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1、21.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题知识链接公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线预习导引1空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种(1)若从公共点的数目分，可以分为只有一个公共点相交没有公共点(2)若从平面的基本性质分，可以分为在同一平面内不同在任何一个平面内异面2异面直线(1)定义：不同在任何一个平
2、面内的两条直线(2)异面直线的画法3平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性符号表述：ac.4等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补5异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：(0，90(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab.要点一空间两条直线位置关系的判断例1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A
3、1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_答案平行异面相交异面解析直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”同理，直线AB与直线B1C“异面”所以都应该填“异面”规律方法1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排
4、除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面跟踪演练1(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()Aac Ba、c是异面直线Ca、c相交 Da、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足ab，a、c异面，则b与c()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线答案(1)D(2)C解析(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面(2)若ab，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知ac.要点二公理4、等角定理的应用例2在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1
5、C1、C1D1的中点，求证：(1)EF綊E1F1；(2)EA1FE1CF1.证明(1)连接BD，B1D1，在ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EF綊BD.同理，E1F1綊B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，因此，BD綊B1D1，又EF綊BD，E1F1綊B1D1，所以EF綊E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，因此，BMCF1.因为A1MA1B1，BEAB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平
6、行四边形，则BMA1E.因此，CF1A1E，同理可证A1FCE1.因为EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以EA1FE1CF1.规律方法1.空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行2求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似跟踪演练2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：
7、ACBD.证明(1)在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，则EHFG.故E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.要点三求异面直线所成的角例3如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，求异面直线AD、BC所成角的大小解如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中，过点M，作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，则
8、sinEMH，于是EMH60，则EMF2EMH120.所以异面直线AD、BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60.规律方法1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点2求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线(2)证明：用定义证明前一步的角为所求(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围跟踪演练3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是_；(2)AC和D1C1所成的角是_；(3)A
9、C和B1D1所成的角是_；(4)AC和A1B所成的角是_答案(1)90(2)45(3)90(4)60解析(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90.(2)D1C1DC，ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得ACD45.(3)BDB1D1，BDAC，B1D1AC，即AC和B1D1所成的角是90.(4)A1BD1C，ACD1是等边三角形，AC和A1B所成的角是60.1若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A共面 B平行C异面 D平行或异面答案D解析若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线2一条直线与两条异面直线中的一条
10、平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交答案B解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.3设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A有无数条 B有两条C至多有两条 D有一条答案A解析我们现在研究的平台是锥空间如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角4如图所示，已知三棱锥ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是()AMN(ACBD)BMN(ACBD)CMN(ACBD)DMNMN，
11、所以MN(ACBD)5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为_答案解析设棱长为1，因为A1B1C1D1，所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角在AED1中，cosAED1.1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角为，且090，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小一、基础达标1分别
12、和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A一定平行 B一定相交C一定异面 D相交或异面答案D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)2a、b为异面直线是指ab，且a不平行于b；a平面，b平面，且ab；a平面，b平面，且；不存在平面能使a，且b成立()A BC D答案D解析中的a，b有可能平行，符合异面直线的定义3下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案C解析易知选项A，B中PQRS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线4下面四种说法：若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；若直
13、线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；若ab，则a、b与c所成的角相等；若ab，bc，则ac.其中正确的个数是()A4 B3 C2 D1答案D解析若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故不对若ab，bc，则a、c平行、相交、异面均有可能，故不对正确5. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BC1C与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内
14、，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误综上所述，故选C.6若ABAB，ACAC，则下列结论：BACBAC；ABCABC180；ACBACB或ACBACB180.一定成立的是_答案解析ABAB，ACAC，ACBACB或ACBACB180.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角解如图，连接BD、A1D，ABCDA1B
15、1C1D1是正方体，DD1綊BB1，四边形DBB1D1为平行四边形，BDB1D1.A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，A1BBDA1D，A1BD是正三角形，A1BD60.A1BD是锐角，A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，A1B与B1D1所成的角为60.二、能力提升8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为()A30 B45C60 D90答案C解析连接BC1、A1C1，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直线A1B与AD1所成的角为60.9在空间
16、四边形ABCD中，ABCD，且异面直线AB与CD所成的角为30，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于()A15 B30 C75 D15或75答案D解析如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綊AB，FG綊CD，EGF是AB和CD所成的角或是其补角ABCD，EGGF.当EGF30时，AB和EF所成角GEF75，当EGF150时，AB和EF所成角GEF15.10一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的是_(填序号)答案解析把正方体平面展开图还原为原来的正方体，
17、如图所示，ABEF，EF与MN是异面直线，ABCM，MNCD，只有正确11如图所示，等腰直角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值解取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)在RtABC中，BC，ABAC，ABAC1，在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰三角形EBF中，cosFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.三、探究与创新12如图
18、，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由解如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.E是AA1的中点，EFA1B.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1BC，A1D1BC，四边形A1BCD1是平行四边形A1BCD1，EFCD1.E，F，C，D1四点共面E平面ABB1A1，E平面D1CE，平面ABB1A1平面D1CEEF.过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.13. 如图所示，ABC和ABC的对应顶点的连线AA、BB、CC交于同一点O，且.(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值(1
19、)证明AABBO，且，ABAB，同理ACAC，BCBC.(2)解ABAB，ACAC且AB和AB、AC和AC方向相反，BACBAC，同理ABCABC，ABCABC且，2.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”
20、主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活
21、种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉
22、奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕
23、所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就
24、有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴
25、水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣
26、布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。
27、乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？