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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、的值为（ ）A1B2CD2、下列叙述正确的有（）圆内接四边形对角相等；圆的切线垂直于圆的半径；正多边形中
2、心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；边长为6的正三角形，其边心距为2A1个B2个C3个D4个3、如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作M，D为M上不同于点O、A的点，则ODA的度数为（）A60B60或120C30D30或1504、如图，在ABC中，C=90，ABC=30，D是AC的中点，则tanDBC的值是（ ）A B C D5、在正方形网格中，ABC的位置如图所示，点A、B、C均在格点上，则cosB的值为（）A B C D6、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O，则AD：AB（）ABCD7、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上
3、栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8 m，那么这两棵树在坡面上的距离AB为（ ）A8mB mC8sina mD m8、如图，在中，点D为AB边的中点，连接CD，若，则的值为（ ）ABCD9、如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC，水平距离BC1，则斜坡AB的坡度为()ABC30D6010、计算的值等于（ ）AB1C3D第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处如果，那么的值是_2、如图，菱形ABCD中，ABC=120，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC
4、1D1，连接AA1，得到ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到A1D1A2按此规律，得到A2020D2020A2021，记ADA1的面积为S1，A1D1A2的面积为S2，A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021=_3、计算：sin30tan45_4、如图，以BC为直径作圆O，A，D为圆周上的点，ADBC，AB=CD=AD=1若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分图形的周长最小值为_ 5、如图，已知菱形ABCD的边长为2，BAD60，若DEAB，垂足为点E，则DE的长为_
5、三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在中，点P从点出发，沿折线向终点C运动，点P在边、边上的运动速度分别为、在点P的运动过程中，过点P作所在直线的垂线，交边或边于点Q，以为一边作矩形，且，与在的同侧设点P的运动时间为t（秒），矩形与重叠部分的面积为（1）求边的长（2）当时， ，当时， （用含t的代数式表示）（3）当点M落在上时，求的值（4）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与的函数关系式2、如图，内接于，弦AE与弦BC交于点D，连接BO，（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）在（2）的条件下，过点O作于点H，延长HO交AB于点P，若，求半径的长3、图1、图2分别是某型号
6、拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF30cm，CE：CD1：3，DCF45，CDF30，请根据以上信息，解决下列问题（1）求AC的长度：（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离 cm4、如图，在RtABC中，ACB90，D为AB的中点，以CD为直径的O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FGAB于点G（1）求证：FG是O的切线；（2）若AC3，CD2.5，求FG的长5、如图，在菱形ABCD中，ABC60，经过点A的直线（不与BD垂直）与对角线BD所在直线交于点E，过点B，D分别作直线BD的垂线
7、交直线AE于点F，H（1）当点E在如图位置时，求证：BFDHBD；（提示：延长DA交BF于G）（2）当点E在图、图的位置时，直接写出线段BF，DH，BD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DH1，BD4，则tanDHE -参考答案-一、单选题1、A【分析】直接求解即可【详解】解：=1，故选：A【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键2、B【分析】利用圆内接四边形的性质可判断；根据圆的切线性质可判断；根据正多边形性质可判断；根据正三角形边长为6，连接OB、OC；先求出中心角BOC，根据等腰三角形性质，求出BOD12060，利用锐角三角函数可
8、求OD6即可【详解】解：圆内接四边形对角互补但不一定相等，故不符合题意；圆的切线垂直于过切点的半径，故不符合题意；正n多边形中心角的度数等于，这个正多边形的外角和为360，一个外角的度数等于正确，故符合题意；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，正确，故符合题意；如图，ABC为正三角形，点O为其中心；ODBC于点D；连接OB、OC；OBOC，BOC360120，BDBC3，BOD12060，tanBOD，OD6，即边长为6的正三角形的边心距为，故不符合题意，故选：B【点睛】本题考查圆内接四边形性质，圆的切线性质，切线长性质，正多边形的中心角与外角，锐角三角函数，边心距，掌握圆内接四边形性质，圆的
9、切线性质，切线长性质，正多边形的中心角与外角，锐角三角函数，边心距是解题关键3、D【分析】连接，先利用正切三角函数可得，再分点在轴上方的圆弧上和点在轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得【详解】解：如图，连接，在中，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点在轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：；（2）如图，当点在轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：；综上，的度数为或，故选：D【点睛】本题考查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键4、D【分析】根据正切的定义以及，设，则，结合题意求得,进而即可求得【详解】解：在ABC中，
10、C=90，ABC=30，设，则， D是AC的中点，故选D【点睛】本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键5、B【分析】如图所示，过点A作AD垂直BC的延长线于点D得出ABD为等腰直角三角形，再根据45角的余弦值即可得出答案【详解】解：如图所示，过点A作ADBC交BC延长线于点D，AD=BD=4，ADB=90，ABD为等腰直角三角形，B=45故选B【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解6、B【分析】过点O作，设圆的半径为r，根据垂径定理可得OBM与ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果【详解】如图，过点O
11、作，设圆的半径为r，OBM与ODN是直角三角形，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，,，故选B【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键7、B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB【详解】解：坡角为，相邻两树之间的水平距离为8米，两树在坡面上的距离（米）故选：B【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力8、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB，再根据三角函数的意义，可求出答案【详解】解：在ABC中，ACB90，点D为AB边的中点，ADBDCDAB，,又CD3
12、，AB6，故选：D【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提9、A【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案【详解】解：由题意可得：ACB90，则斜坡AB的坡度为：，故选：A【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键10、C【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案【详解】解：故选C【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键二、填空题1、#【解析】【分析】利用“一线三垂直”模型，可知，由折叠可知，AE=AD，利用勾股定理表示出BF，即可求出的值【详解】解：由题意得，,
13、，即：，设：AB为3x，则AD为5x，AE=AD=5x，在中，有勾股定理得：，故答案为：【点睛】本题是图形与三角函数的综合运用，利用图形的变换，表示出所求的教角的函数值是本题的关键2、240383#324038【解析】【分析】由题意得BCD=60，AB=AD=CD=1，则有ADA1为等边三角形，同理可得A1D1A2. A2020D2020A2021都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得S1=34,S2=3，.由此规律可得Sn=322n-4，即可求解【详解】解：四边形是菱形，AB=AD=CD=1，ADBC,ABCD，ABC=120，BCD=60，ADA1=BCD=60，DA1=CD，D
14、A1=AD，ADA1为等边三角形，同理可得A1D1A2. A2020D2020A2021都为等边三角形，过点B作BECD于点E，如图所示：BE=BCsinBCD=32，S1=12A1DBE=34A1D2=34，同理可得：S2=34A2D12=3422=3,S3=34A3D22=3442=43，；由此规律可得：Sn=322n-4，S2021=3222021-4=240383；故答案为：240383【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定及三角函数，解题的关键是熟练掌握以上知识点3、-#-0.5【解析】【分析】根据解特殊角的三角函数值即可解答【详解】解：sin30=，tan45=1，原
15、式-1-故答案为：-【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，有理数减法，解题的关键是牢记这些特殊三角函数值4、【解析】【分析】连接BP，BD，OD，根据线段垂直平分线的性质定理，可得BP=CP，从而得到当点B、P、D三点共线时，DP+CP的值最小，最小值为BD的长，再由直径所对的圆周角为直角，可得BDC=90，再由 ，可得COD= =60，从而得到 ，进而得到，即可求解【详解】解：如图，连接BP，BD，OD，MN为BC的垂直平分线，BP=CP，DP+CP=DP+BPBD，即当点B、P、D三点共线时，DP+CP的值最小，最小值为BD的长，BC为直径，BDC=90，AB=CD=AD， ，COD= =6
16、0， ， ，DP+CP的最小值为 ，阴影部分图形的周长最小值为 故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质定理，特殊角锐角三角函数，熟练掌握圆周角定理，线段垂直平分线的性质定理，特殊角锐角三角函数是解题的关键5、【解析】【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE【详解】解：，在中，则故答案为：【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键三、解答题1、（1）；（2）；（3）或；（4）【解析
17、】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；（2）先求解再用含的代数式表示 再利用三角函数建立方程求解两种情况下的即可；（3）分两种情况讨论：如图，当在上，落在上，如图，当在上，落在上，则重合，再利用矩形的性质结合三角函数可得结论；（4）如图，当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形， 当时，重叠部分为四边形，如图， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，当第2次落在上时， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，再利用图形的性质列面积函数关系式即可.【详解】解：（1） ， （2）当时，在上， 而四边形为矩形， 当时，在上，如图，此时， ， ， 故答案为： （3）如图，当在上，落在上，此时
18、解得： 如图，当在上，落在上，则重合， 同理可得： 解得： （4）当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，此时 当落在上时，如图，同理可得： 解得： 当时，重叠部分为四边形，如图，同理可得： 如图，当落在上时，同理可得： 而 解得： 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，此时 当第2次落在上时， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，同理可得： 综上：【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，列面积函数关系式，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.2、（1）见解析；（2）30；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，则，由OA=OB，得到OA
19、B=OBA，即可推出，即OBA+ACB=90，再由OBA=CAE，则ACB+CAE=90，由此即可证明；（2）如图所示，连接CE，则ABC=AEC，由，可得AEC=30，则ABC=30；（3）如图所示，过点O作OFAB于F，则BF=AF，设FP=x，可得BP=BF+PF=6+2x，OP=2FP=2x，推出PH=OP+OH=1+2x，则BP=2+4x，从而得到2+4x=6+2x，由此求解即可【详解】解：（1）如图所示，连接OA，OA=OB，OAB=OBA，OAB+OBA+AOB=180，即OBA+ACB=90，又OBA=CAE，ACB+CAE=90，ADC=90，AEBC；（2）如图所示，连接C
20、E，ABC=AEC，AEBC，AEC=30，ABC=30；（3）如图所示，过点O作OFAB于F，BF=AF，设FP=x，BF=AF=AP+PF=6+x，BP=BF+PF=6+2xABC=30，PHBC， BPH=60，BP=2PH，又OFAB，OFP=90，POF=30，OP=2FP=2x，PH=OP+OH=1+2x，BP=2+4x，2+4x=6+2x，解得x=2，PF=2，BF=8，PO=4，圆O的半径长为【点睛】本题主要考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数值求度数，勾股定理，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解3、（1）（40+4
21、0）cm；（2）（20）cm【解析】【分析】（1）过点F作FGDE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC2DE即可求出AC；（2）作AHED延长线于H，根据AHACsin45求出AH即可【详解】解：（1）过点F作FGDE于点G，FGDFGC90，在RtDGF中，CDF30，FGFDsin303015（cm），DGFDcos303015（cm），在RtCGF中，DCF45，CGFG15（cm），CDCG+DG15+15（cm），CE：CD1：3，CECD（15+15）5+5（cm），DEEC+CD5+5+15+1520+20（cm），DEB
22、CAB，ACAB+BC2DE2（20+20）40+40（cm），即AC的长度为（40+40）cm（2）作AHED延长线于H，在RtAHC中，ACH45，AHACsin45（40+40）20+20（cm），故答案为：（20）【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形（3）寻找直角三角形，并解这个三角形4、（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OF
23、，根据直角三角形的性质得到CDBD，得到DBCDCB，根据等腰三角形的性质得到OFCOFC，得到OFCDBC，推出OFG90，即可求解；（2）连接DF，根据勾股定理得到BC，根据圆周角定理得出DFC90，根据三角形函数的定义即可得出结论【详解】（1）证明：如图，连接OF，ACB90，D为AB的中点，CDBD，DBCOCF，OFOC，OFCOCF，OFCDBC，OFDB，OFG+DGF180，FGAB，DGF90，OFG90，OF为半径，FG是O的切线；（2）解：如图，连接DF，CD2.5，AB2CD5，BC，CD为O的直径，DFC90，FDBC，DBDC，BFBC2，sinABC，即，FG【点
24、睛】本题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正弦的定义，准确分析计算是解题的关键5、（1）见解析；（2）或；（3）或【解析】【分析】（1）延长DA交BF于G，先证明ABG是等边三角形，得到AG=AB=AD，然后证明AGFADH得到DH=GF，再求出即可得到答案；（2）如图所示，延长BA交DH于G，同理可证ABFAGH，得到，则；延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，然后证明GAFDAH，得到，则；（3）如图所示，先根据结论求出，然后证明FBEHDE，得到，即，则，；然后对于图和图利用类似的方法求解即可【详解】解：（1）如图所示，延长DA交BF于G，四边形ABCD是
25、菱形，ABC=60，ADC=ABC=60，AD=AB，BFBD，DHBD，FBD=HDB=90，BGD=60，ADH=120，DG=2BG，FGA=120，BAG=ABD+ADB=60，ABG是等边三角形，AG=AB=AD，在AGF和ADH中，AGFADH（ASA），DH=GF，又，；（2）如图所示，延长BA交DH于G，同理可证ABFAGH，；如图所示，延长DA交BF延长线于G，同理可证，AG=AD，BFBD，DHBD，BGDH，FGA=HAD，又GAF=DAH，AG=AD，GAFDAH（AAS），；（3）如图所示，BFBD，DHBD，BF/DH，FBEHDE，即，；如图所示，此时不符合题意；如图所示，同理可得，EHDEFB，即，；故答案为：或【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正切值，等边三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够准确作出辅助线构造全等三角形