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1、 在分组分解法中，我们学习在分组分解法中，我们学习了形如了形如 x (pq)xpq 的式子的式子的因式分解问题。的因式分解问题。2即：即：x (pq)xpq=(xp)(xq)2 实际在使用此公式时，需要把实际在使用此公式时，需要把一次项系数和常数项进行分拆，在一次项系数和常数项进行分拆，在试算时，会带来一些困难。试算时，会带来一些困难。 下面介绍的方法，正好解决了下面介绍的方法，正好解决了这个困难。这个困难。十字相乘法：十字相乘法： 对于二次三项式的分解因式，对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。这种方法叫做十字相乘法
2、。即：即：x (pq)xpq=(xp)(xq)2xxpqpxqx=(pq)xx2pq例例1 分解因式分解因式 x 6x82解：解：x 6x82xx244x2x=6x=(x2)(x4)练习：分解因式练习：分解因式 (xy) (xy) 62 对于一般地二次三项式对于一般地二次三项式axbxc (a0) 此法依然好用。此法依然好用。2例例2 分解因式分解因式 3x 10 x32解：解：3x 10 x32x3x319xx=10 x=(x3)(3x1)例例3 分解因式分解因式 5x 17x122解：解：5x 17x1225xx3420 x3x=17x=(5x3)(x4)1251110=11例例4 将将
3、2(6x x) 11(6x x) 5 分分解因式解因式222解：解：2(6x x)11(6x x) 5222= (6x x) 52(6x x)122= (6x x5) (12x 2x1 )22= (6x 5)(x 1) (12x 2x1 )2615156=1练习：将下列各式分解因式练习：将下列各式分解因式1、 7x 13x622、 y 4y1223、 15x 7xy4y224、 10(x 2) 29(x2) 102答案答案(7x6)(x1)5、 x (a1) xa2答案答案 (y6)(y2)答案答案 (3xy)(5x4y)答案答案 (2x1)(5x8)答案答案 (x1)(xa) 例例5 将将
4、2x 3xy2y 3x4y2 分分解因式解因式22解：解： 2x 3xy2y 3x4y222=(2x 3xy2y )3x4y222=(2x y)(x2y)3x4y2=(2x y1)(x2y2)211241=3(2xy)(x2y)122(2xy) (x 2 y)=3x4y因式分解因式分解将下列各式用分组分解法因式分解 (a + b )2 - a - b解原式 = (a + b )2 - (a + b) =(a + b)( a + b - 1)因式分解因式分解找规律分组 ma - mb + m2 + mn + na - nb解原式=(ma + na) - (mb + nb) + (m2 + mn)
5、= a(m + n) - b(m + n) + m(m + n)= (m + n)(a - b + m)因式分解因式分解-4yz + 3x2 - 2xz + 6xy解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz)= 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z)= (3x - 2z)(2y + x)因式分解因式分解-4yz + 3x2 - 2xz + 6xy解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz)= 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z)= (3x - 2z)(2y + x)解原式 = (6xy + 3x2) - (4yz + 2xz)= 3x(
6、2y + x) - 2z(2y + x)= (2y + x)(3x - 2z)因式分解因式分解 分分 析析 在用分组分解法因式分解时，要注意分组不能使一个多项式变为乘积形式，分组的目的是分好的各组能提取各自的公因式同时使各组提取公因式后剩下的多项式又是各组的公因式，可以再提取，从而使问题得到解决，上述规律可以通俗的归纳成：“分组的目的是为了提分组的目的是为了提取，提取的目的是为了再提取取，提取的目的是为了再提取”。因式分解因式分解u将下列各式用分组分解法因式分解 练习练习1 1: ax + bx + cx + ay + by + cy 解原式 = x(a + b + c) + y(a + b
7、+ c) = (a + b + c)(x + y)因式分解因式分解 练习练习2 2: ab + ac + 2a + bx + cx + 2x 解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2) = (b + c + 2)(a + x)因式分解因式分解 练习练习2 2: ab + ac + 2a + bx + cx + 2x 解原式 = a(b + c + 2) + x(b + c + 2) = (b + c + 2)(a + x) 解原式 = b(a + x) + c(a + x) + 2(a + x) = (a + x)(b + c + 2)因式分解因式分解 练习练习3 3:
8、 mx + mx2 - n - nx 解原式 = mx(x + 1) - n(x + 1) = (x + 1)(mx - n) 解原式 = (mx - n) + x(mx - n) = (mx - n)(x + 1)因式分解因式分解 练习练习4 4: ab + a + b + 1 解原式 = a(b + 1) + (b + 1) = (b + 1)(a + 1)因式分解因式分解 练习练习5 5: ab - 1 + a - b 解原式 = a(b + 1) - (b + 1) = (b + 1)(a - 1)因式分解因式分解 练习练习5 5: ab - 1 + a - b 解原式 = a(b +
9、 1) - (b + 1) = (b + 1)(a - 1) 解原式 = b(a - 1) + (a - 1) = (a - 1)(b + 1)因式分解因式分解 练习练习6 6: m3 + 4m4 - 5 - 20m解原式 = (m3 - 5) + 4m(m3 - 5) = (m3 - 5)(1 + 4m) 解原式= m3(1 + 4m) - 5(1 + 4m) = (1+4m)(m3 - 5)因式分解因式分解 练习练习7 7: 3x3 + 6x2y - 3x2z - 6xyz 解原式 = 3x(x2 + 2xy - xz - 2yz) = 3x(x2 + 2xy) - (xz + 2yz)
10、= 3xx(x + 2y) - z(x + 2y) = 3x(x + 2y)(x - z)3x因式分解因式分解 练习练习8 8: ax5 - ax4 + ax - a 解原式 = a(x5 - x4 + x - 1) = ax4(x - 1) + (x - 1) = a(x - 1)(x4 + 1) 练习练习9 9: ax2 - bx2 - bx + ax + b - a解原式 = x2(a - b) + x(a - b) - (a - b) = (a - b)(x2 + x - 1)因式分解因式分解解原式= a(x2 + x - 1) - b(x2 + x - 1) = (x2 + x -
11、1)(a - b)例例 分解因式：x3-9x+8解法解法1 将常数项8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法解法2 将一次项-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法解法4 添加两项-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)