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1、1. 定积分的几何意义例1。 =_解法1 由定积分的几何意义知，等于上半圆周 （）与轴所围成的图形的面积故=2。 利用积分不等式例1.求, 为自然数 解法 利用积分不等式因为 ，而,所以 例2。 求解法 因为，故有于是可得又由于因此=3.利用被积函数的奇偶性求定积分例1. 计算分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性 解 =由于是偶函数，而是奇函数,有, 于是=由定积分的几何意义可知， 故 例2。 计算.解 虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数,但我们可以利用得原式.4。设f(x）为周期函数且连续，周期为T，则。事实上由于于是例1.设表示距离x最近整数
2、的距离,计算解 由且为周期函数，周期为1，于是5。利用积分中值定理例1. 求， 为自然数解法 利用积分中值定理设 , 显然在上连续, 由积分中值定理得, ,当时， ， 而， 故例2。 求解法 由积分中值定理 可知 =，又且，故6。利用适当变量变换求定积分例1. 设f(x)在0，1上连续，计算解 设于是得例2。设函数f(x)在内满足且，计算解法一 解法二 当时，于是例46 设解 原式7.利用定积分公式公式1：设f(x）在0,1上连续，则事实上 移项两边同除以2得。公式2: 记 于是由于递推公式每次降2次，要讨论n为奇偶数的情形，由公式3：证 由,知的周期为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而由于2n是偶数，故公式4 。 证 例54 证明.证 公式5设f（x）在0，1上连续，则。证 由是为周期的函数，当然也是以为周期的函数，知也是以为周期的函数,于是公式6证 公式7。 证 例1。 计算.解 利用方法（7）得原式6