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1、第七章第七章 二元一次方程组二元一次方程组一一.基本知识基本知识二元一次方程二元一次方程二元一次方程的一个解二元一次方程的一个解二元一次方程组二元一次方程组二元一次方程组的解二元一次方程组的解解二元一次方程组解二元一次方程组结构结构:实际背景实际背景二元一次方程及二元一次方程组二元一次方程及二元一次方程组求解求解应用应用方法方法思想思想列二元一次方程组解应用题列二元一次方程组解应用题二元一次方程与一次函数二元一次方程与一次函数解应用题解应用题与一次函与一次函数的关系数的关系消元消元代入消员代入消员加减消元加减消元图象法图象法1.二元一次方程二元一次方程:通过化简后通过化简后,只有两个未知数只有
2、两个未知数,并并且所含未知数的项的且所含未知数的项的次数都是次数都是1,系数都不是系数都不是0的的整式方程整式方程,叫做二元一次方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组二元一次方程组:由两个一次方程组成由两个一次方程组成,共有两共有两个未知数的方程组个未知数的方程组,叫做二元一次方程组叫做二元一次方程组.二、有关概念二、有关概念4.二元一次方程组的解二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解二元一次方程组中各个方程的公共
3、解,叫做二叫做二元一次方程组的解元一次方程组的解.5.方程组的解法方程组的解法根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法.基本思想或思路基本思想或思路消元消元常用方法常用方法代入法和加减法代入法和加减法用代入法解二元一次方程组的步骤：用代入法解二元一次方程组的步骤： (1).求表达式：从方程组中选一个系数比较简求表达式：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将此方程中的一个未知数，如单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用，用含含x的代数式表示的代数式表示; (2).把这个含把这个含x的代数式代入另一个方程中，的代数式代入另一个方程中，消去消去y，得到一个
4、关于，得到一个关于x的一元一次方程；的一元一次方程； (3).解一元一次方程，求出解一元一次方程，求出x的值的值; (4).再把求出的再把求出的x的值的值 代入变形后的方程，求代入变形后的方程，求出出y的值的值.用加减法解二元一次方程组的步骤：用加减法解二元一次方程组的步骤： (1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；的系数，使其绝对值相等； (2).把变换系数后的两个方程的两边分别相把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次
5、方程；加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程； (3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ； (4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简把所求的这个未知的值代入方程组中较为简便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程的解程的解 . 6.列二元一次方程解决实际问题的一列二元一次方程解决实际问题的一般步骤般步骤： 审审： 设设： 列列： 解解： 答：审清题目中的等量关系审清题目中的等量关系 设未知数设未知数 根据等量关系，列出方程组根据等量关系，列出方程组 解方程组，求出未知数解方程组，求出未知数 检验所
6、求出未知数是否符合题意，写出答案检验所求出未知数是否符合题意，写出答案 二元一次方程组和一二元一次方程组和一次函数的图象的关系次函数的图象的关系方程组的解是对应的两条直方程组的解是对应的两条直线的交点坐标线的交点坐标两条线的交点坐标是对应两条线的交点坐标是对应的方程组的解的方程组的解二元一次方程和一次二元一次方程和一次函数的图象的关系函数的图象的关系以二元一次方程的解为坐标的点都以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上在对应的函数图象上.一次函数图象上的点的坐标都适合一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程对应的二元一次方程.1.已知方程组已知方程组 的解是的解是 则则 ， .
7、2.已知代数式已知代数式 ,当当 时，它的值是时，它的值是5；当；当 时，它的值是时，它的值是4,求求p，q的值的值.3.方程组方程组 的解互为相反数，求的解互为相反数，求a的值的值.4.甲、乙两位同学一同解方程组甲、乙两位同学一同解方程组 , 甲正确解出方程组甲正确解出方程组的解为的解为 ,而乙因为看错了而乙因为看错了 ，得解为，得解为 试求试求 的值的值.21,4xymxyn1,2.xymn qpxx21x2x1872,253ayxayx. 23, 2ycxbyax. 1, 1yxc. 6, 2yxcba,三、知识应用三、知识应用5.二元一次方程二元一次方程2m+3n=11 ( )A.任何
8、一对有理数都是它的解任何一对有理数都是它的解.B.只有两组解只有两组解.C.只有两组正整数解只有两组正整数解.D.有负整数解有负整数解.C6.若点若点P(x-y,3x+y)与点与点Q(-1,-5)关于关于X轴对轴对称称,则则x+y=_.37.已知已知|2x+3y+5|+(3x+2Y-25)2=0,则则x-y=_.-308.若两个多边形的边数之比是若两个多边形的边数之比是2:3,两个多两个多边形的内角和是边形的内角和是1980,求这两个多边形求这两个多边形的边数的边数.6和和99.方程组方程组 中中,x与与y的和的和12,求求k的值的值.25332kyxkyx264xkyk解得：解得：K=14解
9、法解法1：解这个方程组，得：解这个方程组，得依题意：依题意：xy=12所以所以(2k6) (4k)=12解法解法2：根据题意，得：根据题意，得2335212xykxykxy解这个方程组，得解这个方程组，得k=14四四. .列二元一次方程组解应用题列二元一次方程组解应用题专题训练：专题训练：1. 1.行程问题行程问题: :1.相遇问题相遇问题:甲的路程甲的路程+乙的路程乙的路程=总的路程总的路程 (环形跑道环形跑道):甲的路程甲的路程+乙的路程乙的路程=一圈长一圈长2.追及问题追及问题:快者的路程快者的路程-慢者的路程慢者的路程=原来相距路原来相距路 程程 (环形跑道环形跑道): 快者的路程快者
10、的路程-慢者的路程慢者的路程=一圈长一圈长3.顺逆问题顺逆问题:顺速顺速=静速静速+水水(风风)速速 逆速逆速=静速静速-水水(风风)速速例例1.某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时如果他以每小时50千米的速度行驶千米的速度行驶,就会迟到就会迟到24分钟分钟,如果他以每小时如果他以每小时75千米的速度行驶千米的速度行驶,就会提前就会提前24分钟分钟 到达乙地到达乙地,求甲、乙两地间求甲、乙两地间的距离的距离.、25052755stst 解：设甲、乙两地间的距离为解：设甲、乙两地间的距离为S千米，规定千米，规定时间为时间为t小时小时,根据题意得方程
11、组根据题意得方程组例例2.甲甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步乙二人以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发如果同时同地出发,相向而行相向而行,每隔每隔2分钟相遇一分钟相遇一次次;如果同向而行如果同向而行,每隔每隔6分钟相遇一次分钟相遇一次.已知甲已知甲比乙跑得快比乙跑得快,甲甲、乙每分钟各跑多少圈乙每分钟各跑多少圈?解：设甲、乙二人每分钟各跑解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据圈，根据题意得方程组题意得方程组2()16()1xyxy解得解得1316xy答答:甲、乙二人每分钟各跑甲、乙二人每分钟各跑 、 圈，圈，13161.某学校现有甲种材料某学校现有甲种材料3,乙种材料乙种材料29
12、,制作制作A.B两种型号的工艺品两种型号的工艺品,用料情况如下表用料情况如下表: 需甲种材料需甲种材料 需乙种材料需乙种材料1件件A型工艺品型工艺品 0.9 0.31件件B型工艺品型工艺品 0.41(1)利用这些材料能制作利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件两种工艺品各多少件?(2)若每公斤甲若每公斤甲.乙种材料分别为乙种材料分别为8元和元和10元元,问制问制作作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱两种型号的工艺品各需材料多少钱?2.2.图表问题图表问题1.入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。车价格大幅下降，
13、有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产一批汽车，如果每天生产期内生产一批汽车，如果每天生产35辆，则差辆，则差10辆完成任务，如果每天生产辆完成任务，如果每天生产40辆，则可提辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？日期是多少天？3.3.总量不变问题总量不变问题解解:设订单要辆设订单要辆x汽车，规定日期是汽车，规定日期是y天天,根据根据题意得方程组题意得方程组351040(0.5)yxyx2206xy解这个方程组，得解这个方程组，得答：订单要答：订单要220
14、辆汽车，规定日期是辆汽车，规定日期是6天天4.销售问题销售问题:标价标价折扣折扣=售价售价售价售价-进价进价=利润利润利润率利润率=利润售价进价进价进价1.已知甲已知甲.乙两种商品的标价和为乙两种商品的标价和为100元元,因市场因市场变化变化,甲商品打甲商品打9折折,乙商品提价乙商品提价5,调价后调价后,甲甲.乙乙两种商品的售价和比标价和提高了两种商品的售价和比标价和提高了2,求甲求甲.乙乙两种商品的标价各是多少两种商品的标价各是多少? 答：甲种商品的标价是答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的元，乙种商品的标价是标价是80元元.解：设甲、乙两种商品的标价分别为解：设甲、乙两种商品的标价分别为
15、x、y元，元，根据题意，得根据题意，得100952(1)100(1)10100100 xyxy解这个方程组，得解这个方程组，得2 08 0 xy 例：某车间每天能生产甲种零件例：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零个，或者乙种零件件100个，或者丙种零件个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙个，甲，乙，丙3种零件分种零件分别取别取3个，个，2个，个，1个，才能配一套，要在个，才能配一套，要在30天内生产最天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？种零件各应生产多少天？:,.30120 :100 :2003:2:1301551243:,315,1
16、2,3.xyzxyzxyzxyzxxzyyzz解 设甲种零件生产天 乙种生产天 丙种生产天根据题意 得化简 得解之得答 甲 乙 丙种零件各应生产天天天5 5、配套问题、配套问题1已知函数已知函数 的图象交于点的图象交于点P，则点则点P的坐标为（的坐标为（ ）(A)（7，3） (B)（3，7） (C)（3，7） (D)（3，7）2已知直线已知直线 与与 直线相交于直线相交于点，则的值分别为（点，则的值分别为（ ）(A) 2，3 (B) 3，2 (C) (D) 2312xyxy与bxy21xy 3已知：一次函数已知：一次函数 的图象与的图象与 正比例函数的图象交于点正比例函数的图象交于点A，并且与
17、轴交于点，并且与轴交于点B（0，4），），AOB的面积为的面积为6，求一次函数的表达，求一次函数的表达 式式bkxyxy312 ,213 ,21五五. .二元一次方程与一次函数专题训练二元一次方程与一次函数专题训练: :4.在同一直角坐标系内分别作出在同一直角坐标系内分别作出一次函数一次函数 和和 的图象的图象, 观察图象并回答问题观察图象并回答问题:xy 512 xy(1)这两个图象有交点吗这两个图象有交点吗?交点交点坐标是什么坐标是什么?(2)方程组方程组 的解的解是什么是什么?(3)交点的坐标与方程组的交点的坐标与方程组的解有什么关系解有什么关系?125yxyxxyo12 xyxy 5以
18、下为备选练习题以下为备选练习题例例1.A、B两地相距两地相距36千米千米.甲从甲从A地出发步行地出发步行到到B地地,乙从乙从B地出发步行到地出发步行到A地地.两人同时出两人同时出发发,4小时相遇小时相遇,6小时后小时后 ,甲所余路程为乙所甲所余路程为乙所余路程的余路程的2倍倍,求两人的速度求两人的速度.解解:设甲、乙的速度分别为设甲、乙的速度分别为x千米千米/小时和小时和y千米千米/小时小时.依题意可得依题意可得:4436422(42 )xyyxxy解得解得45xy 答答:甲、乙的速度分别为甲、乙的速度分别为4千米千米/小时和小时和5千千米米/小时小时.2. 下表是某一周甲、乙两种股票的收盘价
19、下表是某一周甲、乙两种股票的收盘价（股票每天交易结束时的价格）（股票每天交易结束时的价格）星期一星期一星期二星期二甲甲12乙乙13.5 张师傅在该周内持有若干甲、乙两种股票，若张师傅在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费行等），该人账户中星期二比星期一多获税费行等），该人账户中星期二比星期一多获利利200元，星期三比星期二多获利元，星期三比星期二多获利1300元，试元，试问张师傅持有甲、乙股票各多少股？问张师傅持有甲、乙股票各多少股？12.513.3星期三星期三星期四星期四星期五星期五星期六星期六12.913.91
20、2.4513.412.7513.15休盘休盘休盘休盘解：设张师傅持有甲种股票解：设张师傅持有甲种股票x股，乙种股票股，乙种股票y股，根据题意，得股，根据题意，得(12.5 12)(13.3 13.5)200(12.9 12.5)(13.9 13.3)1300 xyxy解得解得10001500 xy答：张师傅持有甲种股票答：张师傅持有甲种股票1000股，乙种股票股，乙种股票1500股股.3.某中学组织初一学生春游某中学组织初一学生春游,原计划租用原计划租用45座客座客车若干辆车若干辆,但有但有15人没有座位人没有座位;若租用同样数量若租用同样数量的的60座客车座客车,则多出了一辆车则多出了一辆车
21、,且其余客车恰好且其余客车恰好坐满坐满.已知已知45座客车日租金为每辆座客车日租金为每辆220元元, 60座座客车日租金为每辆客车日租金为每辆300元元,试问试问:(1)初一年级的人初一年级的人数是多少数是多少?原计划租用原计划租用45座客车多少辆座客车多少辆?(2)若租若租用同一种车用同一种车,要使每位同学都有座位要使每位同学都有座位,怎样租用怎样租用更合算更合算?4.打折前打折前,买买60件件A商品和商品和30件件B商品用了商品用了1080元元,买买50件件A商品和商品和10件件B商品用了商品用了840元元.打折后打折后,买买500件件A商品和商品和500件件B商品用商品用了了9600元元.问问:比不打折少花多少钱比不打折少花多少钱?