2022年高中数学必修一函数概念与基本初等函数精品教学案.docx-淘文阁

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数概念与基本初等函数一函数1明白构成函数的要素,明白映射的概念, 会求一些简洁函数的定义域和值域.2懂得函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法,能依据不同的要求挑选恰当的方法表示简洁的函数；3明白分段函数,能用分段函数来解决一些简洁的数学问题；4懂得函数的单调性,会争论和证明一些简洁的函数的单调性；懂得函数奇偶性的含义,会判定简洁的函数奇偶性；5懂得函数的最大小值及其几何意义,并能求出一些简洁的函数的最大小值 . 6会运用函数图像懂得和争论函数的性质二指数函数 1明白指数函数模型的实际背景；2懂得有理指数幂的含义,明白实数指数幂的意义,把

2、握幂的运算；3懂得指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题；4知道指数函数是一类重要的函数模型；三对数函数 1懂得对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；明白对数在简化运算中的作用；2懂得对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题 .3知道对数函数是一类重要的函数模型 .；4明白指数函数与对数函数互为反函数四幂函数 1明白幂函数的概念；2结合函数的图像,明白它们的变化情形；五函数与方程 1明白函数零点的概念,结合二次函数的图像,明白函数的零点与方程根的联系；2懂得并把握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；能利用函数的图象和性质判别函数零点

3、的个数 .六函数模型及其应用 1明白指数函数、对数函数以及幂函数的增长特点；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2明白函数模型如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用；3能利用给定的函数模型解决简洁的实际问题；- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定义域区间一元二次函数函定对应法就指一元二次不等式指数方程义根式分数指数值域映奇偶性数函指数函数的图像和性质射数对数方程数性对数的性质单调性积、商、幂与质周期性根的对数对数反互为反函数的对对数恒等式

4、函和不等式函数图像关系数数函常用对数数自然对数对数函数的图像和性质依据考试大纲的要求,结合2022 年高考的命题情形,我们可以猜测2022 年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及,高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简洁应用等作基础性的考查,题型多以挑选、填空题的形式显现；二是以函数、方程、三角、不等式等学问为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易规律学问考查同学的数学思想、数学方法和数学才能,题型常以解答题的形式显现 .函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题 . 在近几年的高考试卷中,挑选题、

5、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新 . 以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势 .考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象. 函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点. 考查运用函数的思想来观看问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类争论的基本数学思想 .第 1 课时函数及其表示一、映射1映射：设A、B 是两个集合,假如依据某种对应关系f ,对于集合A中的元素,在集合 B 中都有元素和它对应,这样的对应叫做到的映射,记作 .2象与原象：假如 f

6、:AB 是一个 A 到 B的映射, 那么和 A 中的元素 a 对应的叫做象,叫做原象；- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、函数1定义：设 A、B 是,f :A B 是从 A 到 B 的一个映射,就映射 f :A B 叫做 A 到 B的,记作 .2函数的三要素为、,两个函数当且仅当分别相同时,二者才能称为同一函数；3函数的表示法有、；典型例题例 1. 以下各组函数中,表示同一函数的是y|x.x1,yx21A. y1,yx B. 1xC. yx,y33 x D. yx|,yx2 解： C变式训练 1：

7、以下函数中,与函数y=x 相同的函数是D.y=2log2xA.y=x2B.y=x 2 C.y=lg10x x解： C例 2. 给出以下两个条件： 1fx +1=x+2x ;2fx为二次函数且f0=3,fx+2-fx=4x+2.试分别求出fx的解析式 .解： 1令 t=x +1, t 1, x=t-1 2.就 ft=t-12+2t-1=t2-1, 即 fx=x2- 1,x 1,+.2设 fx=ax2+bx+c a 0,fx+2=ax+22+bx+2+c,就 fx+2-fx=4ax+4a+2b=4x+2.4a42,a11,又 f0=3c=3, fx=x2-x+3.4a2 bb变式训练2：1已知 f

8、 21=lgx ,求 f x；x2已知 f x是一次函数,且满意3f x+1-2f x-1 =2x+17,求 f x；3已知 f x满意 2f x+f 1 =3x,求 f x.x解： 1 令 2 +1=t ,就 x= 2,x t 1f t =lg 2,f x=lg 2 ,x 1,+ .t 1 x 12设 f x=ax+b,就3f x+1-2f x-1 =3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17 ,a=2, b=7,故 f x=2x+7.32f x+f 1 =3x,x3把中的 x 换成1 ,得 2f x1 +f x= xx- 3 - 名师归纳总结 - - - - - -

9、 -第 3 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 - 得 3f x=6x-3 ,f x =2x-x1 . x例 3. 等腰梯形 ABCD的两底分别为 AD=2a,BC=a,BAD=45 ,作直线 MNAD交 AD于 M,交折线ABCD于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD位于直线 MN左侧的面积 y 表示为 x 的函数,并写出函数的定义域 .解：作 BHAD, H为垂足, CGAD, G为垂足,依题意,就有AH=a , AG= 3 a.2 21当 M位于点 H的左侧时, NAB,由于 AM=x,BAD=45 .MN=x.y=S AMN=1 x 220xa .

10、 25 a23ax2a .2当 M位于 HG之间时,由于AM=x,MN= a ,BN=x-2a . 2y=S AMNB =1 a x+x-2 2a = 21 ax-22 aax3a.8223当 M位于点 G的右侧时,由于AM=x,MN=MD=2a-x.y=S ABCD-S MDN=1a2aa12ax23 a214 a24axx21x22ax222422421x2x0 ,a22综上： y=1axa2xa,3a.2822.1x22 ax52 ax3a2, a242x2,x0 ,变式训练 3：已知函数fx=,11,x,0x0 .x1画出函数的图象；2求 f1 ,f-1,ff1 的值 .解： 1分别作

11、出fx在 x0,x=0,x 0 段上的图象,如下图,作法略2f1=12=1,f-1=-1,1ff1 =f1=1.1小结归纳1明白映射的概念,应紧扣定义,抓住任意性和唯独性2函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法或凑配法、解方程组法使用换元法时,要留意争论定义域的变化3在简洁实际问题中建立函数式,第一要选定变量,然后查找等量关系,求得函数的解析式,仍要留意定义域假设函数在定义域的不同子集上的对应法就不同,可用分段函数来表示- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 基础过关第 2 课时函数的定义域和值域一、定

12、义域：1函数的定义域就是使函数式的集合 .2常见的三种题型确定定义域：已知函数的解析式,就是 .g x 的域是外函数f x 的复合函数 f g x 的有关定义域,就要保证内函数域.实际应用问题的定义域,就是要使得有意义的自变量的取值集合.二、值域：1函数 yf x 中,与自变量x 的值的集合 .,常用的方法有：2常见函数的值域求法,就是优先考虑,取决于观看法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法又分为法和法x法例如：形如 y21x2,可采纳法；y2x1x2,可采纳3x23法；yx1,可采或法；ya f x2bf x c,可采纳用法； yx1x2,可采纳

14、归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1由2x020,得x32x,4所以 -3 x2 且 x 1.12xxx10x1故所求函数的定义域为-3 ,11,2.2由4x30得x43,函数的定义域为3,11,44,.414x3,1x2422555 x40x53由25xx200, 得5x25x2 k2kZ, cos2 k借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为5 ,32,23,5.22例 2.设函数 y=fx的定义域为 0,1,求以下函数的定义域.1y=f3x; 2y=f1 ; x3y=fx1fx1; 4y=fx+a+fx

15、-a.33解： 103x1, 故 0x1 , 3y=f3x的定义域为 0, 1 . 32仿 1解得定义域为1,+.3由条件, y 的定义域是fx1与x1定义域的交集 .33列出不等式组0x1111xx421x2,3330x1331333故 y=fx1fx1的定义域为1,2. 3333由条件得0xa1aaxx11a,争论：0xa1a当a1a ,a,即 0a1 时,定义域为2a,1-a ;1a1当aaa,a ,即-1 a0 时,定义域为2-a,1+a .1综上所述：当0a1 时,定义域为2a,1-a ；当 -1 a0 时,定义域为2-a , 1+a.变式训练 2：假设函数 fx的定义域是 0,1,

16、就 fx+a fx-a0a1 的定义域是 2A. B.a,1-a C. -a ,1+a D. 0,1解：B 例 3.求以下函数的值域：- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1y=xx2xx1; 2y=x-12x; 3y=e x1.2x e1解： 1方法一配方法y=1-2 1 , 而 x 2x 1 x 1 2 3 3 ,x x 1 2 4 402 1 4 ,1y 1 .值域为 11, . x x 1 3 3 3方法二判别式法2由 y= 2 x x , 得y-1 x 2 1 y x y .0x x 1y=1 时

17、 , x , y 1. 又 x R,必需 =1-y 2-4yy-1 0.1y 1 .y ,1函数的值域为 11, . 2方法一单调性法3 3定义域 x | x 1,函数 y=x,y=-1 2 x 均在 , 1上递增,2 2故 y11 2 1 1 .2 2 2函数的值域为 , 1 . 2方法二换元法令 1 2 x =t, 就 t 0,且 x= 1 2t .y=-1 t+1 2+11 t 0 ,2 2 2y - ,1 .2x3由 y= ex 1 得 ,e x= 1 y .e x 0, 即 1 y0, 解得 -1 y1.e 1 1 y 1 y函数的值域为 y|-1y1.变式训练 3：求以下函数的值域

18、：1y= 1 x ; 2y=|x| 1 x .2 x 5解： 1 别离常数法 y=-1 7,7 0,2 2 2 x 5 2 2 x 5 y -1 . 故函数的值域是 y|y R,且 y -1 .2 22 方法一换元法方法二1 -x20, 令 x=sin, 就有 y=|sin1cos|=1 |sin2 2|,故函数值域为0,1 . 2,y=|x| 1x2x4x22 x12240y1 即函数的值域为 2,01.2- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4假设函数f x=1 x 22-x+a 的定义域和值域

19、均为1,b b1,求 a、b 的值 .解： f x= 1 x-1 2+a-1 . 2 2其对称轴为 x=1,即 1,b为 f x的单调递增区间 . f xmin=f 1=a-1 =1 2f x max=f b= 1 b 2-b+a=b 23由解得 a2 ,b 3 .变式训练 4：已知函数 fx=x 2- 4ax+2a+6 x R.1求函数的值域为0,+ 时的 a 的值；2假设函数的值均为非负值,求函数 fa=2-a|a+3| 的值域 .解： 1 函数的值域为0,+, =16a 2-42a+6=0 2a 2-a- 3=0a= -1 或 a= 3 .2 2对一切 x R,函数值均非负 , =82a

20、 2-a- 3 0- 1a3 , a+3 0,2fa=2-aa+3=-a 2-3a+2=-a+ 3 2+ 17 a ,1 3 . 2 4 2二次函数 fa 在 ,1 3上单调递减,f amin=f 3 =-19 ,f a max=f -1 =4,2 2 4fa 的值域为 19 , 4 . 4小结归纳1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出说明式如例1,应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式如例 2,就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题, 此时函数的定义域除使解析式有意义外,有意义 . 仍应使实际问题或几何问题2求函数的值域没有通用方法和固定模式,除了把握常用方

21、法如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法外,应依据问题的不同特点,综合而敏捷地挑选方法. 第 3 课时函数的单调性基础过关一、单调性1定义：假如函数yf x 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当 x1、x2 时,都有,就称 f x 在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个；都有,就称 f x在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 . - 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设函数 f x 在整个定义域l 内只有唯独的一个单调区间,就f

22、 x 称为 . 2判定单调性的方法：1 定义法,其步骤为：； . 2 导数法,假设函数 yf x 在定义域内的某个区间上可导,假设,就 f x 在这个区间上是增函数；假设,就 f x 在这个区间上是减函数 . 二、单调性的有关结论1假设 f x, g x 均为增减函数,就 f x g x 函数；2假设 f x 为增减函数,就 f x 为；3互为反函数的两个函数有的单调性；4复合函数 y f g x 是定义在 M上的函数,假设 f x 与 g x 的单调相同,就 f g x为,假设 f x, g x 的单调性相反,就 f g x 为 . 5奇函数在其对称区间上的单调性,偶函数在其对称区

23、间上的单调性 . 典型例题例 1. 已知函数 fx=a x+ x 2 a 1 ,证明：函数 fx 在-1,+ 上为增函数 .x 1证明方法一任取 x1,x2-1,+ , 不妨设 x1x2, 就 x2-x1 0, a x 2x 11 且 a 0,a x 2a x 1a x 1 a x 2 x 1 1 0,又 x1+10,x2+10,x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 1 x 1 2 x 2 1 3 x 2 x 1 0,x 2 1 x 1 1 x 1 1 x 2 1 x 1 1 x 2 1于是 fx 2-fx 1= a x 2a x 1+ x 2 2 x 1 2 0,x 2 1 x 1

24、 1故函数 fx 在 -1,+ 上为增函数 .方法二 fx=a x+1-3 a 1,x 1求导数得 f x =a xlna+ 3 , a 1, 当 x-1 时, a xlna 0, 30, x 21 x 21f x 0 在 -1 , +上恒成立,就 fx 在 -1,+ 上为增函数 .方法三a1, y=a x为增函数,又 y= x 21 3,在 -1 ,+上也是增函数 .x 1 x 1y=a x+ x 2 在 -1 ,+上为增函数 . x 1变式训练 1：争论函数 f x=x+ a a0的单调性 .x解：方法一明显 f x为奇函数,所以先争论函数 f x在 0,+上的单调性,设 x1x20,

25、就fx 1-fx 2 = x1+ a - x2+ a =x 1-x 2 1-a . 1x 2x x 1x 2当 0x 2x 1a 时,a 1,x 1x 2就 f x 1-f x2 0,即 fx 1 fx 2, 故 f x在 0,a 上是减函数 .- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x1x2a 时, 0a1,就 f x1 -f x2 0, 即 fx1 fx2,x 1x 2故 f x在a ,+上是增函数. f x是奇函数,a 上是增函数 .f x分别在 -, -a 、a ,+上为增函数；f x分别在 -

26、a ,0、 0,a 上为减函数 .方法二由fx =1-a =0 可得 x=2xa当 xa 或 x-a 时,fx 0f x分别在a ,+、 - , -同理 0 xa 或-a x0 时,fx0即 f x分别在 0,a 、 -a ,0上是减函数 . 例 2.判定函数 fx=x21在定义域上的单调性.解：函数的定义域为x|x -1 或 x1,就 fx= x21,可分解成两个简洁函数.fx=ux ,ux =x21 时, ux 为增函数,ux为增函数 .f x=x21在 1,+ -1 时, ux 为减函数,u x为减函数,fx=x21在 - ,-1 上为减函数 .变式训练2：求函数 y=log 4x-x

27、 22的单调区间 .解：由 4x-x20,得函数的定义域是0,4. 令 t=4x-x2,就 y=log t.2t=4x-x2=-x-2 2+4, t=4x-x2 的单调减区间是2,4,增区间是0,2 .又 y=log t 在 0,+上是减函数,2函数 y=log 4x-x 22的单调减区间是0, 2,单调增区间是2,4. 2.例 3.求以下函数的最值与值域：1y=4-32xx 2; 2y=x+4 ;3y= xx 212x24.解： 1由 3+2x-x20 得函数定义域为-1 ,3,又 t=3+2x-x2=4-x-1t 0, 4,t 0,2,从而,当 x=1 时, ymin=2,当 x=-1

28、或 x=3 时, ymax=4. 故值域为 2,4.- 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 方法一函数 y=x+4 是定义域为 x|x 0 上的奇函数 , 故其图象关于原点对称 x, 故只争论x0 时, 即可知 x 0 时的最值 .当 x0 时 ,y=x+4 2 xx 4=4,等号当且仅当 xx=2 时取得 . 当 x0 时, y-4,- , -4 4,+,无最值 .等号当且仅当x=-2 时取得 . 综上函数的值域为方法二任取 x1,x2, 且 x1x2,4 ,由于 fx1-fx2=x1+4-x2+4

29、=x1x 2x 1x2x1x2x 1x2所以当 x-2 或 x2 时, fx递增 , 当-2 x0 或 0x2 时, fx 递减 .故 x=-2 时, fx最大值 =f-2=-4,x=2时, fx最小值 =f2=4,.AB,就直线 AB与 x 轴所以所求函数的值域为- , -4 4, +,无最大小值3将函数式变形为y=x02012x2 2022,可视为动点M x,0 与定点 A0, 1、 B2,-2 距离之和,连结的交点横坐标即为所求的最小值点.ymin=|AB|=022 12 213,可求得 x= 3 2 时, y min= 13 .明显无最大值 . 故值域为13 ,+ .变式训练 3：在经

30、济学中,函数 fx月最多生产 100 台报警系统装置,生产的边际函数 Mfx 定义为 Mfx=f x+1-f x. 某公司每xx0台的收入函数为 Rx=3 000x-20x 2 单位：元 ,其成本函数为 Cx=500x+4 000 单位：元,利润是收入与成本之差 .1求利润函数 Px及边际利润函数 MPx；2利润函数 Px与边际利润函数 MPx是否具有相同的最大值？解： 1Px=Rx-Cx=3 000x-20x 2- 500x+4 000 =-20x 2+2 500x-4 000 x 1,100且 xN,MPx=Px+1-Px=-20 x+12+2 500 x+1-4 000- -20x2+2

31、 500x-4 0002 ,=2 480-40x x 1,100且 xN.2Px=-20x-1252+74 125 ,当 x=62 或 63 时, Pxmax=74 120 元 .2由于 MPx=2 480-40x是减函数,所以当x=1 时, MPxmax=2 440 元 .因此,利润函数Px与边际利润函数MP x不具有相同的最大值.例 42022 广西河池模拟已知定义在区间0,+上的函数fx满意 fx 1=fx1-fxx 2且当 x1 时, fx 0. 1求 f1 的值；2判定 fx 的单调性；3假设 f3=-1,解不等式f|x|-2.0,解： 1令 x1=x20, 代入得 f1=fx1-f

32、x1=0, 故 f1=0.2任取 x1,x 20,+ ,且 x1x2, 就x 1, 由于当 x 1 时, fx x 2所以 fx 10, 即 fx1-fx2 0, 因此 fx1 fx2,x 2- 11 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 42 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以函数fx 在区间 0,+ 上是单调递减函数.3由 f x =fx 1-fx 2 得 f 9 =f9-f3, 而 f3=-1, 所以 f9=-2.x 2 3由于函数 fx 在区间 0,+ 上是单调递减函数,由 f|x|f9, 得|x| 9, x9 或 x-9. 因此不等式的解集为 x|x 9 或 x-9. 变式训练 4：函数 fx 对任意的 a、bR,都有 fa+b=fa+fb-1, 并且当 x0 时, fx 1.1求证： fx 是 R上的增函数；2假设 f4=5, 解不等式 f3m 2-m-2 3.解： 1设 x1,x 2R,且 x1 x2,就 x 2-x 10, fx2-x1 1. 1=fx2-x 1+fx1-1-fx1=fx2-x 1-1 0. fx2-fx1=fx2-x 1+x 1-fxf x2 fx1.即 fx 是 R上的增函数 . 2 f 4=f 2+2=f 2+f 2-1=5 ,f 2=3,原不等式可化为 f3m 2-

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