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1、Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaPhys.FDUChapter 2 复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions. 一、 复变函数积分(Integrals of complex variable function
2、s) 1定义：设l是复平面C上的一条可求长的有向曲线，函数在l上有定义，沿l取分点，从的一小段上任取一点，作和数，如果当弧段（）的最大长度时，此和数的极限存在，且与和的选取无关，那么这个极限值称为沿曲线l的积分，记作. *) 一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合.因此，根据实变函数线积分的知识，可以知道，如果l是分段光滑的， 在l上连续，复变函数积分一定存在。 *) 可以把沿曲线的积分化为关于参数的积分参数方程：，即 其中由曲线端点的参数值确定。2性质：(1) 若，则.(2) ，其中表示的逆向。(3) .(4) ，其中M是的上界，是曲线的长。例1求，l为：(i)沿实轴由，再平行于虚轴
3、；(ii) 沿虚轴由，再平行于实轴；(iii)沿直线由.解：令，则，. 对于(i)， . 对于(ii)， . 对于(iii)，, .虽然积分的起末点相同，但三种结果不同，这是由于不是解析函数。例2，其中l以为起点，为终点，路径为：(i)直线段；(ii)上半单位圆周；(iii)下半单位圆周。（练习）解：(i) l的参数方程为：，所以，则 .(ii) l的参数方程为：，所以，则 .(iii) l的参数方程为：，所以，则 .例3计算积分，其中l为实圆环的上半部分的边界，方向为环形区域的正方向(靠右行)。 解：咋看起来在D内解析，应该有. 其实不然，仅仅依赖于 而非依赖于：，非解析。例4计算积分，（，
4、其中C是以点为圆心，为半径的圆，积分方向为逆时针方向。解：曲线C 的参数方程为：.,这个积分与半径及常点的位置无关，并且必须在复平面上，其实是个纯虚数。二、 科希定理（Cauchy Theorem） 上节讲述的是一般复变函数积分（主要是例子）。一般来说，它们的值不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关，还与该曲线段的具体形状有关。 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的能使积分与曲线段的具体形状无关这正是解析函数。Cauchy定理正是研究这类函数的有力工具（是基础，非目标）。 单连通区域：对于区域D，如果D内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中，曲线上的所有点都在D内，则称D为单通区域。 复连通区域
5、：在单通区域内挖去所有奇点（可以是几个点、几条线、几个区域）而组成的区域。 境界线走向：沿境界线行走，区域总在左边的走向规定（定义）为正向。 1. 单连通区域的Cauchy定理：如果在闭单连通域中解析，则沿中任何一个分段光滑的闭曲线l，有. 证明：为简单起见，下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是在中连续（其实，后面会看到，只要在中解析，即存在，则也存在，因而连续），即四个偏导数连续。在此条件下可以应用Green 公式（*） 于复变函数积分，有根据Cauchy-Riemann条件，马上得到.注意（*）：由于Green公式的要求，这里所说的单连通区域只能是一个有界域，即，不能是包含点在内的（
6、无界）域。以后我们会看到，即使在点解析，它绕点一周的积分也可以并不为0。推论一：如果在闭单连通域中解析，则复变积分与路径无关。或者说，只要保持两端点固定，积分曲线可以在区域内连续变形而积分值不变。 2. 复连通区域的Cauchy定理：如果是闭复连通域中的单值解析函数（需要做手脚！），则有，其中是的全部境界线（正方向）。 证明：（略）推论二：对于闭复连通域上的单值解析函数，沿外境界线逆时针方向的积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。推论三：设是闭区域（单连通或复连通）上的解析函数，对于D内的一条闭曲线，当它在D内连续变形时积分值始终保持不变（但是奇点区不能穿过，也只能绕过一次！）。一个常用结果
7、：，其中，在曲线C内。当，在全平面解析，由Cauchy Theorem，对于，在点不解析，由推论三，我们总可以把围绕的任一闭曲线C变为以为圆心的圆周，然后利用前面例题的结果。例1 如果函数在环域内解析，且(这个数值类似于、但不是留数,Residue)，则，曲线C为D内绕点的闭曲线。证明：.，即，任给，存在，使得时，有. （解析函数一致性定理！）所以. 因此，. 只要例2（X）设C为不经过与的正向简单闭路，为不等于零的任何复数，试就C与，的位置关系，计算.解：. 因为C不经过与，故C与，的位置关系有四种可能：（1）与同时位于C的外部，；（2）位于C的内部，位于C的外部，;（3）位于C的内部，位于
8、C的外部，;（4）与同时位于C的内部，由推论二，有 .三、 （X）解析函数不定积分 (Indefine integrals)定理：设是单连通域D内的解析函数，是D内的一个定点，在D内定义函数，则也是D内的解析函数，且，同时，对D内的任意两点和，有.证明：为了证明是解析的，只需要直接求出它的导数就可以了。设是D内一点,是它的邻点，则 ，因为积分与路径无关，所以，由此可得，由于是解析的，它一定连续，即，对于任给，存在，使得当时，只要，同时点落在以点为中心，为半径的圆内，就有 所以，即得 .这就证明了在D内处处可导，是D内的解析函数，并且.根据原函数的定义：如果，则称为的原函数。可见是的一个原函数。
9、对于给定的一个函数来讲，原函数不是唯一的。任意两个原函数之间只相差一个常数。这是因为，如果与都是的原函数，则，. 所以，即.现在证明. 设也是的一个原函数，那么，显然，于是上式又可写为： . 因而，.的原函数的集合称为的不定积分，记为.四、科希积分公式 (Cauchy integral formula) Cauchy定理最直接、最重要的结果是Cauchy公式。对于区域上的解析函数，这一公式建立了边界和区域内各点的关系，即，它在边界上的值决定了它在D内任意一点的值。1 有界区域的Cauchy积分公式：设是闭单连通区域上的解析函数， 为区域境界线，则对区域内任一点，有，其中积分路线沿的正方向。证明
10、：因为，所以只要证明即可。在D内做圆，根据Cauchy 定理推论三(回路变形)，. 因为又因为在点连续，即任给，存在，使得当 时，. 因此，只要上面的，就有. 所以有 .注意：* 此证明亦说明，在内（），虽然的原函数（对数函数）是多值函数，或者做回路积分时，转一圈位相变化（明显地，是的奇点），但是是解析函数; 只不过是当时，. 这样就解析延拓了: 从离开一点点，可由完全决定，再离开一点点，仍然如此,解析函数的一致性定理。*）和由C-R条件以微分形式相互联系，而非独立；）解析函数是一种平面标量场，而平面场的边界条件决定了区域内部的场。这种物理意义是以复变函数的积分形式关联。* 对于复连通区域上的
11、单值解析函数，只要将积分路线l理解为该区域的全部境界线（都取正方向），则Cauchy公式仍然有效。引理1 (大圆弧引理)（*动机：定积分计算）：如果在区域D：，上连续，且当时，一致地趋于一个复常数，则，其中是以为圆心、为半径、夹角为的圆弧，.（各向同性）证明：因为，所以由于当，时，一致地趋于复常数K，这意味着任给，存在与无关的，使当时，所以 即 .2 无界区域的Cauchy积分公式：设在闭曲线C及其外部的无界区域上是解析的，且，则有 ，其中积分路线沿C的正方向（注意：现在正方向为顺时针方向）。证明：在C外作一个以原点为圆心，为半径的 大圆，这样，对于C和所围的复连通区域，根据有界域Cauchy
12、积分公式，.因为，所以，由引理1，马上得到. 因此，, 并延拓至了。3 解析函数的高阶导数：如果在中解析，则在D内的任何阶导数均存在，并且，其中积分路线沿的正方向 (在上，在内)。证明：首先求. 因为取极限，左边为. 因此只需证明. 因为由于在上连续，因此是有界的，故在上有. 设到的最短距离. 设境界线的全长为，所以.因此，.用类似的方法，同样可以证明的情况。归纳法：若为真，假定正确，证明成立，则立论成立。4 无界区域的Cauchy导数公式：设在闭曲线C及其外部的无界区域上是解析的，且，则有，其中积分路线沿C的正方向（注意：现在正方向为顺时针方向）。例：计算积分，其中闭曲线C为圆，逆时针方向。
13、解：令，因为并且函数在外部解析，根据无界域Cauchy导数公式.5 (X) Cauchy公式的几个重要推论：（1）莫勒纳（Molera）定理（Cauchy定理的逆定理）：如果在单连域D内连续，且在D内任意围道积分为，则在D内解析。证明：因为，在D内任意围道积分为0，故与积分路径无关，再考虑到的连续性，可得，所以，. 因此，解析，其导数为. 根据高阶导数的存在性可知，在D内也必解析。（2）Cauchy不等式：设在闭区域内解析，则在边界上连续，在上必有上界、而且达到上界. 因此， ，其中是边界的长度，是到边界的最小距离。 特别是，当边界是以为圆心，为半径的圆时，有 ，这就是Cauchy不等式。（3
14、）最大模定理：若在闭区域内解析，则模的最大值在的边界上。 证明：设M为在边界上的上界，则由上面的推论，对于解析函数（m为正整数），有 ，即，此式对任何m均成立，故取极限，得，.（4）刘维（Liouville）定理：如在全平面解析，而且当时， 有界，则为常数。 证明：以任一有限点z为圆心，R为半径做圆，则根据Cauchy不等式，有 ，其中是在圆周上的上界。 因为当时，有界，故时，有界。因此. 所以，即，由此可知，. 注意，这里事先对函数在无穷远点是否解析，并未作任何限定。Liouville定理告诉我们，在满足定理条件下，函数在无穷远点也一定解析。（5）均值定理：解析函数在解析区域D内任意一点的函数值，等于以为圆心，完全位于D内的任一圆周上的函数值的平均，即. 证明：由Cauchy积分公式，有 . 取积分闭曲线为以为圆心，为半径的圆（但要求完全在D内），故在上，有，所以 .Home work:2.1 (2), (3);2.3.14