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1、因式分解,整式的乘除与因式分解,复习与回顾,:整式的乘法,计算下列各式:x(x+1)=；(x+1)(x1)=.,x2+x,x21,在小学我们知道，要解决这个问题，需要把630分解成质数乘积的形式.,类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.,讨论630能被哪些数整除?,观察、探究与归纳,请把下列多项式写成整式乘积的形式.,把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.,想一想：因式分解与整式乘法有何关系?,因式分解与整式乘法是互逆过程.,(x+y)(xy),x2y2,类比与比较,练习一理解概念,判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式
2、分解?(1)x24y2=(x+2y)(x2y)；(2)2x(x3y)=2x26xy(3)(5a1)2=25a210a+1；(4)x2+4x+4=(x+2)2；(5)(a3)(a+3)=a29(6)m24=(m+2)(m2)；(7)2R+2r=2(R+r).,因式分解,整式乘法,整式乘法,因式分解,整式乘法,因式分解,因式分解,公因式：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式；,把多项式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法.,探究,怎样分解因式:.,注意：各项系数都是整
3、数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.,说出下列多项式各项的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b2ab2+ab.,m,4k,5y2,ab,分析：应先找出与的公因式，再提公因式进行分解.,例1,分析：(b+c)是这两个式子的公因式,可以直接提出.,例2分解因式,.,随堂测验,因式分解：,24x3y18x2y；7ma+14ma2；(3)16x4+32x356x2；(4)7ab14abx+49aby；(5)2a(yz)3b(yz)；(6)p(a2+b2)q(a2+b2).,拓展与提高,1.2004
4、2+2004能被2005整除吗?,思考,你能将多项式x216与多项式m24n2分解因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?,(a+b)(ab)=a2b2,a2b2=(a+b)(ab),两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.,15.4.2公式法(1),例3分解因式:(1)4x29;(2)(x+p)2(x+q)2.,分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x29=(2x)232，即可用平方差公式分解因式.在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2n2.,4x29=(2x)232=(2x+3)(2x3).,(x+p)2(x+q
5、)2=(x+p)+(x+q)(x+p)(x+q)=(2x+p+q)(pq).,例4分解因式:(1)x4y4;(2)a3bab.,分析:(1)x4y4写成(x2)2(y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.(2)a3bab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解.,解:(1)x4y4=(x2+y2)(x2y2)=(x2+y2)(x+y)(xy).,(2)a3bab=ab(a21)=ab(a+1)(a1).,分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.,练习1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么?(1)x2+y2;(2)x2y2;(3)x2+y2;(4)x2y2.,
6、2.分解因式:(1)a2b2;(2)9a24b2;(3)x2y4y;(4)a4+16.,思维延伸1.观察下列各式:3212=8=81;5232=16=82;7252=24=83;把你发现的规律用含n的等式表示出来.2.对于任意的自然数n，(n+7)2(n5)2能被24整除吗?为什么?,思考：你能将多项式a2+2ab+b2与a22ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？,(a+b)2=a2+2ab+b2,(ab)2=a22ab+b2.,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和（或差）的平方.,a2+2ab+b2=(a+b)2a22ab+b2=(ab)2,15.4.2公
7、式法(2),例5分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)x2+4xy4y2.,分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=24x3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32,a2,2,a,b,b2,+,解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32=(4x+3)2.,+,解：(2)x2+4xy4y2=(x24xy+4y2)=x22x2y+(2y)2=(x2y)2.,例5分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)x2+4xy4y2.,例6分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)212(a+b
8、)+36.,分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.,解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.,(2)(a+b)212(a+b)+36=(a+b)22(a+b)6+62=(a+b6)2.,将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m212m+36.,练习1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？(1)a24a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b1;(4)a2+ab+b2.,2.分解因式：(1)x2+12x+36;(2)2xyx2y2;(3)a2+2a+1;(4)4x24x+1;(5)ax2+2a2x+a3;(6)3x2+6xy3y2.,应用提高、拓展创新,1.把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？,（1）；（2）；（3）；（4）（5）.,归纳：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到不能分解为止.,2.证明：连续两个奇数的平方差可以被8整除.,今天你有什么收获?你还有什么疑问吗?,小结,作业：习题15.4，2、3、5.,