置有关。 以励磁绕组与定子以励磁绕组与定子a a相绕组的互感系数相绕组的互感系数M Mafaf为例，如图为例，如图7-57-5所示。所示。当转子当转子d d轴与轴与a a相绕组轴线重合时，相绕组轴线重合时， 为为0 0，两个绕组间的互感系，两个绕组间的互感系数数M Mafaf有最大值；当转子旋转到有最大值；当转子旋转到 为为9090或或270270时，由于两个绕时，由于两个绕组的轴线互相垂直，他们之间的互感系数组的轴线互相垂直，他们之间的互感系数M Mafaf为零；而当为零；而当 为
24、为180180时，两绕组轴线反向，两者之间的互感系数时，两绕组轴线反向，两者之间的互感系数MafMaf有负的最大有负的最大值。互感系数的变化周期为值。互感系数的变化周期为 。对于。对于b b相和相和c c相绕组也可做类似相绕组也可做类似的分析。由此励磁绕组与定子绕组间的互感系数与的分析。由此励磁绕组与定子绕组间的互感系数与 角的函数关角的函数关系可以表示为系可以表示为2电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型affaafbffbbfcffccfcoscos(120 )cos(120 )MMmMMmMMm图
25、图7-57-5定子绕组和转子励磁绕组间的互感定子绕组和转子励磁绕组间的互感a a）转子在不同位置时的互感系数；）转子在不同位置时的互感系数；b)b)互感的变化规律互感的变化规律电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型2 2）直、交轴阻尼绕组与定子绕组间的互感系数）直、交轴阻尼绕组与定子绕组间的互感系数同理，定子各绕组与直轴阻尼绕组间的互感系数为同理，定子各绕组与直轴阻尼绕组间的互感系数为aDDaaDbDDbbDcDDccDcoscos(120 )cos(120 )MMmMMmMMm 由于转子交轴落超前于直
26、轴，故定子绕组和交轴阻尼绕组之由于转子交轴落超前于直轴，故定子绕组和交轴阻尼绕组之间互感系数为间互感系数为aQQaaQbQQbaQcQQcaQsinsin(120 )sin(120 )MMmMMmMMm电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型(7-14)电感系数电感系数MSR表达式为：表达式为：0000fRRRRDQLMLMLLcoscoscoscos120cos120cos120cos120cos120cos120afaDaQTSRafaDaQRSafaDaQmmmMmmmMmmm电感系数电感系数LRR
27、表达式为：表达式为：(7-13)由此可见，在磁链方程中许多电感系数都随转子由此可见，在磁链方程中许多电感系数都随转子 角进行周角进行周期变化。转子角期变化。转子角 又是时间的函数，因此自感系数和互感系又是时间的函数，因此自感系数和互感系数也将随时间而进行周期变化。数也将随时间而进行周期变化。 电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型若将同步发电机磁链方程代入电压方程，则电压方程将成为一组若将同步发电机磁链方程代入电压方程，则电压方程将成为一组以时间周期函数作为系数的微分方程，对于变系数微分方程无法以时间周
28、期函数作为系数的微分方程，对于变系数微分方程无法直接用拉氏变换求解。为了解决这个问题，美国工程师派克直接用拉氏变换求解。为了解决这个问题，美国工程师派克（ParkPark）于）于19291929年提出了一种坐标变换方法，将年提出了一种坐标变换方法，将a a、b b、c c坐标系坐标系统的量转换为另一个坐标系统上的量。将变系数的微分方程变换统的量转换为另一个坐标系统上的量。将变系数的微分方程变换成常系数微分方程，然后求解，即为成常系数微分方程，然后求解，即为“派克变换派克变换”。由于。由于“派克派克变换变换”是将是将a a、b b、c c坐标系统的量转换为坐标系统的量转换为d d轴、轴、q q轴
29、和轴和0 0轴的坐标系轴的坐标系统的量，因此也称为统的量，因此也称为“d-q-0d-q-0模型模型”。电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型式中式中F F可为电流可为电流i i、电压、电压u u或磁链或磁链 ，为变换矩阵，定义为，为变换矩阵，定义为7.27.2派克变换派克变换 从数学上看，派克变换是一种坐标变换，它将定子从数学上看，派克变换是一种坐标变换，它将定子电流、电压和磁链的电流、电压和磁链的a a、b b、c c三相分量，通过同一线性三相分量，通过同一线性坐标变换矩阵，分别变换成坐标变换矩阵，分
30、别变换成d d、q q、0 0三个分量，既将三个分量，既将a a、b b、c c三个坐标变换成三个坐标变换成d d、q q、0 0三个坐标。三个坐标。 派克变换可将在空间静止不动的定子派克变换可将在空间静止不动的定子a-b-ca-b-c坐标中坐标中的量变换到与转子一起旋转的的量变换到与转子一起旋转的d-q-0d-q-0坐标上的量。既坐标上的量。既 0dqabcFPF(5-1)电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos32
31、P1cossin1cos(120 )sin(120 )1cos(120 )sin(120 )1PP为非奇异矩阵，其逆矩阵为为非奇异矩阵，其逆矩阵为则有则有10abcdqFP F（7-167-16）（7-177-17）（7-18）F0dqabci10abcdqiP i10abcdquP u10abcdqP分别代表电流、电压或磁链，如下式：分别代表电流、电压或磁链，如下式：；，电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型在电机学中分析凸极电机中电枢磁势对旋转磁场作用时，在电机学中分析凸极电机中电枢磁势对旋转磁场作
32、用时，一般采用双反应理论把电枢磁场分为直轴分量和交轴分量。一般采用双反应理论把电枢磁场分为直轴分量和交轴分量。电机在转子的直轴方向和交轴方向的磁路的磁阻都是常数，电机在转子的直轴方向和交轴方向的磁路的磁阻都是常数，这就避免了在同步电机的稳态分析中出现的变参数问题。这就避免了在同步电机的稳态分析中出现的变参数问题。同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒定，对同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒定，对于转子相对静止。它可以用一个以同步转速旋转的矢量于转子相对静止。它可以用一个以同步转速旋转的矢量在电在电机学中分析凸极电机中电枢磁势对旋转磁场作用时，一般采机学中分析凸极电机中电枢磁势对
33、旋转磁场作用时，一般采用双反应理论把电枢磁场分为直轴分量和交轴分量。电机在用双反应理论把电枢磁场分为直轴分量和交轴分量。电机在转子的直轴方向和交轴方向的磁路的磁阻都是常数，这就避转子的直轴方向和交轴方向的磁路的磁阻都是常数，这就避免了在同步电机的稳态分析中出现的变参数问题。免了在同步电机的稳态分析中出现的变参数问题。电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型 同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒同步电机稳态运行时，电枢磁势幅值不变，转速恒定，对于转子相对静止。它可以用一个以同步转速定，对于转子相对静
34、止。它可以用一个以同步转速旋转的矢量表示。如果定子电流用一个同步旋转相旋转的矢量表示。如果定子电流用一个同步旋转相量表示。并且与在数值上成比例，这样当在静止的量表示。并且与在数值上成比例，这样当在静止的abcabc坐标轴上的投影即为对称的三相正序电流、和坐标轴上的投影即为对称的三相正序电流、和瞬时值。如图瞬时值。如图7-67-6所示。取电流相量正方向与电枢所示。取电流相量正方向与电枢磁势正方向一致。磁势正方向一致。电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型下面以三相电流下面以三相电流i ia a、i ib
35、b、i ic c为例来分析为例来分析dq0dq0坐标变换的具体过程。坐标变换的具体过程。首先依照电枢磁势的分解方法，可以把电流相量分解为直轴分量首先依照电枢磁势的分解方法，可以把电流相量分解为直轴分量 和交和交轴分量轴分量 。令表示电流相量同。令表示电流相量同a a相绕组轴线的夹角，则有相绕组轴线的夹角，则有cos()cos(90 )sin()dmqmmiIiII 定子三相电流的瞬时值则为定子三相电流的瞬时值则为:coscos(120 )cos(120 )ambmcmiIiIiI （7-19）（7-20）上两式中上两式中“-”-”符号均源于定子绕组磁链的正向规定及取通用电流相量符号均源于定子绕
36、组磁链的正向规定及取通用电流相量ImIm的正方向与定的正方向与定子磁链子磁链FaFa正向一致。利用三角恒等式即可从公式（正向一致。利用三角恒等式即可从公式（7-197-19）和公式（）和公式（7-207-20）得到）得到2coscos(120 )cos(120 )32sinsin(120 )sin(120 )3dabcqabciiiiiiii diqiqiqi电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型cos()cos(90 )sin()dmqmmiIiII coscos(120 )cos(120 )ambm
37、cmiIiIiI 图图7-6 7-6 定子电流通用相量在两种坐标系统上的投影关系定子电流通用相量在两种坐标系统上的投影关系2 coscos(120 )cos(120 )32 sinsin(120 )sin(120 )3dabcqabciiiiiiii 电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型 通过这种变换将三相电流通过这种变换将三相电流iaia、ibib、icic变换成了等效的两变换成了等效的两相电流和。可以设想，这两个电流是定子的两个等效绕组相电流和。可以设想，这两个电流是定子的两个等效绕组dddd和和
38、qqqq中的电流。这组等效的定子绕组中的电流。这组等效的定子绕组dddd和和qqqq不像实际的不像实际的a a、b b、c c三相绕组那样在空间静止不动，而是随着转子一起旋转。等三相绕组那样在空间静止不动，而是随着转子一起旋转。等效绕组中的电流产生的磁势对转子相对静止，它所遇到的磁效绕组中的电流产生的磁势对转子相对静止，它所遇到的磁路磁阻恒定不变，相应的电感系数也就变为常数了。路磁阻恒定不变，相应的电感系数也就变为常数了。 当定子三相电流构成不平衡系统时，三相电流是三个独当定子三相电流构成不平衡系统时，三相电流是三个独立的变量，仅用两个新变量（立的变量，仅用两个新变量（d d轴分量和轴分量和q
39、 q轴分量）不足以代轴分量）不足以代表原来的三个变量。为此，需要增选第三个新变量表原来的三个变量。为此，需要增选第三个新变量i i0 0，其值，其值为为)(310cbaiiii我们称我们称i i0 0为定子电流的零轴分量。为定子电流的零轴分量。电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型 由公式由公式(7-15)(7-15)和和(7-16)(7-16)完成了一个从完成了一个从a a、b b、c c坐标系坐标系统到统到d d、q q、0 0坐标系统的变换，可用矩阵写成为坐标系统的变换，可用矩阵写成为iciiii
40、ibaqd212121)120sin()120sin(sin)120cos()120cos(cos320或简写为或简写为abcdqPii0显然，式（显然，式（7-247-24）中的）中的P P与式（与式（7-167-16）相同，式中矩阵）相同，式中矩阵P P称称为变换矩阵，为非奇异矩阵，因此存在逆阵为变换矩阵，为非奇异矩阵，因此存在逆阵P P-1-1，即，即1)120sin()120cos(1)120sin()120cos(1sincos1P利用逆变换可得利用逆变换可得01dqabciPi电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模
41、型章同步发电机的数学模型7.2.17.2.1变换表示的同步发电机方程变换表示的同步发电机方程1.1.电压方程的变换电压方程的变换同步发电机原始电压方程为同步发电机原始电压方程为00abcabcabcSfQDfQDfDQRuiriur 00PUU全式左乘变换矩阵全式左乘变换矩阵，其中其中为为3 33 3单位矩阵，便可得到单位矩阵，便可得到00000000dqdqabcSfQDfQDRfDQuirPPiruUU000dqabcSfQDfQDRiPrir（7-27）（7-28）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数
42、学模型123DPPPP由于由于 ，分别在两端求取对时间的导数，便有，分别在两端求取对时间的导数，便有abcdqP0abcabcdqPp0由此可得由此可得SPPPPdqdqdqabcdqabc00100式中式中100qdqdSPP 01000)120cos()120cos(cos)120sin()120sin(sin32dqPdtddtddtddtddtddtdS（7-29）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型00000000000002303203200dqqdqddtddtd这样，便得到用这样，便得
43、到用d d、q q、0 0轴分量表示的电压方程轴分量表示的电压方程000000dqdqdqSfQDfQDRfDQuirSiru 000000000000000000000000000000000000dddqqqqdffffDDDQQQriuriuriuriuriri 000又可以表示为：又可以表示为：（7-30）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型(2)P 同原来的方程（同原来的方程（7-287-28）比较，可以看出，）比较，可以看出，dddd和和qqqq绕组中的绕组中的电势都包含了两个分量，一个是
44、磁链对时间的导数，另一电势都包含了两个分量，一个是磁链对时间的导数，另一个是磁链同转速的乘积。前者称为变压器电势，后者称为个是磁链同转速的乘积。前者称为变压器电势，后者称为发电机电势。前者在稳态运行时为零，仅在暂态过程中存发电机电势。前者在稳态运行时为零，仅在暂态过程中存在；而后者只要发电机转子中有磁链和以速度旋转就存在。在；而后者只要发电机转子中有磁链和以速度旋转就存在。电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型ParkabcabcSSSRfDQfDQRSRRiLMiML2.2.磁链方程的磁链方程的变换变
45、换 同步发电机原始磁链方程为同步发电机原始磁链方程为 11001dqdqSSSRfDQfDQRSRRiPL PPMPiMPL00PUU全式左乘变换矩阵全式左乘变换矩阵，其中其中为为3 33 3单位矩阵，便可得到单位矩阵，便可得到 （7-327-32） （7-317-31）通过矩阵运算可得通过矩阵运算可得:电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型11002100200030020300002000300230020030000200002afafaDSRaQRSaDaQdSSqmmmPM PmMPmmlml
46、LPL PlmlLLlm，通过矩阵运算可得通过矩阵运算可得:电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型00220020022002000132213222dqLlmlmlmlLlmlmlmlLlm；电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型将上述各表达式代入磁链方程（将上述各表达式代入磁链方程（7-327-32），便得到变换），便得到变换到到d d、q q、0 0坐标系统的磁链方程坐标系统的磁链方程 0000000000
47、000003000230002300002dafaDqaQddqqafffDffDDaDDfDQQaQQLmmLmiLiimLmiimmLimL（7-347-34）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型可以看到，方程中的各项电感系数都变为常数了。因为定子三相可以看到，方程中的各项电感系数都变为常数了。因为定子三相绕组已被假想的等效绕组绕组已被假想的等效绕组dddd和和qqqq所代替，这两个绕组的轴线总是所代替，这两个绕组的轴线总是分别与分别与d d轴和轴和q q轴一致的，而轴一致的，而d d轴向和轴向和
48、q q轴向的磁导系数是与转子位轴向的磁导系数是与转子位置无关的，因此磁链与电流的关系（电感系数）自然亦与转角置无关的，因此磁链与电流的关系（电感系数）自然亦与转角 无关。无关。dddddaaLiiicoscos 公式（公式（7-347-34）中的）中的LdLd和和LqLq分别是定子的等效绕组分别是定子的等效绕组dddd和和qqqq的电感的电感系数，称为直轴同步电感和交轴同步电感。当转子各绕组开路系数，称为直轴同步电感和交轴同步电感。当转子各绕组开路（即（即i if f=0=0，i iD D=0=0，i iQ Q=0=0），定子通以三相对称电流，且电流的通），定子通以三相对称电流，且电流的通用相
49、量同用相量同d d轴重叠时，轴重叠时，i iq q=0=0，气隙中仅存在直轴磁场，定子任一，气隙中仅存在直轴磁场，定子任一相绕组的磁链和电流的比值为相绕组的磁链和电流的比值为（7-35）电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社电力系统分析（刘学军主编）机械工业出版社第第7章同步发电机的数学模型章同步发电机的数学模型它就是直轴同步电感系数。由于磁链它就是直轴同步电感系数。由于磁链 包含了另外两相绕包含了另外两相绕组电流所产生的互感磁链，因而组电流所产生的互感磁链，因而L Ld d是一种一相等值电感。同是一种一相等值电感。同对对L Ld d应的电抗就是直轴同步电抗应的电抗就是直轴同步电抗X Xd
50、d。如果定子电流的通用相。如果定子电流的通用相量同量同q q轴重叠，则有轴重叠，则有i id d=0=0，气隙中仅存在交轴磁场，定子任，气隙中仅存在交轴磁场，定子任一相绕组的磁链和电流的比值便是交轴同步电感系数，即一相绕组的磁链和电流的比值便是交轴同步电感系数，即qqqqqaaLiiisinsin （7-367-36） 同电感系数同电感系数L Ld d对应的电抗就是交轴同步电抗对应的电抗就是交轴同步电抗X Xq q。 当转子各绕组开路，定子通以三相零轴电流时，定子任当转子各绕组开路，定子通以三相零轴电流时，定子任一相绕组（计及另两相的互感）的电感系数就是零轴电感系一相绕组（计及另两相的互感）的