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1、第三章 多维随机变量及其分布3.4 多维随机变量的特征数1、多维随机变量的数学期望定理3.4.1 若二维随机变量(X,Y)分布用联合分布列P(X=xi,Y=yi)或联合密度函数p(x,y)表示，则Z=g(X,Y)的数学期望为第三章 多维随机变量及其分布例3.4.1 在长为a的线段上任取两个点X与Y，求此两点间的平均长度。2、数学期望与方差的运算性质性质3.4.1 E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质3.4.2 若随机变量X与Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)性质3.4.3 若随机变量X与Y相互独立，则有Var(XY)=Var(X)+Var(Y)第三章 多维随机变量及其分布例3.4.2
2、 设X1和X2是独立同分布的随机变量,其共同分布为指数分布Exp().试求Y=max(x1,X2)的数学期望。2、数学期望与方差的运算性质性质3.4.1 E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质3.4.2 若随机变量X与Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)性质3.4.3 若随机变量X与Y相互独立，则有Var(XY)=Var(X)+Var(Y)第三章 多维随机变量及其分布例3.4.3 已知随机变量X1,X2,X3相互独立,且X1U(0,6),X2N(1,3),X3Exp(3).求 Y=X1-2X2+3X3的数学期望、方差和标准差.例3.4.4 设一袋中装有m只颜色各不相同的球,每次从中任取一
3、只，有放回地摸取n次,以X表示在n次摸到球的不同颜色的数目,求E(X).例3.4.5 设Xb(n,p),试求X的数学期望和方差.第三章 多维随机变量及其分布3、协方差定义3.4.1 设(X,Y)是一个二维随机变量,若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在,则称此数学期望为X与Y的协方差,记Cov(X,Y).性质3.4.4 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)性质3.4.5 若随机变量X与Y相互独立，则有Cov(X,Y)=0,反之不然.例3.4.6 设XN(0,2),且令Y=X2,则X与Y不独立，但协方差为0.第三章 多维随机变量及其分布性质3.4.6 对任意二维随机变量(X,Y),有Va
4、r(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)性质3.4.7 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)性质3.4.8 Cov(X,a)=0性质3.4.9 Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)性质3.4.10 设X,Y,Z是任意三个随机变量,则Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)例3.4.7(X,Y)密度试求Cov(X,Y)第三章 多维随机变量及其分布例3.4.8(X,Y)密度试求Var(2X-3Y+8).4、相关系数定义3.4.2 设(X,Y)满足Var(X)0,Var(Y)0,称为X与Y的(线性)相关系数。第三章 多维随机变量及其分布相关系数是相应标准化变量的协
5、方差.例3.4.9 二维正态分布N(1,2,12,22,)的相关系数就是.引理3.4.1(施瓦茨不等式)若X,Y的方差存在,有性质3.4.11 -1Corr(X,Y)1性质3.4.12 Corr(X,Y)=1的充要条件是X与Y间几乎处处有线性关系，即P(Y=aX+b)=1 a0第三章 多维随机变量及其分布例3.4.10 协方差很小但相关系数大的例子.性质3.4.13 在二维正态分布N(1,2,12,22,)的场合，不相关与独立是等价的.例3.4.11(投资风险组合)第三章 多维随机变量及其分布5、随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记称为n维随机向量X的期望向量。第三章 多维随机变量及其分布称为随机向量X的方差协方差阵，记为Cov(X)第三章 多维随机变量及其分布定理3.4.2 n维随机向量的协方差阵CoV(X)=(Cov(Xi,Yj)nn是一个对称的非负定矩阵.第三章 多维随机变量及其分布例3.4.12(n元正态分布)记B=Cov(X)a=(a1,a2,an),x=(x1,x2,xn)，则由密度函数定义的分布称为n元正态分布，记XN(a,B)作业习题3.46、16、36