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1、 四川省成都七中育才学校 2019-2020 学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1. 既是轴对称，又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.D.矩形平行四边形正三角形等腰梯形2. 抛物线 = 2) + 3的顶点坐标是( )2A.B.B.C.(2,3)(2,3)(2, 3)(2, 3)3. 若关于 的方程 + = 0没有实数根，则实数 的取值范围是( )x2mA.C.D. 4 44. 已知 中最长的弦为 8，则 的半径为( )A.B.C.8D.2416A.B.B.C.D.4060801006. 已知反比例函数 =的图象经过(1,1)，则 的值为( )
2、kA.C.D.21017. 斜坡的倾斜角为 ，一辆汽车沿这个斜坡前进了 500 米，则它上升的高度是( )A.B. 500C.D. 500500 米米500 米米中，= 6，= 3，则的值为( )B.C.D.A. 122345499. 已知点 是线段的一个黄金分割点，且= 10，则的长是( )PABPAA.B.C.D.55 56.18+3.825 110. 已知抛物线 =+ 1)有整数根，则 p 的值至少可能有( )A.B.C.D.2 个4 个5 个6 个 二、填空题（本大题共 9 小题，共 36.0 分）11. 已知 = ，则 =_12. 把二次函数 =2的图象向左平移 2 个单位，再向上平
3、移 5 个单位，所得的二次函数的表达式是113. 在平面直角坐标系中，已知点，2)，以原点 为位似中心，相似比为 ，把O2缩小，则点 的对应点 的坐标是_AAxx3分别交 = 0； 0；21212是_ 19. 如图，在正方形上一ABCDBC点，ME交DC的延长线于点 若= 12， = 5，AD则的长为DE三、解答题（本大题共 9 小题，共 84.0 分） 20. 计算：( 3) 27 2019) +22021. 如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8 点，在 处测得小岛 在北偏东75的AP方向上，以每小时 20 海里的速度继续向东航行，10 点到达 处，并测得小岛 在北偏东60的B
4、P方向上，已知小岛周围25 海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？你对船长有何建议？22. 有四张卡片(背面完全相同)，分别写有数字1、2、1、2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张，记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽取一张，记下这个数字，用字母 、 分别b c表示甲、乙两同学抽出的数字(1)用列表法求关于 的方程 + = 0有实数解的概率;x2 (2)求(1)中方程有两个相等实数解的概率23.弦，点 为垂足，点 在优弧上(1)若ED24.=+=122)，两点，32(1)求反比例函数的解析式；(2)若 ，写出 的取值范围x12 25.已知正方形，点 为边ABCD M的中点AB(
5、1)如图，点 为线段G上的一点，且= 90，延长、AG BG分别与边、BC CD交于点CM、 E F求证：求证：=；=2(2)如图，在边=交BC2AE并延长交CMBGCD26. 40)之间满足一次函数关系，图象如下：(1)求 与 之间的函数关系式；yx(2)设该种健身球每天的销售利润为 元 ，求 与 之间的函数关系式，并求出销售单价定为多wwx少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？27.已知四边形中， 、 分别是E F、AB AD边上的点，DE与交于点 GABCDCF(1)如图(1)，若四边形是矩形，且，求证 = ；ABCD(2)如图(2)，若四边形是平行四边形，试探究：当 与满足什么
6、关系时，使得 =ABCD成立？并证明你的结论；(3)如图(3)，若 = 4，= 6，= 90，请直接写出 的值 28.12如图，在平面直角坐标系中，抛物线 =与 轴交于点 2+ 的图象与 x 轴交于点、，yD(1)求抛物线的解析式；(2)连接，点 在抛物线的对称轴上，以 为平面内一点，四边形BD能否成为矩形？若PBQDPQ能，请求出点 的坐标；若不能，请说明理由；P(3)在抛物线上有一点 ，过点 、 的直线M M A交 轴于点 ，连接 BC，若=，MAyC请直接写出点 的坐标M - 答案与解析 -1.答案：A解析：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
7、分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果一个图形绕某一点旋转180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心解： 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C.正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D.等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误故选A2.答案：A解析：本题主要考查二次函数的性质和公式，解题的关键是熟
8、练掌握二次函数的顶点式二次函数的顶点式为： = )2 + 0)，其顶点坐标是(, ，根据二次函数的顶点式可以写出顶点坐标解：抛物线 = 2)2 + 3的顶点坐标是(2,3)故选：A3.答案：D解析：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的范围 解：= (4)2 4= 16 1) 直线的交点横坐标与一元二次方程根+ = 1) ，通过抛物线 =2 + 0)的对称轴为 = 1 ，与 x 轴的一个交点为(2,0).可以画出大致图象判断出直线 = ，观察图象当1 时，抛物线始终与 x 轴相
9、交于(4,0) 于(2,0).故自变量x 至少可以取得整数4 ，3 ，2 ，1 ，0，1，2，共 7 个由于 = 4 与 = 2， = 3 与 = 1，= 2 与 = 0关于对称轴直线 = 1 对称，所以 = 4 与 = 2对应一条平行于x轴的直线， = 3与 = 1对应一条平行于 x 轴的直线， = 2 与 = 1对应一条平行于 x 轴的直线， = 1 时对应一条平行于 x 轴且过抛物线顶点的直线，从而确定 = 时，p 的值至少应有 4 个解：抛物线 =2 + 0)的对称轴为 = 1= 1 ，解得 = 又抛物线 =把(2,0)代入 =2 +2 + 0)与+ 得，0 =x 轴的一个交点为(2,
10、0)+解得， = =2=+ 0)2对称轴为 = 1 ，最大值为如图所示， 顶点坐标为(1,令2 += 0即 2 + 8 = 0解得 = 4或 = 2当 1由图象得当1 1 1)有整数根2又 = 4与 = 2， = 3与 = 1， = 2与 = 0关于直线 = 1轴对称当 = 1时，直线 = 恰好过抛物线顶点所以 值至少有 4 个p故选： B11.答案：32= 3解析：解：= ，2根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积可直接得到 的结果根据比例的基本性质能够熟练进行比例式和等积式的相互转换12.答案： =+ 2)2 +5 解析：本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法
11、则是解答此题的关键直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 =解析式为： = + 2)2；2的图象向左平移 2 个单位长度所得抛物线的由“上加下减”的原则可知，将抛物线 =+ 2)2向上平移 5 个单位长度所得抛物线的解析式为： =+ 2)2 + 5故答案为 =+ 2)2 + 513.答案：(2,1)或(2, 1)1解析：解：点，2)，以原点 为位似中心，相似比为 ，把缩小，O2点 的对应点 的坐标是：(2,1)或(2, 1)A故答案为：(2,1)或(2, 1)11利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以 或 ，得出即可22此题主要考查了位似图形的性
12、质，根据题意得出位似图形对应点坐标性质是解题关键14.答案：1解析：本题考查了反比例函数系数 的几何意义：在反比例函数 = 图象中任取一点，过这一个点向 轴kx和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴y1作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变连接 OC、OB，2如图，由于轴，根据三角形面积公式得到=，再利用反比例函数系数 的几何意k1 |3| + 1 = 2，然后解关于 k 的绝对值方程可得到满足条件的 k 的值义得到22解：连接、 ，如图，OC OB 轴，=，= 1 |3| + 1 而，22 1 |3| + 1 = 2
13、，22而 0.抛物线与 轴交于负半轴，则 0， 0，故正确；它与 轴的两个交点分别为(1,0)，(3,0)，则=2 0，故正确；x抛物线与 轴的两个交点分别为(1,0)，(3,0)，x对称轴是 = 1，抛物线开口向上，当 1时， 随 的增大而减小，yx 当 ；故 正确；12由图象可知：当1 3时， 0，故错误；故正确的有故答案为首先根据对称轴公式结合 的取值可判定出 0，故正确；根据二次函数的性质即可判断出的x正误；由图象可知：当1 3时， 0时，抛物线向上开口；当 0)，对称轴在 轴左；当 与 异号时(即 0)，abyab对称轴在 轴右(简称：左同右异)；常数项 决定抛物线与 轴交点，抛物线
14、与 轴交于(0, ycyy19.109答案：5解析：本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握辅助线的做法和勾股定理的应用是解题关键首先根据矩形的判定得到矩形 DCFE，得出=，然后利用勾股定理求出的长，设=AM的长度DE，然后在 中利用勾股定理建立关于 的方程，然后解方程即可得到x解：过 点作E，交延长线于 点，FBC= 90，四边形是正方形，= 90，ABCD=四边形为矩形，= 12，DCFE=，又= 5， ，= 12 + 5 = 132 2= 7，=+22又，= 90，=+2，222设= ，= (+) = (12 + ) ，2= 13 = 169，2 22=+= (+) +
15、12 = (7 + ) + 144，2 2 2222 (12 + ) = 169 + (7 + ) + 144，22化简可得= 218，1095解得 =，= 109520.答案：解：原式= 3 33 1 + 6 32= 3 33 1 + 33= 2解析：直接利用零指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键21.答案：解：作= 90 75 = 15，= 90 60 =30，又=+，= 15，= 20 2 = 40(海里)，中， = 30，即12= 40 1 = 20 25在直角=2则若轮船仍向前航行有触礁的危险，应该建议船长改变航向解
16、析：作于点 ，根据方向角的定义求得C和的度数，证明=，然后在直角中利用三角函数求得PC的大小，与 25 海里进行比较即可 本题主要考查了方向角含义，正确记忆方向角的定义，证明=是解决本题的关键22.答案：解：(1)列表如下：共有 16 种等可能的结果，其中使方程有实数解的结果有10 种， 方程有实数解) = 10 = 5；168(2)方程有两个相等实数解的结果有 2 种， 方程有两个相等实数解) = = 21168解析：本题考查了根的判别式，列表法与树状图法求概率，概率公式(1)列表得到共有 16 种等可能结果，利用根的判别式分别计算出每种结果根的情况，得到符合条件的情况数，根据概率公式即可得
17、到结论；(2)根据概率公式计算即可23.答案：解：(1) ，弧=弧 AB ，= 1，2= 56，= 28；(2) ，=， 设 的半径为 ，则= 1，=r在 = 3，则3 + 1) =2中， 2 +2 =2，22解得这个方程，得 = 5解析：此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键(1)利用圆周角与圆心角的关系即可求解(2)利用垂径定理可以得到=1= 3，然后根据勾股定理即可求得224. 轴于点 ，点 在反比例函数CB2象上，22 = 3反比例函数图象在第一、三象限， = 3反比例函数的解析式为 = 32(2)当 = = 2时， = = ，3322点 的坐标为( ,
18、2)3A23 1时，一次函数图象在反比例函数图象上方，2观察函数图象可知：当若 ， 的取值范围为 13x122= 3解析：(1)根据利用反比例函数系数 的几何意义即可得出关于 的一元一次不等式，解之k k2即可得出 值，结合反比例函数图象所在象限即可得出反比例函数解析式；k(2)将 = 2代入反比例函数解析式中求出 值，再根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式x的解集本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数 的几何意义以及反比例函数图象k上点的坐标特征，解题的关键是：(1)利用反比例函数系数 的几何意义求出 值 ；(2)利用反比例函kk数图象上点的坐标特征求出点 的坐标A
19、25.答案：解：(1) 四边形是正方形，ABCD=，= 90，+= 90，= 90，+= 90，=，=，= 90， = 90，点 为M的中点，AB=，=，又=，=，=，又=，=2，即由=得=，由知=，=；2(2)延长、 交于点 ，AE DC N四边形是正方形，ABCD， =，又=，=，即=，=，=，2=，=，=，不妨设正方形的边长为 1，= ，由2 =可得 2 = 1 (1 ，解得： = 51， = 51 (舍)，1222= 51，2则= 51=2解析：本题主要考查相似形的综合问题，熟练掌握正方形与直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键(1)由正方形的性质
20、知=、，证= 90、可得；=+= 90，结合+= 90可得=由斜边中线知AB=，即得，结合，由=、=RtABG知=，从而证=可得答案；2(2)延长、交于点 ，证得=，由=、=2知AE DC，再由 =求得N= 且=得=，设正方形的边长为 1、= ，根据=的长，最后由= 可得答案2BE26.答案：解：(1)根据题意可得：设 =+ ，+ = 40，则+ = 0 = 2= 80解得；故 =，+ 80；(2)由题意可得： = 20) =+ 80)=+ 1600，2=+ 16002 30) + 200，2 2 0，当 = 30时， 有最大值 最大值为 200ww答：销售单价定为 30 元时，每天销售利润最
21、大，最大销售利润 200 元解析：(1)直接利用待定系数法得出 与 之间的函数关系式；yx(2)用每件的利润 20)乘以销售量即可得到每天的销售利润，即 =+80)，再进行配方得到顶点式 = 30) + 200，然后根据二次函数的最值问题求解2本题考查了二次函数的实际应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注x意自变量 的取值范围x27.答案：(1)证明：四边形是矩形，ABCD= 90，= 90，+，+=
22、90，=；(2)解：当+ 理由：如图(2)在的延长线上取点 ，使M=，则=AD，=+，=，= 180，+= 180= 180，=，=，=即；= 13(3)解：12连接 、 ，交于点 ，作AC BD M= 90，= 4，= 6，= 4 + 6 = 2132 2=+22在和中，=，=，=，=，= 90 =，又，：=： ，AD=，即6 = 2，22 = 1813，13= 1213，2213= 2413，13的面积= 1= 1，22 6 = 2413 1813，131372解得：= ，13，=，= 6 = 13721213解析：(1)由矩形的性质得出= 90，由角的互余关系得=，即可得出；(2)在的延
23、长线上取点 ，使M=，由等腰三角形的性质得出，证出 = 180，得出，得出对应边成比例 = ，即可得出结论；于 ，由勾股定理求出 BD，由 证明=由平行四边形AD的性质得出=，=+=，因此=证明(3)连接 、 ，交于点 ，作，AC BDMNSSS= 90 =的面积求出 CN，证明得出=，由等腰三角形的性质得出=，证明，得出对应边成比例求出DM，由勾股定理求出AM，由，得出对应边成比例，即可得出结果本题主要考查了相似形综合题目、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键2
24、 +8 + = 0+ = 028.答案：解：(1)由题意， = 1= 4解得，抛物线的解析式为 =12+ 42(2)如图 1 中，当为矩形的边时，直线的解析式为 = 4，BDBD直线的解析式为 = = 4，直线的解析式为 = 4，BP可得，5)当为矩形的对角线时，设，BD 的中点2)，由=，BD可得1 + 2) = (22) ，222解得 = 2 + 7或2 7，2 + 7)，或(1. 2 7)，要使四边形能成为矩形，满足条件的点 坐标为(1, 2 + 7)或(1. 2 7).P PBQD综上所述，满足条件的 的坐标为(1, 2 + 7)或(1. 2 7).P12+ 4)，(3)设设直线则有2
25、的解析式为 =+ ，AM+ = 12+ 4，2+ = 0 =解得， 42直线的解析式为 = 4) 4，AM2点 在第二象限显然不可能，当点 在第三象限时，如图2 中，作于 NMM=，= 90，=，122，=4 = 2或 04)或(0, 4)当点 在第一象限时，同法可得12，M=24整理得： 2 = 1 17或1 17(舍弃)，17, 4)，当点 在第三象限时，不存在， 16 = 0，M综上所述，满足条件的点 坐标(2, 4)或(0, 4)或(1 17, 4)M解析：(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)分两种情形讨论求解即可解决问题，当为矩形的边时，当为矩形的对角线时；BDBD 12+ 4)
26、，可得直线的解析式为 = 4，推出于 利用相似三角形的性质，(3)设 4). 点2AMM2在第二象限显然不可能，当点 在第三象限时，如图 2 中 ，作M构建方程即可解决问题；用类似的方法求出点 在第一象限时的坐标即可；M本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题=解得， 42直线的解析式为 = 4) 4，AM2点 在第二象限显然不可能，当点 在第三象限时，如图2 中，作于 NMM=，= 90，=，122，=4 = 2或 04)或(0, 4)当点 在第一象限时，同法
27、可得12，M=24整理得： 2 = 1 17或1 17(舍弃)，17, 4)，当点 在第三象限时，不存在， 16 = 0，M综上所述，满足条件的点 坐标(2, 4)或(0, 4)或(1 17, 4)M解析：(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)分两种情形讨论求解即可解决问题，当为矩形的边时，当为矩形的对角线时；BDBD 12+ 4)，可得直线的解析式为 = 4，推出于 利用相似三角形的性质，(3)设 4). 点2AMM2在第二象限显然不可能，当点 在第三象限时，如图 2 中 ，作M构建方程即可解决问题；用类似的方法求出点 在第一象限时的坐标即可；M本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题