《高中数学必修二第二章--2.3.1公开课教案课件课时训练练习教案课件.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修二第二章--2.3.1公开课教案课件课时训练练习教案课件.docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、23直线、平面垂直的判定及其性质23.1直线与平面垂直的判定学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题知识链接生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？预习导引1直线与平面垂直的有关概念(1)定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.(2)相关概念：若直线l与平面垂直，其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足(3) 图形语言：(画
2、直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直)如图所示(4)符号语言：任意a，都有lal.其中“任意直线”等同于“所有直线”2直线和平面垂直的判定定理(1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图所示(3)符号语言：a，b，abA，la，lbl.3直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0.综上，直线与平面所成的角的范围0，90.要点一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确
3、的序号是_若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；若平面内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面不垂直答案解析当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确根据线面垂直的定义，若l，则l与内的所有直线都垂直，所以正确规律方法1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线由此可知，如果一条直线与一个平面内的一
4、条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直2由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab.跟踪演练1设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm答案B解析对于A，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l，则l垂直内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是90，即m，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面要点二线面垂直的判定例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC
5、1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点求证：AD平面A1DC1.证明AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABC，AA1平面A1B1C1，显然A1C1平面A1B1C1，A1C1AA1.又B1A1C190，A1C1A1B1而A1B1AA1A1，A1C1平面AA1B1B，AD平面AA1B1B，A1C1AD.由已知计算得AD，A1D，AA12.AD2A1D2AA，A1DAD.A1C1A1DA1，AD平面A1DC1.规律方法证线面垂直的方法有三类(1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图
6、形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直(2)平行转化法(利用推论)：ab，ab；，aa.跟踪演练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF平面BB1O.证明ABCD为正方形，ACBO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位线，EFAC，EF平面BB1O.要点三直线与平面所成的角例3如图所示，三棱锥ASBC中，BSC90，ASBASC60，SASBSC.求直线AS与平面SBC所成的角解因为
7、ASBASC60，SASBSC，所以ASB与SAC都是等边三角形因此ABAC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则ADBC.设SAa，则在RtSBC中，BCa，CDSDa.在RtADC中，ADa.则AD2SD2SA2，所以ADSD.又BCSDD，所以AD平面SBC.因此ASD即为直线AS与平面SBC所成的角在RtASD中，SDADa，所以ASD45，即直线AS与平面SBC所成的角为45.规律方法1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形
8、，求出该角2在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口跟踪演练3如图所示，RtBMC中，斜边BM5，它在平面ABC上的射影AB长为4，MBC60，求MC与平面CAB所成角的正弦值解由题意知，A是M在平面ABC内的射影，MA平面ABC，MC在平面CAB内的射影为AC.MCA即为直线MC与平面CAB所成的角又在RtMBC中，BM5，MBC60，MCBMsinMBC5sin 605.在RtMAB中，MA3.在RtMAC中，sinMCA.即MC与平面CAB所成角的正弦值为.1一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第
9、三边的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D不确定答案B解析由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直2如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行 B垂直相交C垂直但不相交 D相交但不垂直答案C解析连接AC，因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交3下列表述正确的个数为()若直线a平面，直线ab，则b；若直线a平面，b，且ab，则a；若直线a平行于平面内的两
10、条直线，则a；若直线a垂直于平面内的两条直线，则a.A0 B1 C2 D3答案A解析中b与还可能平行、斜交或b在平面内；中a与还可能平行或斜交；中a还可能在平面内；由直线与平面垂直的判定定理知错4如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边A BC D答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面，对于图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直5矩形ABCD中，AB1，BC，PA平面ABCD，PA1，则PC与平面ABCD所成的角是_答案30解析tanPCA，PCA30.1.
11、直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.2线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90；(2)线面垂直，则线线垂直3求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).一、基础达标1下列说法中正确的个数是()若直线l与平面内两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内任意一条直线垂直，则l；若直线l与平面内无数条直线垂直，则l.A1 B2 C3 D4答案B解析对，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平
12、面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的正确的是，故选B.2已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在答案B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在3线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为()A30 B45C60 D120答案C解析如图，AC，ABB，则BC是AB在平面内的射影，则BCAB，所以ABC60，它是AB与平面所成的角4空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交答案
13、C解析取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，BD面AOC，BDAC，又BD、AC异面，选C.5已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)答案外心解析P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心6. 如图所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，则图中直角三角形的个数有_答案4解析BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.证明如图，连接AC，ACBD.又
14、BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1AC.A1C平面A1AC，BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D.二、能力提升8. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.答案D解析如右图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，A1C1B1D1.又BB1平面A1B1C1D1，OC1平面A1B1C1D1，OC1BB1.而BB1B1D1B1，OC1平面BB1D1D.
15、OB是BC1在平面BB1D1D内的射影C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角在正方形A1B1C1D1中，OC1A1C1.在矩形BB1C1C中，BC1.sinC1BO.9在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为_答案解析如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO.由已知正方体易知EO平面ABC1D1，所以EAO为AE与平面ABC1D1所成的角，设正方体棱长为1，在RtEOA中，EOEFA1D，AE ，sinEAO.所以直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为.10. 如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0
16、)，PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_答案2，)解析因为PA平面AC，QD平面AC，所以PAQD.又因为PQQD，PAPQP，所以QD平面PAQ，所以AQQD.当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.11如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解连接A1B，CD1，则A
17、1BAB1，A1D1AB1，又A1D1A1BA1，AB1面A1BCD1，又D1E面A1BCD1，AB1D1E.于是D1E平面AB1FD1EAF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点，当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.三、探究与创新12如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.证明(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，PABM.又PAAMA，BM平面PAM.又AN平
18、面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，PB平面PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.13在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持APBD1，则动点P满足的条件是什么？并说明理由解点P在线段B1C上时，可以总是保持APBD1.证明：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以BB1平面ABCD.又AC平面ABCD，所以BB1AC.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC.又BD平面BDD1B1，BB1平面BDD1B1，BB1BDB，所以AC平面BDD1
19、B1.又BD1平面BDD1B1，所以BD1AC.同理可证BD1AB1.又AC平面AB1C，AB1平面AB1C，ACAB1A，所以BD1平面AB1C.因为点P在线段B1C上，所以AP平面AB1C，所以APBD1.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的
20、水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大
21、？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开
22、小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉
23、了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，
24、我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无
25、比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说
26、，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了
27、他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？