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1、【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第3章 第3节 导数的综合应用与实际应用 新人教A版一、选择题1(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()AB CD2答案C解析设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积Va2h，h，表面积Sa23aha2，由Sa0，得a，故选C(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A和RBR和RCR和RD以上都不对答案B解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得xR.当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2(文)(2014山
2、西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件B2百万件C3百万件D4百万件答案C解析由y3x2270得x3，x0，x3.当0x0，当x3时，y0都成立”，即对变量t，ht(x0)的最大值h7(x0)解析h7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，h7(x0)ht(x0)max.记g(t)ht(x0)3tx02t，则g(t)3x03t，令g(t)0，得tx，易得ht(x0)maxg(x)x，21x014x，将选项代入检验可知选D6(文)(2014山西大同诊断)设D是函数yf(x)定义域内的一个
3、区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在次不动点，则实数a的取值范围是()A(，0)B(0，)C，)D(，答案D解析设g(x)f(x)x，依题意，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0得a.记h(x)(10；当x(2,4)时，h(x)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()ABCD1答案D解析x(2,0)时，x(0,2)，f(x)ln(x)ax，f(x)为奇函数，f(x)ln(x)ax，f (x)a，由f (x)0得x.当0x时，f (x)
4、0，f(x)单调递增，当2x时，f (x)0，f(x)单调递减由题设知f()ln11，a1，故选D二、填空题7(2013开封第一次模拟)已知函数f(x)x3ax2bx3(a，bR)，若函数f(x)在0,1上单调递减，则a2b2的最小值为_答案解析依题意，当x0,1时，f (x)3x22axb0，即，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，如图所示，结合图形不难得知，该平面区域内的点(a，b)与原点的距离的平方即为a2b2，其最小值等于原点到直线32ab0的距离的平方，即等于.8(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_答案3m3解析
5、设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x)，故体积为V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，高为3.221.2，容积V11.51.21.8，高为1.2m时容积最大9(文)若函数f(x)lnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案(1，)分析函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f (x)0有实数解，考虑到函数
6、的定义域为(0，)，所以本题就是求f (x)0在(0，)上有实数解时a的取值范围解析解法1：f (x)ax2，由题意知f (x)0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0，1a1.解法2：f (x)ax2，由题意可知f (x)0在(0，)内有实数解即1ax22x在(0，)内有实数解x(0，)时，(1)211，a1.(理)对于三次函数yax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f (x)是函数yf(x)的导数，f (x)是f (x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有
7、对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，根据这一发现可得：(1)函数f(x)x3x23x的对称中心为_；(2)计算f()f()f()f()f()_.答案(1)(，1)(2)2013解析(1)f (x)x2x3，f(x)2x1，由2x10得x，f()()3()231，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(，1)(2)f()f(1)f()f()2(k1，2，1007)，f()f()f()f()f()f()f()f()f()f()2100612013.三、解答题10(2013湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本价为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常
8、数，且2t5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值解析(1)设日销售量为，则10，k10e40，则日销售量为件，日利润y(x30t).y(35x41)(2)y，令y0得x31t.当2t4时，3331t35，当35x41时，y0.当x35时，y取最大值，最大值为10(5t)e5.当4t5时，35t3136，函数y在35，t31上单调递增，在t31
9、,41上单调递减当xt31时，y取最大值10e9t.当2t4，x35时，日利润最大值为10(5t)e5元；当4t5，x31t时，日利润最大值为10e9t元一、解答题11(文)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2t5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25x40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，销售量为100kg.(每日利润日销售量(每公斤出厂价成本价加工费)(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求
10、最大值解析(1)设日销售量q，则100，k100e30，日销售量q，y(25x40)(2)当t5时，y，y.由y0得x26，由y0得x26，y在25,26上单调递增，在26,40上单调递减，当x26时，ymax100e4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元(理)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造
11、费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解析(1)设隔热层厚度为xcm，由题设知，每年能源消耗费用为C(x).再由C(0)8，得k40，因此C(x).又建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为，f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f (x)6，令f (x)0，即6.解得x5，或x(舍去)当0x5时，f (x)0，当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元12(文)(2014希望高
12、中月考)设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值解析(1)对于C1：yx22x2，有y2x2，对于C2：yx2axb，有y2xa，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，可得ab.(2)由(1)知：ba，aba(a)(a)2.当a时，(ab)最大值.(理)(2013洛阳统考)已知函数f(x)xlnx，g(x)x3x2
13、x1.(1)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M，求满足该不等式的最大整数M；(2)如果对任意的s，t，2，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解析(1)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)Mx1，x20,2，g(x1)g(x2)maxM.g(x)3x22x1(3x1)(x1)，当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当1x0，g(x)单调递增，g(x)maxmaxg(0)，g(2)g(2)1，g(x)ming(1)2，g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min3，满足不等式的最大整数M3.(2)由(1)知，当x，2时，g(x)maxg(2)1，
14、依题意，对任意的s，t，2都有f(s)g(t)成立当x，2时，f(x)xlnx1恒成立则有f(1)1，a2.当a2且x，2时，f(x)xlnxxlnx.记h(x)xlnx，h(x)lnx1，且h(1)0.当x(，1)时，h(x)lnx10，h(x)xlnx在(，1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，h(x)minh(1)1，即h(x)1，当a2时原不等式成立a的取值范围是2，)13(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是Pv4v315v.(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数
15、关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解析(1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q6000(0v100)(2)Q5v，令Q0得，v80，当v80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元(理)(2014江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设BOC，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)(1)求V关于的函数表达式(2)求的值，使体积V最大(3)问当木梁
16、的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由解析(1)梯形ABCD的面积SABCDsinsincossin，(0，)体积V()10(sincossin)，(0，)(2)V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos1)令V()0，得cos或cos1(舍)(0，)，.当(0，)时，cos0，V()为增函数；当(，)时，0cos，V()x，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)x2lnxx，f(x).当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)0.(2)f(x)x，即f(x)xx2lnx(a1)x0.由于x0，所以f(x)x等价于xa
17、1.令g(x)x，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.g(x)有最小值g(1)1.故a11，a的取值范围是(，0)(理)(2014黑龙江大庆实验中学期中)已知函数f(x)xlnx(x0)(1)试求函数f(x)的单调区间和最值；(2)若g(x)f (x)，直线ykxb与曲线g(x)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)不同的两点，若x0，试证明kg(x0)解析(1)f (x)lnx1，由f (x)0得x，函数f(x)的减区间是(0，增区间是，)，f(x)minf().(2)证明：g(x)f (x)lnx1，令x1x20，k，g(x0)，构造函数F(x)g(x1
18、)g(x2)lnx1lnx2ln，令t，则h(t)lnt(t1)，h(t)0，所以h(t)h(1)0，所以F(x)0，即kg(x0)15(文)(2014邯郸市一模)已知函数f(x)x2(a1)xalnx1.(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的极大值；(2)求a的范围，使得f(x)1恒成立解析(1)f(x)x(a1)(x0)，x3是f(x)的极值点，f(3)3(a1)0，解得a3.当a3时，f(x).当x变化时，x(0,1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(1).(2)要使得f(x)1恒成立，即x0时，x2(a1)xalnx0恒成立设
19、g(x)x2(a1)xalnx，则g(x)x(a1)()当a0时，由g(x)0得单增区间为(1，)g(x)ming(1)a0，得a()当0a1时，由g(x)0得单增区间为(0，a)，(1，)，此时g(1)a0，不合题意()当a1时，f(x)在(0，)上单增，此时g(1)a1时，由g(x)0得单增区间为(0,1)，(a，)，此时g(1)a0，x1，令f(x)1，所以函数f(x)的增区间为(，1)，减区间为(1，)，其极大值为f(1)，无极小值(2)设切点为(x0，f(x0)，则所作切线的斜率kf(x0)，所以直线l的方程为：y(xx0)，注意到点P(0，)在切线l上，所以(x0)，整理得：0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，令g(x)，则g(x)，令g(x)0则0x2，令g(x)0则x2，所以，函数g(x)在(，0)，(2，)上单调递减，在(0,2)上单调递增，注意到g(0)0，所以方程g(x)0的解为x2，或xt(1t0)，即过点P(0，)恰好可以作两条与曲线yf(x)相切的直线当x2时，对应的切线斜率k1f(2)，当xt时，对应的切线斜率k2，令h(t)(1t0)，则h(t)0，所以h(t)在(1,0)上为减函数，即1h(0)h(t)h(1)2e,1k22e，所以mk1k2(，)- 14 -