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1、 选修1-1 模拟测试题一、选择题1. 若p、q 是两个简单命题,“p 或q”的否定是真命题,则必有（ ）A.p 真q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 假 D.p 假q 真35p2.“cos2= ”是“=k+,kZ”的（ ）212A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3. 设 f (x) = sin x + cos x ，那么( )A f (x) = cos x - sin x B D f (x) = -cos x - sin xf (x) = cos x + sin x C f (x) = -cos x + sin x4.曲线f(x)=x +x2
2、在点P 处的切线平行于直线y=4x1,则点P 的坐标为（ ）300A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(1,4)D.(2,8)和(1,4)5.平面内有一长度为2 的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是A.1,4 B.1,6 C.2,6 D.2,46.已知2x+y=0 是双曲线x y =1 的一条渐近线,则双曲线的离心率为（ ）22A. 2B. 3C. 5D.27.抛物线y =2px 的准线与对称轴相交于点S,PQ 为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦,2则PSQ 的大小是（ ）p3p22pA.B.C.D.与p 的大小有关38.已知命题p: “|x
3、2|2”,命题“q:xZ”,如果“p 且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x 为（ ）A.x|x3 或x1,xZB.x|1x3,xZ C.1,0,1,2,3D.1,2,39.函数f(x)=x +ax2 在区间(1,+)内是增函数,则实数a 的取值范围是（ ）3A.3,+B.3,+ C.(3,+)D.(,3)aa110.若ABC 中A 为动点,B、C 为定点,B( ,0),C( ,0),且满足条件sinCsinB= sinA,则动222点A 的轨迹方程是（ ）16x16y16y 16y2222A. a2=1(y0)B.+=1(x0)3a2a3a22 16x2 16y16x2 16y22C.
4、=1 的左支(y0)D.=1 的右支(y0)a23a2a23a2p11.设 a0,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x ,f(x )处切线的倾斜角的取值范围为0, ,则 P2004到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为（）11bb -12aA.0, B.0, C.0,| |2aD.0,|a2ax22y212.已知双曲线 =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F 、F ,点 P 在双曲线的右支上 ,且12ab2|PF |=4|PF |,则此双曲线的离心率 e 的最大值为（）125437A.B.C.2D.33二、填空题13. 对命题 p ：x R, x + 7 0 ，则p
5、 是_.7x14.函数 f(x)=x+ 1- x 的单调减区间为_.115.抛物线 y = x 关于直线 xy=0 对称的抛物线的焦点坐标是_.24x2y2916.椭圆 + =1 上有 3 个不同的点 A(x ,y )、B(4, )、C(x ,y ),它们与点 F(4,0)的距离成等113325 94差数列,则 x +x =_.13三、解答题17.已知函数 f(x)=4x +ax +bx+5 的图象在 x=1 处的切线方程为 y=12x,且 f(1)=12.32(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)在3,1上的最值.18.设 P:关于 x 的不等式 a 1 的解集是x|x0.Q
6、:函数 y=lg(ax x+a)的定义域为 R.如果 P 和x2Q 有且仅有一个正确,求 a 的取值范围.x219.已知 xR,求证:cosx1 .220. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 P 元，则销售量Q（单位：件）与零售价 P （单位：元）有如下关系： Q = 8300 -170P - P 问该商品零售价定为2多少时毛利润 L 最大，并求出最大毛利润（毛利润 = 销售收入- 进货支出）21.已知 aR,求函数 f(x)=x e 的单调区间.2 ax22.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 A(0, 2 )为 (2
7、)若 Q 是双曲线 C 上的任一点,F 、F 为双曲线 C 的左、右两个焦点,从 F 引F QF 的平分12112线的垂线,垂足为 N,试求点 N 的轨迹方程.参考答案：1. B “p 或 q”的否定是“ p 且 q”, p、 q 是真命题,p、q 都是假命题.5p2.A 由“=k+ ,kZ”“cos2=cos =123362232f(x )=3x +1=4,x =1.200012211b2=2.= .e= 1+ = 1+ 4 = 5 .a24222120b | 2ax + b | k1002a2a2a2a103a2c| F F | PF | + | PF |5= .121| - | | -
8、|3PFPFPFa12123113. $x R, x + 7 0；14. ,1；15. (0,7x41613.这是一个全称命题，其否定是存在性命题.114.定义域为x|x1,f(x)=1+=0, 1- ,x2 1- x2x11115. y = x 的焦点 F( ,0),F 关于 xy=0 的对称点为(0,).241616 449416.|AF|=aex =5 x ,|BF|=5 4= ,|CF|=5 x ,1135555944由题知 2|BF|=|AF|+|CF|,2 =5 x +5 x .x +x =8.131355517.解:(1)f(x)=12x +2ax+b,而 y=f(x)在 x=1
9、 处的切线方程为 y=12x,2k = -12 = f (1)12 + 2a + b = -12a=3,b=18，故 f(x)=4x 3x 18x+5.32f (1) = -124 + a + b + 5 = -123(2)f(x)=12x 6x18=6(x+1)(2x3)，令 f(x)=0,解得临界点为 x =1,x = .2122那么 f(x)的增减性及极值如下:3323x( ,+)22f(x)的符号f(x)的增减性+00+614递增极大值 16 递减 极小值递增临界点 x =1 属于3,1,且 f(1)=16，又 f(3)=76,f(1)=12,1函数 f(x)在3,1上的最大值为 16
10、,最小值为76.18.解:使 P 正确的 a 的取值范围是 0a0a1当 a=0 时,ax x+a=x 不能对一切实数恒大于 0,故 Q 正确 a .2D =1- 42 021若 P 正确而 Q 不正确,则 00 时,由单位圆中的正弦线知必有 xsinx,f(x)0,即 f(x)在(0,+)上是增函数.又f(0)=0,且 f(x)连续,f(x)在区间0,+内的最小值 f(0)=0,x2x2(-x)2即 f(x)0,得 cosx1+ 0,即 cosx1 .f(x)=cos(x)1+=f(x),222x2f(x)为偶函数,即当 x(,0)时,f(x)0 仍成立，对任意的 xR,都有 cosx1 .
11、220. 解：由题意知 L(P) = P Q - 20Q = Q(P - 20)= (8300 -170P - P )(P - 20) = -P -150P +11700P -166000 ， L(P) = -3P - 300P +11700 2322令 L(P) = 0 ，得 P = 30或 P = -130（舍） 此时 (30) = 23000 因为在 = 30附近的左侧 ( ) 0 ，右侧 ( ) 0 ， (30) 是极大值L P L PLPL根据实际意义知， L(30) 是最大值，即零售价定为每件 30 元时，有最大毛利润为 23000 元21.解:函数 f(x)的导数 f(x)=2x
12、e +ax e =(2x+ax )e .ax2 ax2ax当 a=0 时,若 x0,则 f(x)0,则 f(x)0.所以当 a=0 时,函数 f(x)在区间(,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.22当 a0 时,由 2x+ax 0,解得 x0，由 2x+ax 0,解得 x0 时,函数 f(x)在区间(, )内为增函数,在区间( ,0)内为减函数,在区间(0,+)aa内为增函数.22当 a0,解得 0x ,由 2x+ax 0,解得 x .22aa22所以当 a0 时,函数 f(x)在区间(,0)内为减函数,在区间(0, )内为增函数,在区间 ( ,+aa)内为减函数.22解:(1)设双
13、曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,即 kxy=0，2该直线与圆 x +(y 2 ) =1 相切,=1,即 k=1.221+ k2x2y2双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=x，故设双曲线 C 的方程为 =1.a2a2又双曲线 C 的一个焦点为( 2 ,0),2a =2,a =1.双曲线 C 的方程为 x y =1.2222(2)若 Q 在双曲线的右支上,则延长 QF 到 T,使|QT|=|QF |.21若 Q 在双曲线的左支上,则在 QF 上取一点 T,使|QT|=|QF |.21根据双曲线的定义|TF |=2,所以点 T 在以 F ( 2 ,0)为圆心,2 为半径的圆上,即点 T 的轨迹方
14、程22是(x 2 ) +y =4(y0).22由于点 N 是线段 F T 的中点,设 N(x,y)、T(x ,y ),1TTx - 2x =,Tx = 2x + 2,2则即代入并整理得点 N 的轨迹方程为 x +y =1(y0).22Ty = 2y.yy = ,TT2449416.|AF|=aex =5 x ,|BF|=5 4= ,|CF|=5 x ,1135555944由题知 2|BF|=|AF|+|CF|,2 =5 x +5 x .x +x =8.131355517.解:(1)f(x)=12x +2ax+b,而 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=12x,2k = -12 = f
15、(1)12 + 2a + b = -12a=3,b=18，故 f(x)=4x 3x 18x+5.32f (1) = -124 + a + b + 5 = -123(2)f(x)=12x 6x18=6(x+1)(2x3)，令 f(x)=0,解得临界点为 x =1,x = .2122那么 f(x)的增减性及极值如下:3323x( ,+)22f(x)的符号f(x)的增减性+00+614递增极大值 16 递减 极小值递增临界点 x =1 属于3,1,且 f(1)=16，又 f(3)=76,f(1)=12,1函数 f(x)在3,1上的最大值为 16,最小值为76.18.解:使 P 正确的 a 的取值范围
16、是 0a0a1当 a=0 时,ax x+a=x 不能对一切实数恒大于 0,故 Q 正确 a .2D =1- 42 021若 P 正确而 Q 不正确,则 00 时,由单位圆中的正弦线知必有 xsinx,f(x)0,即 f(x)在(0,+)上是增函数.又f(0)=0,且 f(x)连续,f(x)在区间0,+内的最小值 f(0)=0,x2x2(-x)2即 f(x)0,得 cosx1+ 0,即 cosx1 .f(x)=cos(x)1+=f(x),222x2f(x)为偶函数,即当 x(,0)时,f(x)0 仍成立，对任意的 xR,都有 cosx1 .220. 解：由题意知 L(P) = P Q - 20Q
17、 = Q(P - 20)= (8300 -170P - P )(P - 20) = -P -150P +11700P -166000 ， L(P) = -3P - 300P +11700 2322令 L(P) = 0 ，得 P = 30或 P = -130（舍） 此时 (30) = 23000 因为在 = 30附近的左侧 ( ) 0 ，右侧 ( ) 0 ， (30) 是极大值L P L PLPL根据实际意义知， L(30) 是最大值，即零售价定为每件 30 元时，有最大毛利润为 23000 元21.解:函数 f(x)的导数 f(x)=2xe +ax e =(2x+ax )e .ax2 ax2a
18、x当 a=0 时,若 x0,则 f(x)0,则 f(x)0.所以当 a=0 时,函数 f(x)在区间(,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.22当 a0 时,由 2x+ax 0,解得 x0，由 2x+ax 0,解得 x0 时,函数 f(x)在区间(, )内为增函数,在区间( ,0)内为减函数,在区间(0,+)aa内为增函数.22当 a0,解得 0x ,由 2x+ax 0,解得 x .22aa22所以当 a0 时,函数 f(x)在区间(,0)内为减函数,在区间(0, )内为增函数,在区间 ( ,+aa)内为减函数.22解:(1)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,即 kxy=0，2该
19、直线与圆 x +(y 2 ) =1 相切,=1,即 k=1.221+ k2x2y2双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=x，故设双曲线 C 的方程为 =1.a2a2又双曲线 C 的一个焦点为( 2 ,0),2a =2,a =1.双曲线 C 的方程为 x y =1.2222(2)若 Q 在双曲线的右支上,则延长 QF 到 T,使|QT|=|QF |.21若 Q 在双曲线的左支上,则在 QF 上取一点 T,使|QT|=|QF |.21根据双曲线的定义|TF |=2,所以点 T 在以 F ( 2 ,0)为圆心,2 为半径的圆上,即点 T 的轨迹方程22是(x 2 ) +y =4(y0).22由于点 N 是线段 F T 的中点,设 N(x,y)、T(x ,y ),1TTx - 2x =,Tx = 2x + 2,2则即代入并整理得点 N 的轨迹方程为 x +y =1(y0).22Ty = 2y.yy = ,TT2