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1、第二章函数概念与基本初等函数2.1映射、函数、反函数一、知识导学1. 映射：一般地，设A、B 两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B的映射，记作f ：AB.( 包括集合A、B 及 A到 B的对应法则)2. 函数：设 A，B 都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合 B中都有唯一的元素和它对应，且B 中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作( )yf x=.其中所有的输入值x组成的集合A称为函数( )yf x=定义域.对于 A中的每一个
2、x，都有一个输出值y与之对应， 我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3. 反函数：一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到x=f-1(y).若对于 y 在 C中的任何一个值，通过x 在 A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y) 就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数叫做函数 y=f(x)(xA)的反函数，记作x=f-1(y).我们一般用x 表示自变量， 用 y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y) 中的字母x,y ，把它改写成y=f-1(x)反函数 y=f-1(x)的定义域、值域分别是函
3、数y=f(x) 的值域、定义域.二、疑难知识导析1. 对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的 . 或者说：映射是有方向的，(2)输出值的集合是集合B的子集 . 即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合 A 中每一个输入值，在集合B 中必定存在唯一的输出值. 或者说：允许集合B 中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3) 集合 A，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2. 对函数概念的认识（1）对函数符号( )f x的理解知道y=( )f x与( )f x的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，( )f x是函数值，连接的纽带是法则.是单值对应.(2
4、) 注意定义中的集合A，B 都是非空的数集 , 而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3. 对反函数概念的认识名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 35 页 - - - - - - - - - （1）函数y=( )f x只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的
5、图像关于y=x 对称.三、经典例题导讲 例 1 设 M a，b，c，N 2,0,2 , 求（1）从M到 N的映射种数；（2）从 M到 N的映射满足f(a)f(b) f(c),试确定这样的映射f的种数.错解 ： （1）由于M a，b，c，N 2,0,2 ，结合映射的概念，有2200220 ,2 ,2 ,2,0 ,2222220aaaaaabbbbbbcccccc - -? - -? - -?，共 6 个映射(2) 由（1）得满足条件的映射仅有202abc? -?一种情况错因 ：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解 ： （1）由于M a，b，c，N 2,0,2 ，结合映射的概念，有
6、一共有 27 个映射（2）符合条件的映射共有4 个0222,2,2,0 ,0,2220aaaabbbbcccc? - -? - - -? 例 2 已知函数( )f x的定义域为 0 ，1 ，求函数(1)f x +的定义域错解 ：由于函数( )f x的定义域为 0 ，1 ，即01x ，112x +(1)f x +的定义域是 1 ，2错因 ：对函数定义域理解不透，不明白( )f x与( ( )f u x定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：( )f x中x取值的范围与( ( )f u x中式子( )u x的取值范围一致就好了.正解 ：由于函数( )f x的定义域为 0 ，1 ，即01x(1)
7、f x+满足011x+10 x- ，(1)f x +的定义域是 1，0 例 3 已知：*,xN5(6)( )(2)(6)xxf xf xx-?=?+?，求(3)f.错解 ：5(6)( )(2)(6)xxf xf xx-?=?+?，(2)(2)53f xxx+=+-=-名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 35 页 - - - - - - - - - 故5(6)( )3(6)xxf xxx-?=?-?，(3)f330.错因 ： 没有理解分段函数的意义，(3)f的自
8、变量是3，应代入(2)f x+中去，而不是代入x5 中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解 ：5(6)( )(2)(6)xxf xf xx-?=?+?，(3)f(32)(5)ff+=(52)(7)ff+=7-52 例 4 已知( )f x的反函数是1( )fx-，如果( )f x与1( )fx-的图像有交点，那么交点必在直线yx=上，判断此命题是否正确？错解 ：正确错因 ：对互为反函数的图像关于直线yx=对称这一性质理解不深，比如函数1161()log16xyyx=与的图像的交点中，点1 11 1(,),2 44 2（，）不在直线yx=上，由此可以说明 “两互为反函数图像的交
9、点必在直线yx=上”是不正确的. 例 5 求函数2( )46yf xxx=-+，1,5)x 的值域.错解 ：22(1)14 163, (5)545611ff=- +=- +=又1,5)x，( )f x的值域是)311，错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解 ：配方，得22( )46(2)2yf xxxx=-+=-+1,5)x，对称轴是2x=当2x=时，函数取最小值为(2)f=2，( )(5)11f xf0,a1,x0), 求f(x) 的表达式.8. 已知 函数( )f x是函 数21101xy =-+（xR
10、）的 反函数 ，函数( )g x的图 像与函 数431xyx-=-的图像关于直线yx1 成轴对称图形，记( )F x( )f x+( )g x.（1）求函数F（x）的解析式及定义域；（2）试问在函数F （x）的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线 AB恰好与 y 轴垂直？若存在，求出A、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.2.2 函数的性质一、知识导学1. 函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数( )yf x=的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2, 当 x1x2时， 都有 f(x1)f(x2), 那么就说f(x) 在这个区间上是增函数.（2）减函数：一
11、般地，设函数( )yf x=的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意ABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 35 页 - - - - - - - - - 两个自变量的值x1,x2, 当 x1x2时, 都有f(x1) f(x2), 那么就说f(x) 在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x) 在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x) 的单调区间.2. 函数的奇偶性：（1 ）奇
12、函数： 一般地， 如果对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有 f( x) =f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有 f( x) =f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数.（3）如果函数f(x) 是奇函数或偶函数，那么就说f(x) 具有奇偶性.3. 函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0) 作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0) ） ，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x) 的图像.二、疑难知识导析
13、1.对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x) 在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质. 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2. 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称 . 这是函数具备奇偶性的必要条件. 稍加推广，可得函数f(x) 的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意
14、x， 都有 f(x+a)=f(a-x)成立. 函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用. 根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3.用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共
15、 35 页 - - - - - - - - - 例 1 判断函数1( )3xy-=的单调性.错解 ：1101,( )33xy-=是减函数错因 ：概念不清，导致判断错误. 这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为3xy =，从而可判断出其单调性.正解 ：令tx= -，则该函数在R上是减函数，又1101,( )33ty=在 R上是减函数，1( )3xy-=是增函数 例 2 判断函数1( )(1)1xf xxx-=+的奇偶性.错解 ：1( )(1)1xf xxx-=+221(1)11xxxx
16、-+=-+22()1()1( )fxxxf x-=-=-=1( )(1)1xf xxx-=+是偶函数错因 ：对函数奇偶性定义实质理解不全面. 对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称. 这是函数具备奇偶性的必要条件.正解 ：1( )(1)1xf xxx-=+有意义时必须满足10111xxx- ? -+即函数的定义域是x11x- ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 例 3判断22( )log (1)f xxx=+的奇偶性.错解 ：)1(log)1)(log)(2222+-=+-+-=-xxxxxf)()(
17、xfxf-且)()(xfxf-所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因 ：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活. 定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x)=0 ，f(-x)-f(x)0 是否成立.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 35 页 - - - - - - - - - 正解 ：方法一：)1(log)1)(log)(2222+-=+-+-=-xxxxxf11log22+xx)1(log22+-xx)(x
18、f)(xf是奇函数方法二：)1(log)1(log)()(2222+-+=-+xxxxxfxf01log)1()1(log2222=+-?+xxxx)()(xfxf-=-)(xf是奇函数 例 4 函数 y=245xx -的单调增区间是_.错解 ：因为函数2( )54g xxx=-的对称轴是2x = -，图像是抛物线，开口向下，由图可知2( )54g xxx=-在(, 2- -上是增函数，所以y=245xx-的增区间是(, 2- -错因 ： 在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解 ：
19、y=245xx-的定义域是 5,1-，又2( )54g xxx=-在区间 5, 2-上增函数，在区间 2,1-是减函数，所以y=245xx-的增区间是 5, 2- 例 5已知奇函数f(x) 是定义在 ( 3， 3)上的减函数， 且满足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值范围.错解 ：f(x) 是奇函数，f(x3)3x2, 即x2+x60解得x2 或x3又f(x) 是定义在 ( 3，3)上的函数，所以 2x3错因 ：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.正解 ：由?-?-66603333332xxxx得, 故 0 x6,又f(x) 是奇函数，f(x3)3x2, 即x2+x6
20、0,解得x2或x3, 综上得2x6, 即A=x|2x6, 例 6作出下列函数的图像 (1)y=|x-2|(x1)；(2)|lg |10 xy =.分析： 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形. 在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解： (1) 当 x2 时， 即 x-2 0 时，当 x2 时，即 x-2 0 时，所以?+-=)2(49)21()2(49)21(22xxxxy这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出( 见图)(2) 当 x1 时，lgx 0，y=10lgx=x ；当 0 x1 时，lgx 0
21、，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.( 见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意 x，y的变化范围 . 因此必须熟记基本函数的图像. 例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 35 页 - - - - - - - - - 例 7 若 f(x)=21+xax在区间（ 2，）上是增函数，求a 的取值范围
22、解：设12121212112,()()22axaxxxf xf xxx+-=-+12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)axxaxxxxax xaxxax xaxxxxaxxaxxaxxxxxx+-+=+-+=+-+-=+由f(x)=21+xax在区间（ 2，）上是增函数得12()()0f xf x-a21点评 ：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. 例 8已知函数f(x) 在( 1，1)上有定义，
23、f(21)=1, 当且仅当0 x1 时f(x)0, 且对任意x、y( 1,1) 都有f(x)+f(y)=f(xyyx+1), 试证明：(1)f(x) 为奇函数； (2)f(x) 在( 1，1)上单调递减解 ： 证 明 ： (1) 由f(x)+f(y)=f(xyyx+1), 令x=y=0, 得f(0)=0,令y=x, 得f(x)+f( x)=f(21xxx-)=f(0)=0. f(x)=f( x). f(x) 为奇函数.(2) 先证f(x) 在(0，1)上单调递减.令 0 x1x21,则f(x2) f(x1)=f(x2) f( x1)=f(21121xxxx-)0 x1x20,1x1x20，21
24、121xxxx-0,又(x2x1) (1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1,012121xxxx-1,由题意知f(21121xxxx-)0， 即f(x2)f(x1).f(x) 在(0，1)上为减函数，又f(x) 为奇函数且f(0)=0.f(x) 在( 1，1)上为减函数.点评 ：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 对函数的奇偶性、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 35 页 - - - - - - - - - 单
25、调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高.如果“赋值” 不够准确， 运算技能不过关，结果很难获得.对于(1) ，获得f(0) 的值进而取x=y是解题关键；对于 (2) ，判定21121xxxx-的范围是解题的焦点.四、典型习题导练1. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()2.若函数)(xf是定义在 R上的偶函数，在0 ,(-上是减函数，且(2)0f=，则使得xxf的0)(的取值范围是（）A.)2,(-B.),2(+C.),2()2,(+-D.（2，2）3.若函数)2(log)(22a
26、xxxfn+=是奇函数，则a=.4.已知)(xfy =是定义在R上的单调函数，实数21xx ，,1, 121+=-xxa+=112xx，若|)()(| )()(|21ffxfxf-，则（）A.0B.0=C.1021时，f(x)0.(1) 求证：f(x) 是单调递增函数；(2) 试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.7. 已知函数y=f(x)=cbxax+ 12(a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当x0 时，f(x) 有最小值2，其中bN 且f(1)时图像与 x 轴有两个交点.M （x1,0 ）N(x2,0),|MN|=|x1- x2|=|a?.二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能
27、在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2. 指数函数xya=(0,1)aa和对数函数logayx=(0,1)aa的概念和性质.（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：mnm naaa+?=；()mnmnaa=；()nnnaba b=（这时 m,n 是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.log ()loglog;logloglogaaaaaaMMNMNMNN?=+=-1loglog;loglognnaaaaMnMMMn=；logloglogcacbba=（2）指数函数的图像、单调性与特殊点. 对数函数的图像、单调性与特殊点.指数函数图像永远在x 轴上方，当a1 时，图像越接近y 轴，底数a 越
28、大；当0a1 时，图像越接近x 轴，底数 a越大; 当 0a1时，图像越接近x 轴，底数 a 越小.3. 幂函数yx=的概念、图像和性质.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=12,yxyx-=,y=12x的图像，了解它们的变化情况.0时，图像都过（ 0,0 ）、 （1,1 ）点，在区间（ 0，+）上是增函数；注意1 与 01 时，指数大的图像在上方.二、疑难知识导析1. 二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像. 二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内2. 幂的运算性质
29、、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用. 会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：（1）式子nnaa，（2）log ()loglog;log ()loglogaaaaaaMNMNMNMN+=+?=?3. 利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.4. 函数( )fxya=的研究方法一般是先研究( )f x的性质，再由a的情况讨论( )fxya=的性质.5. 对数函数logayx=(0,1)aa与指数函数xya=(0,1)aa互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.6. 幂函数yx=的性质，要注意的取值变化对函数性质的影响.（1）当奇奇=时，幂函数是奇函数； （2）当奇偶=时，幂函
30、数是偶函数； （3）当偶奇=时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲 例 1 已知18log9,185,ba=求36log45错解 ：185,b=18log5b=1818183618181818log45log5log9log45log36log4log9log4baa+=+错因 ：因对性质不熟而导致题目没解完.正解 ：185,b=18log5b=1818183621818181818log45log5log9log451818log36log4log92log ()2log ()99bababaaaa+=+-+ 例 2 分析方程2( )0f xaxbxc=+=（0a
31、）的两个根都大于1 的充要条件.错解 ：由于方程2( )0f xaxbxc=+=（0a ）对应的二次函数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 35 页 - - - - - - - - - 2( )f xaxbxc=+的图像与 x 轴交点的横坐标都大于1 即可.故需满足(1)012fba?-?，所以充要条件是(1)012fba?-?错因 ：上述解法中，只考虑到二次函数与x 轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x 轴有交点才行，即满
32、足0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.正解 ：充要条件是2(1)01240fbabac?-? =-? 例 3 求函数3612 65xxy =-?-的单调区间.错解 ：令6xt=，则3612 65xxy =-?-2125tt-? -当 t 6, 即 x1 时，y为关于 t 的增函数，当 t 6, 即 x1 时，y为关于 t 的减函数函数3612 65xxy =-?-的单调递减区间是(,6- ，单调递增区间为6,)+错因 ：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解 ：令6xt=，则6xt =为增函数，3612 65xxy =-?-2125tt-? -2(6)41t -
33、当 t 6, 即 x1 时，y为关于 t 的增函数，当 t 6, 即 x1 时，y为关于 t 的减函数函数3612 65xxy =-?-的单调递减区间是(,1- ，单调递增区间为1,)+ 例 4 已知)2(logaxya-=在0 ，1 上是x的减函数，则a的取值范围是错解 ：)2(logaxya-=是由uyalog=，axu-= 2复合而成，又a0axu-= 2在0 ，1 上是x的减函数，由复合函数关系知uyalog=应为增函数，a1错因 ：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在0 ，1 上有意义.正解 ：)2(lo
34、gaxya-=是由uyalog=，axu-= 2复合而成，又a0axu-= 2在0 ，1 上是x的减函数，由复合函数关系知uyalog=应为增函数，a1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 35 页 - - - - - - - - - 又由于x在0 ，1 上时)2(logaxya-=有意义，axu-= 2又是减函数，x1 时，axu-= 2取最小值是au-= 2min0即可，a2综上可知所求的取值范围是1a2 例 5 已知函数( )log (3)af xax=
35、-.（1）当0,2x时( )f x恒有意义，求实数a的取值范围.（2）是否存在这样的实数a使得函数( )f x在区间 1 ，2 上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.分析 ：函数( )f x为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.解： （1）由假设，ax-30，对一切0, 2x恒成立，0,1aa显然，函数g(x)=ax-3在0 ，2 上为减函数，从而g(2) 32a-0得到a32a的取值范围是（ 0，1）（ 1，32）(2) 假设存在这样的实数a，由题设知(1) 1f=，即(1)l
36、og (3)afa=-1a32此时3( )log (3)2af xx=-当2x=时，( )f x没有意义，故这样的实数不存在.点评 ：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决. 例 6 已知函数f(x)=1421lg2+-?+aaaxx, 其中a为常数，若当x( , 1时,f(x) 有意义，求实数a的取值范围.分析 ：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式 （组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认
37、识a与其它变元(x) 的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：14212+-?+aaaxx0, 且a2a+1=(a21)2+430, 1+2x+4xa0,a)2141(xx+-,当x( ,1 时,y=x41与y=x21都是减函数，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 35 页 - - - - - - - - - y=)2141(xx+-在( , 1 上是增函数，)2141(xx+-max=43,a43,故a的取值范围是 ( 43, +).点
38、评： 发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数， 并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现. 本题主客换位后，利用新建函数y=)2141(xx+-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围 . 此法也叫主元法. 例 7 若1133(1)(32 )aa-+?-?+-?10320.132aaaa+?-?10.320aa+?解三个不等式组：得23a32，无解，a1a的取值范围是（，1）（23，32）点评 ：幂函数13yx-=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132aa+-，从而导致解题错误. 例
39、 8已知 a0 且 a1 ,f(logax ) =12-aa(xx1)(1) 求 f(x) ；(2) 判断 f(x) 的奇偶性与单调性；(3) 对于 f(x), 当 x ( 1, 1)时 ,有 f(1m)+f(1m2) 0 , 求 m的集合 M .分析 ：先用换元法求出f(x) 的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1) 令 t=logax(t R)，则).(),(1)(),(1)(,22Rxaaaaxfaaaatfaxxxttt-=-=-,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22-=-=-aaxfaaaxuaaaxf
40、Rxxfaaaaxfxxxx或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且f(x) 在 R 上都是增函数.)1 , 1().1()1(,)(,0)1 ()1()3(22-+-xmfmfRxfmfmf又上是增函数是奇函数且在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 35 页 - - - - - - - - - .211111111122?-mmmmm点评 ：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论. 对本例的不需要代入f （x）的表达式可求出 m的取值范围，请
41、同学们细心体会.四、典型习题导练1.函数bxaxf-=)(的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A.0, 1baB.0, 1baC.0, 10baD.0, 10ba2、已知 2lg(x 2y)=lgx+lgy,则yx的值为（）A.1B.4C.1 或 4D.4 或 83、方程2)1(log2=+xxa(0a1) 的解的个数为（）A.0B.1C.2D.34、函 数 f(x) 与 g(x)=(21)x的图 像关于 直线 y=x 对称, 则 f(4 x2) 的单 调递增 区间是(）A.)+, 0B.(0,-C.)2,0D.(0,2-5、图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图像，已知 n可取
42、 2，12四个值, 则相应于曲线c1、c2、c3、c4的 n 依次为()A.2，12，12，2B2，12，12，2C. 12，2,2 ，12D. 2，12，2,126.求函数 y = log2(x25x+6)的定义域、值域、单调区间.7.若 x 满足03log14)(log24221+-xx, 求 f(x)=2log2log22xx最大值和最小值.8. 已知定义在R 上的函数( )2,2xxaf x =+a为常数（1）如果( )f x()fx-，求a的值；（2）当( )f x满足（ 1）时，用单调性定义讨论( )f x的单调性.2.4函数与方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
43、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 35 页 - - - - - - - - - 一、知识导学1. 函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数( )yf x=（xD）我们称方程( )0f x=的实数根x也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f(x)=g(x) 的根或根的个数就是求函数( )( )yf xg x=-的零点.2. 函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数( )yf x=（xD）的图像与x轴交点的横坐标就是( )0f x =的根. 综合方程f(x)=g(x) 的根
44、，就是求函数yf(x) 与y=g(x) 的图像的交点或交点个数，或求方程( )( )yf xg x=-的图像与x轴交点的横坐标.3. 判断一个函数是否有零点的方法：如果函数( )yf x=在区间 a,b 上图像是连续不断的曲线，并且有( )( )0f af b?， 那么，函数( )yf x=在区间（ a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数( , )ca b使得( )0f c =，这个c 也就是方程( )0f x =的一个根 . 对于我们学习的简单函数，可以借助( )yf x=图像判断解的个数， 或者把( )f x写成( )( )g xh x-， 然后借助( )yg x=、( )yh x=
45、的图像的交点去判断函数( )f x的零点情况.4.二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2yaxbxc=+的零点，就是二次方程20axbxc+=的根，也是二次函数2yaxbxc=+的图像与x 轴交点的横坐标.5.二分法：对于区间 a,b 上的连续不断，且( )( )0f af b?的函数( )yf x=，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、疑难知识导析1. 关于函数( )( )yf xg x=-的零点，就是方程( )( )f xg x=的实数根，也就是( )yf x=与函数( )yg x=图像的交点的
46、横坐标.要深刻理解，解题中灵活运用.2. 如果二次函数2( )yf xaxbxc=+，在闭区间 m,n 上满足( )( )0f mf n?，那么方程20axbxc+=在区间（ m,n）上有唯一解，即存在唯一的1( , )xm n，使1()0f x=，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 35 页 - - - - - - - - - 方程20axbxc+=另一解2(,)( ,)xmn - +.3.二次方程20axbxc+=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形
47、而定. 如二次方程( )f x20axbxc+=的根都在区间( , )m n时应满足：02()0( )0bmnaf mf n? ? -?4. 用二分法求二次方程的近似解一般步骤是（1）取一个区间（,a b）使( )( )0f af b?（2）取区间的中点，02abx+=（ 3） 计 算0()f x， 若0()0f x=， 则0 x就 是( )0f x =的 解 ， 计 算 终 止 ； 若0( )()0f af x?，则解位于区间（0,a x）中，令110,aa bx=；若0()( )0f xf b?则解位于区间（0,xb）令101,ax bb=（4）取区间是（11,a b）的中点，1112ab
48、x+=重服第二步、第三骤直到第n 步，方程的解总位于区间（,nnab）内（5）当,nna b精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.三、经典例题导讲 例 1 已知函数2( )3f xxaxa=+-若 2,2x-时，( )f x0 恒成立，求a的取值范围.错解 ： （一）( )0f x 恒成立，24(3)aa-0恒成立解得a的取值范围为62a-错解 ： （二）2( )3f xxaxa=+-若 2,2x -时，( )f x0 恒成立( 2)0(2)0ff-?即22( 2)2302230aaaa? -+-?+-?解得a的取值范围为773a- 错因 ：对二次函数( )f x2ax
49、bxc+当xR上( )f x0 恒成立时，0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 35 页 - - - - - - - - - 片面理解为，2axbxc+0， 2,2x-恒成立时，0；或者理解为( 2)0(2)0ff-?这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误. 二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论； “轴定区间变”要对区间进行讨论.正解 ：设( )f x的最小值为( )g a（1）当22a-即a4 时，( )g a(2)f7a0，得a 7
50、，又a4故7a4综上，得 7a2 例 2 已知210mxx+ =有且只有一根在区间（0,1 ）内，求m的取值范围.错解 ：设2( )1f xmxx=+210mxx+ =有且只有一根在区间（0,1 ）内(0)(1) 0ff?得m2错因 ：对于一般( )f x，若( )( )0f af b?，那么，函数( )yf x=在区间（ a,b ）上至少有一个零点，但不一定唯一. 对于二次函数( )f x，若( )( )0f af b?则在区间（ a,b ）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程( )f x0 在区间（ a,b ）上有且只有一根时，不仅是( )( )0f af b?，也有可能(