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1、【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第3章 第3节 导数的综合应用与实际应用 新人教B版一、选择题1在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.和RB.R和RC.R和RD以上都不对答案B解析设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得xR.当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2(文)(2014山西省考前适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件B2百万件C3百万件D4百万
2、件答案C解析由y3x2270得x3，x0，x3.当0x0，当x3时，y0)令y0得x9，令y9，令y0得0x)，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A.B.C.D1答案D解析x(2,0)时，x(0,2)，f(x)ln(x)ax，f(x)为奇函数，f(x)ln(x)ax，f (x)a，由f (x)0得x.当0x时，f (x)0，f(x)单调递增，当2x时，f (x)0时，有0的解集是()A(2,0)(2，)B(2,0)(0,2)C(，2)(2，)D(，2)(0,2)答案D解析令F(x)，x0时，F(x)0，F(x)在(0，)上为减函数，又f(x)为奇函数，F(x)F(x)，F
3、(x)为偶函数，F(x)在(，0)上为增函数，f(2)0，F(2)0，F(2)0，在(，2)和(2，)上F(x)0，从而在(，2)和(0,2)上f(x)0，不等式x2f(x0)的解集为(，2)(0,2)6(文)(2014山西大同诊断)设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在次不动点，则实数a的取值范围是()A(，0)B(0，)C，)D(，答案D解析设g(x)f(x)x，依题意，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0得a.记h
4、(x)(10；当x(2,4)时，h(x)0都成立”，即对变量t，ht(x0)的最大值h7(x0)解析h7(x0)ht(x0)对任意的正数t都成立，h7(x0)ht(x0)max.记g(t)ht(x0)3tx02t，则g(t)3x03t，令g(t)0，得tx，易得ht(x0)maxg(x)x，21x014x，将选项代入检验可知选D.二、填空题7若函数f(x)lnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_答案(1，)分析函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f (x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，)，所以本题就是求f (x)0在(0，)上有实数解时a的取值范围解析解法1：f (x
5、)ax2，由题意知f (x)0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0，1a1.解法2：f (x)ax2，由题意可知f (x)0在(0，)内有实数解即1ax22x在(0，)内有实数解x(0，)时，(1)211，a1.8(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x)，故体积为V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，y6x
6、24.4x1.6，令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，高为3.221.2，容积V11.51.21.8，高为1.2m时容积最大9(2015大同市调研)设函数f(x)ax3bx2cx，若1和1是函数f(x)的两个零点，x1和x2是f(x)的两个极值点，则x1x2_.答案解析1和1是函数f(x)的两个零点，f(x)ax3bx2cxa(x1)x(x1)，x1，x2是f(x)的两个极值点，x1、x2是方程f (x)0的两个根f (x)a(3x21)，x1x2.三、解答题10(文)某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P
7、与日产量x(xN*)件之间的关系为P，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)问该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值解析(1)y4000x2000(1)x3600xx3.所求的函数关系式是yx33600x(xN*,1x40)(2)由(1)知y36004x2.令y0，解得x30.当1x0；当30x40时，y0.函数yx33600x(xN*,1x40)在1,30上是单调递增函数，在30,40上是单调递减函数当x30时，函数yx33600x(xN*,1x40)取得最大
8、值，最大值为30336003072000(元)该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72000元(理)(2015北师大附中期中)某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60n mile/h，甲地至乙地之间的海上航行距离为600n mile，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其他费用为每小时1250元(1)请把全程运输成本y(元)表示为速度x(n mile/h)的函数，并指明定义域；(2)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解析(1)由题意得：y(12500.5x2)300x，即：y300x(0
9、x60)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x50，或x50(舍去)当0x50时，y0，当50x0，因此，函数y300x，在x50处取得极小值，也是最小值故为使全程运输成本最小，轮船应以50n mile/h的速度行驶.一、解答题11(文)(2015湖北百所重点中学联考)2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可达到150.1x万套，供货商把该产品的供货价格分为两个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量(单位：万套)成反比，比例系数为k，假设不计其他成本，即每套产品销售利润售价供货价格(1)若售价为50元时，展销商的
10、总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；(2)若k10，求销售这套商品总利润的函数f(x)，并求f(x)的最大值解析(1)售价为50元时，销量为150.15010万套，此时每套供货价格为30(元)，则获得的总利润为10(5030)180，解得k20，售价为100元时，销售总利润为：(150.1100)(10030)320(万元)(2)由题意可知每套商品的定价x满足不等式组即0x150，f(x)x(30)(150.1x)0.1x218x460，(0x150)，f (x)0.2x18，令f (x)0可得x90，且当0x90时，f (x)0，当90x150时，f (x)0，当x90时，f(x
11、)取得最大值为350(万元)(理)某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a(1a3)元的管理费，预计当每件商品的售价为x(8x9)元时，一年的销售量为(10x)2万件(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)(销售一件商品获得的利润lx(a4)；(2)当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值M(a)解析(1)由题得该连锁分店一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L(x)(x4a)(10x)2，x8,9(2)L(x)(x4a)(x220x100)(10x)(182a3x)，令L(x)0，得x6a或
12、x10(舍去)1a3，6a8.L(x)在x8,9上单调递减，故L(x)maxL(8)(84a)(108)2164a，即M(a)164a.答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为164a万元12(2014希望高中月考)设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值解析(1)对于C1：yx22x2，有y2x2，对于C2：yx2axb，有y2xa，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2
13、)x02a10又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x(a2)x02b0由消去x0，可得ab.(2)由(1)知：ba，aba(a)(a)2.当a时，(ab)最大值.13(文)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？解析如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2x2h2d2，x2(d2h2)球内接正四棱柱的体积为Vx2h(d2hh3)，0hd.V(d23h2)0，hd.在(0，d)上，函数变化情况如下表：hdV0V极大值由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为d.(理)(2014江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在
14、的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设BOC，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)(1)求V关于的函数表达式(2)求的值，使体积V最大(3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由解析(1)梯形ABCD的面积SABCDsinsincossin，(0，)体积V()10(sincossin)，(0，)(2)V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos1)令V()0，得cos或cos1(舍)(0，)，.当(0，)时，cos0，V()为增函数；当(，)时，
15、0cos，V()x，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)x2lnxx，f(x).当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)的最小值为f(1)0.(2)f(x)x，即f(x)xx2lnx(a1)x0.由于x0，所以f(x)x等价于xa1.令g(x)x，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.g(x)有最小值g(1)1.故a11，a的取值范围是(，0)(理)(2014黑龙江大庆实验中学期中)已知函数f(x)xlnx(x0)(1)试求函数f(x)的单调区间和最值；(2)若g(x)f (x)，直线ykxb与曲线g(x)相交于A(x1，y1
16、)，B(x2，y2)不同的两点，若x0，试证明kg(x0)解析(1)f (x)lnx1，由f (x)0得x，函数f(x)的减区间是(0，增区间是，)，f(x)minf().(2)证明：g(x)f (x)lnx1，令x1x20，k，g(x0)，构造函数F(x)g(x1)g(x2)lnx1lnx2ln，令t，则h(t)lnt(t1)，h(t)0，所以h(t)h(1)0，所以F(x)0，即kg(x0)15(文)(2014邯郸市一模)已知函数f(x)x2(a1)xalnx1.(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的极大值；(2)求a的范围，使得f(x)1恒成立解析(1)f(x)x(a1)(x0)，
17、x3是f(x)的极值点，f(3)3(a1)0，解得a3.当a3时，f(x).当x变化时，x(0,1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增f(x)的极大值为f(1).(2)要使得f(x)1恒成立，即x0时，x2(a1)xalnx0恒成立设g(x)x2(a1)xalnx，则g(x)x(a1)()当a0时，由g(x)0得单增区间为(1，)g(x)ming(1)a0，得a()当0a1时，由g(x)0得单增区间为(0，a)，(1，)，此时g(1)a0，不合题意()当a1时，f(x)在(0，)上单增，此时g(1)a1时，由g(x)0得单增区间为(0,1)，(a，)，此时g(1
18、)a0，x1，令f(x)1，所以函数f(x)的增区间为(，1)，减区间为(1，)，其极大值为f(1)，无极小值(2)设切点为(x0，f(x0)，则所作切线的斜率kf(x0)，所以直线l的方程为：y(xx0)，注意到点P(0，)在切线l上，所以(x0)，整理得：0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，令g(x)，则g(x)，令g(x)0则0x2，令g(x)0则x2，所以，函数g(x)在(，0)，(2，)上单调递减，在(0,2)上单调递增，注意到g(0)0，所以方程g(x)0的解为x2，或xt(1t0)，即过点P(0，)恰好可以作两条与曲线yf(x)相切的直线当x2时，对应的切线斜率k1f(2)，当xt时，对应的切线斜率k2，令h(t)(1t0)，则h(t)0，所以h(t)在(1,0)上为减函数，即1h(0)h(t)h(1)2e,1k22e，所以mk1k2(，)- 11 -