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1、 1.定积分的几何意义 例 1.0 2x x2dx=解法 1 由定积分的几何意义知，22 0 2x x dx 等于上半圆周(x 2 1)2(y 0)与x 轴所围成的图形的面积 故 0 2x 2 x dx=2 2.利用积分不等式 例1.求lim n psinxdx,n n x p,n 为自然数 解法 利用积分不等式 因为 而 limln n np n 0,所以 例 2.求 lim n 1 xn 01 解法 因为 0 于是可得 又由于 因此 n p sin x dx n np sinx n x lim n dx p1 dx x ln p sinx dx 0 dx x x 1，故有 n x n x
2、01 dx x 1n xndx 0 3.利用被积函数的奇偶性求定积分 例 1.计算 1112x21 xx2 dx 分析 由于积分区间关于原点对称，1 2x2 x 11 1 x2 dx=1 xndx 0 0(n)lim n n x 01 dx=0 x 因此首先应考虑被积函数的奇偶性 2x2 11 1 x2 dx 11 1 x2 dx 由于 2x2 是偶函数，1 1 x2 x 1 1 x2 是奇函数，有 11 1 x2 dx 0,于是 例 2.计算 解 虽然 在 上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可 以利用 4.设 f(x)为周期函数且连续，周期为 T，则 事实上 由于 于
3、是 例 1.设 表示距离 x 最近整数的距离，计算 5.利用积分中值定理 n p sinx 例1.求 lim dx,p,n 为自然数 n n x1 2x2 x 11 1 x2 dx=4 01 x2 01 1 dx=4 2 x 1x2 0(1 1 x)dx=4 0dx 4 0 1 x2 dx 00 2 x 1 1 由定积分的几何意义可知 12 0 1 x2dx 4,故 1 2x2 11 1 x dx 2 x 1 4 0 dx 4 4 4 得 原式 解由 且 为周期函数，周期为 1，于是 自然数解法利用积分不等式因为而所以例求解法因为于是可得又由于因此故有利用被积函数的奇偶性求定积分例计算分析由于
4、积分区间关于原点对称因此首先应考虑被积函数的奇偶性由于是偶函数是奇函数有于是由定积分的几何意续周期为则得原式事实上由于于是例设表示距离最近整数的距离计算解由且为周期函数周期为于是利用积分中值定理例求为自然数解法利用积分中值定理设得显然在上连续由积分中值定理当时而故例解法又故求由积分中值定理可知解原式利用定积分公式公式设在上连续则事实上移项两边同除以得公式于是由于递推公式每次降次要讨论为奇偶数的情形由公式证由质有知的周期为当然也是它的周期利周期函数定积分的性而由于是偶数故公式证例证明证公式设在 解法 利用积分中值定理 设 f(x)sin x,显然 f(x)在n,n p 上连续,由积分中值定理得
5、x n p sinx sin dx x n p,n,n p,当n 时,而 sin 1,故 n 又 故 例 2.解法 lim n n p sinx dx x sin lim p 0 求 lim n n 1 x dx 01 x 由积分中值定理 1 01 6.利用适当变量变换求定积分 b a f(x)g(x)dx n x dx=x lim n f()b a g(x)dx 可知 1 1 1 0 xndx，0 1 1 xndx 0 1 lim n n 1 0且12 1 1 1，例 1.设 f(x)在0，1 上连续，计算 解设 lim 01 xn n 01 x dx 0 于是 得 例 2.设函数 f(x)
6、在 内满足 且，计算 解法一 自然数解法利用积分不等式因为而所以例求解法因为于是可得又由于因此故有利用被积函数的奇偶性求定积分例计算分析由于积分区间关于原点对称因此首先应考虑被积函数的奇偶性由于是偶函数是奇函数有于是由定积分的几何意续周期为则得原式事实上由于于是例设表示距离最近整数的距离计算解由且为周期函数周期为于是利用积分中值定理例求为自然数解法利用积分中值定理设得显然在上连续由积分中值定理当时而故例解法又故求由积分中值定理可知解原式利用定积分公式公式设在上连续则事实上移项两边同除以得公式于是由于递推公式每次降次要讨论为奇偶数的情形由公式证由质有知的周期为当然也是它的周期利周期函数定积分的性
7、而由于是偶数故公式证例证明证公式设在 解法二 当 时，7.利用定积分公式 公式 1：设 f(x)在0,1 上连续，则 事实上 公式 2：于是 例 46 设 解 原式 移项两边同除以 2得 自然数解法利用积分不等式因为而所以例求解法因为于是可得又由于因此故有利用被积函数的奇偶性求定积分例计算分析由于积分区间关于原点对称因此首先应考虑被积函数的奇偶性由于是偶函数是奇函数有于是由定积分的几何意续周期为则得原式事实上由于于是例设表示距离最近整数的距离计算解由且为周期函数周期为于是利用积分中值定理例求为自然数解法利用积分中值定理设得显然在上连续由积分中值定理当时而故例解法又故求由积分中值定理可知解原式利
8、用定积分公式公式设在上连续则事实上移项两边同除以得公式于是由于递推公式每次降次要讨论为奇偶数的情形由公式证由质有知的周期为当然也是它的周期利周期函数定积分的性而由于是偶数故公式证例证明证公式设在 于是 由于递推公式每次降 2 次，要讨论 n 为奇偶数的情形，由 公式 3：证 由 质，有 知 的周期为，当然 也是它的周期，利周期函数定积分的性 而 由于 2n 是偶数，故 公式 4 .证 例 54 证明 证 公式 5设f(x)在0,1 上连续，则 自然数解法利用积分不等式因为而所以例求解法因为于是可得又由于因此故有利用被积函数的奇偶性求定积分例计算分析由于积分区间关于原点对称因此首先应考虑被积函数
9、的奇偶性由于是偶函数是奇函数有于是由定积分的几何意续周期为则得原式事实上由于于是例设表示距离最近整数的距离计算解由且为周期函数周期为于是利用积分中值定理例求为自然数解法利用积分中值定理设得显然在上连续由积分中值定理当时而故例解法又故求由积分中值定理可知解原式利用定积分公式公式设在上连续则事实上移项两边同除以得公式于是由于递推公式每次降次要讨论为奇偶数的情形由公式证由质有知的周期为当然也是它的周期利周期函数定积分的性而由于是偶数故公式证例证明证公式设在 也是以 为周期的函数，于是 公式 6 证 公式 7.解 利用方法（7）得 证由 是 为周期的函数，当然也是以 为周期的函数，原式 证 例 1.计
10、算 自然数解法利用积分不等式因为而所以例求解法因为于是可得又由于因此故有利用被积函数的奇偶性求定积分例计算分析由于积分区间关于原点对称因此首先应考虑被积函数的奇偶性由于是偶函数是奇函数有于是由定积分的几何意续周期为则得原式事实上由于于是例设表示距离最近整数的距离计算解由且为周期函数周期为于是利用积分中值定理例求为自然数解法利用积分中值定理设得显然在上连续由积分中值定理当时而故例解法又故求由积分中值定理可知解原式利用定积分公式公式设在上连续则事实上移项两边同除以得公式于是由于递推公式每次降次要讨论为奇偶数的情形由公式证由质有知的周期为当然也是它的周期利周期函数定积分的性而由于是偶数故公式证例证明证公式设在