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1、【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数I 函数的基本性质 理（含2014试题）理数1. (2014福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为-1,+)答案 1.D解析 1.作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.2. (2014湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若xR, f(x-1)f(x),则实数a的取值范围为()A.B.C.D.答案 2.B解析 2.当x
2、0时, f(x)=画出图象,再根据f(x)是奇函数补全图象.满足xR, f(x-1)f(x),6a21,即-a,故选B.3. (2014湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3答案 3.C解析 3.解法一:f(x)-g(x)=x3+x2+1,f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C.解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,
3、f(1)+g(1)=12+1-13=1.选C.4. (2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=B.f(x)=x3C.f(x)=D.f(x)=3x答案 4.D解析 4.f(x+y)=f(x)f(y),f(x)为指数函数模型,排除A,B;又f(x)为单调递增函数,排除C,故选D.5.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(xR)满足f(x+)=f(x)+sin x.当0x时, f(x)=0,则f =()A.B.C.0D.-答案 5.A解析 5.f(x+2)=f(x+)+sin(x+)=f(x)+sin x-sin x=f(x),
4、f(x)的周期T=2,又当0x时, f(x)=0,f=0,即f=f+sin=0,f=,f=f=f=.故选A.6.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2x|,ai=,i=0,1,2,99.记Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3.则()A.I1I2I3B.I2I1I3C.I1I3I2D.I3I2I1答案 6.B解析 6.ai0,1,且a0a1a99,而f1(x)在0,1上为增函数,故有f1(a0)f1(a1)f1(a99),则I1=f1(a1)-
5、f1(a0)+f1(a2)-f1(a1)+f1(a99)-f1(a98)=f1(a99)-f1(a0)=f1(1)-f1(0)=1.f2(x)在上为增函数,在上为减函数,而a49f3(a24). f3(a49)=sin , f3(a50)=sin ,即有f3(a49)=f3(a50). f3(a74)=sin , f3(a75)=sin =sin f3(a74).故有f3(a0)f3(a1)f3(a24)f3(a26)f3(a49)=f3(a50),f3(a50)f3(a51)f3(a75)f3(a99).从而I3=f3(a1)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a24)+f3(a25)-f
6、3(a26)+f3(a49)-f3(a50)+f3(a51)-f3(a50)+f3(a74)-f3(a73)+f3(a74)-f3(a75)+f3(a98)-f3(a99)=f3(a25)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a50)+f3(a74)-f3(a50)+f3(a74)-f3(a99)=2f3(a25)-2f3(a50)+2f3(a74)-f3(a0)-f3(a99)=-+=sin -sin +sin =.而sin sin =,sin =1.所以I2I10得x2.又y=lou为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-,-2).8.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+)
7、上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)答案 8.A解析 8.y=(x-1)2仅在1,+)上为增函数,排除B;y=2-x=为减函数,排除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;y=和t=x+1均为增函数,所以y=为增函数,故选A.9.(2014课表全国，3，5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇
8、函数答案 9.C解析 9.由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.10. (2014天津蓟县第二中学高三第一
9、次模拟考试，10) 已知函数满足：；在上为增函数, 若, 且, 则与的大小关系是( ) A. B. C. D. 无法确定答案 10. C解析 10. 因为函数为偶函数，可得函数的图像关于y轴对称；又因为函数的图像可由函数的图像向左平移一个单位，可得函数的图像关于轴对称，所以可得. 因为函数在为增函数，可得函数在上为减函数，当时根据单调性可得；当时，因为且，根据单调性可得，综上可得.11. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，10) 设R上的函数满足，它的导函数的图像如图，若正数、满足，则的取值范围是（ ）A BC D答案 11. C解析 11. 由导函数图像可得函数在区间上为减函数,
10、 在区间上为增函数, 又因为, 所以不等式等价于, 所以实数a和b满足, 其可行域为由点(0,0) 、（2,0）、（0,4）构成的三角形内部，而表示的几何意义是：点（，）与点（, ）之间连线的斜率，由此可知.12. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，3) 函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 （ ）（命题人：王秀芝）A B C D 答案 12. D解析 12. 函数为奇函数，所以不等式等价于，又因为函数在定义域内为增函数，所以不等式等价于，等价于，得，解得.13. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，8) 下图可能是下列哪个函数的图象（ ）答案
11、 13. C解析 13. 因为当时, 函数y=2x和函数y=x21都为增函数, 可知函数y=2xx21在上为增函数, 故可排除选项A; 因为函数y =为偶函数, 故可排除选项B; 因为, 只有一个实数根, 所以函数应只有一个极值点, 故可排除选项D, 故选C.14. (2014山西太原高三模拟考试（一），3) 若函数同时具有以下两个性质：是偶函数，对任意实数x，都有，则的解析式可以是( ) A. =B. =C. =D. =答案 14. C解析 14. 选项B中，为奇函数，故可排除；由可知, 函数的图像关于对称, 可排除选项A、D；选项C中，为偶函数，且是其一条对称轴，故选C.15.(2014安
12、徽合肥高三第二次质量检测，7) 已知函数满足：对定义域内的任意，都有，则函数可以是（ ）A. B. C. D. 答案 15. C解析 15. 由满足：对定义域内的任意，都有，所以，即，结合函数图象观察可得满足条件. 16. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，10) 设函数, 对任意恒成立, 则实数的取值范围是（）ABCD答案 16. C解析 16. 因为函数，对任意恒成立,即恒成立，若，则在上是增函数，不恒小于0，故，此时函数为减函数，只需当时恒成立，即且，解得.17. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 9) 已知，为的导函数，则的图象是（ ）答案 17.A解析 17.为奇函
13、数，排除B, D。又，所以排除C。选A18. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 8) 下列命题中假命题的是（ ）A. $，使B. ，函数都不是偶函数 C. $，使D. $0, 函数有零点答案 18.B解析 18.当时，为偶函数，所以是假命题. , , 显然为真.19. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，3) 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D. 答案 19.C解析 19.A选项的函数是偶函数；B选项不具有奇偶性；D选项中易证是奇函数，由于在中单调递减，又是减函数，由复合函数的单调性知是增函数，故舍去. 故选C .20. (2014北京东城高三
14、第二学期教学检测，8) 设，. 则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案 20.A解析 20.因为在是增函数，所以若，则，所以，所以若，则，所以A正确，其余用同样方法排除.21. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，5) 函数的图象大致为（ ）答案 21.D解析 21. 因为函数是奇函数，排除B，当时，排除C，当时，排除A，故选D.22.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，4）函数的单调减区间为 （ ）A BC D答案 22. D解析 22. 由可得函数的定义域为或. 函数可看作由和复合而成，显然在（0，+）为减函数，根据同增异减可得函数的减区间为
15、.23. (2014广西桂林中学高三2月月考，12) 已知函数的定义为，且函数的图像关于直线对称，当时，其中是的导函数，若，则的大小关系是（ ）(A) (B) (C) (D) 答案 23.B解析 23. 由时，所以，则，所以当时，则在上是减函数，因为函数的图象关于直线对称，则函数是偶函数，又因为，而，所以，故.24.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 9) 已知为偶函数，且在区间(1，+) 上单调递减，则有( )(A) a b c (B) b c a (C) c b a (D) a c0,则x的取值范围是_.答案 38.(-1,3)解析 38.f(2)=0
16、, f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x)是偶函数且在0,+)上单调递减,f(|x-1|)f(2),|x-1|2,-2x-12,-1x3,x(-1,3).39. (2014山东青岛高三第一次模拟考试, 15) 如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”. 给出下列函数；. 以上函数是“函数” 的所有序号为_.答案 39.解析 39. 因为对任意给定的实数、，不等式恒成立，所以不等式等价于恒成立，即函数在上是增函数，因为，所以，则函数在定义域上不是单调函数，因为，所以，所以函数在上单调递增，满足条件；因为函数是增函数，所以满足条件；对函数，当时，函数单调递增
17、，当时，函数单调递减，不满足条件故函数是“函数” 的所有序号40. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，12) 定义在上的函数在区间上是增函数，且的图象关于对称，则、之间的关系为_. 答案 40.解析 40. 因为函数的图象关于对称，则函数的对称轴为，因为函数在区间上是增函数，所以函数在上是减函数，所以.41. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 16) 已知定义在上的函数 是奇函数，且满足 , 若数列中， 且前项和满足 , 则. 答案 41.3 解析 41.，即，所以，；所以是首项为，公比为2的等比数列，所以，故，从而，由已知可知周期为3，所以. （10分）42. （2014广
18、东汕头普通高考模拟考试试题，12）设是周期为2的奇函数，当时, , 则_. 答案 42.解析 42. 由周期是2得，由是奇函数得，所以.43.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，15）已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有当时， 给出以下4个结论： 函数的图象关于点(k，0) (kZ) 成中心对称； 函数是以2为周期的周期函数； 当时，； 函数在(k，k+1) ( kZ) 上单调递增 其一中所有正确结论的序号为 答案 43. 解析 43. 由可得，即函数关于点（1,0）对称，又因为函数是奇函数，所以可得函数为以2为周期的周期函数；所以函数的图象关于点(k，0) (kZ) 成中
19、心对称，故命题、正确；令，则，所以，又因为函数为最小正周期为2的周期函数，可得，又因为函数为奇函数，所以可得，故命题正确；是偶函数，所以在(1，2) 及（2, 1）的单调性相反，故命题错误.44. (2014重庆七校联盟, 13) 设为定义在R上的奇函数，当时，则= 答案 44. 解析 44. 令，由为定义在上的奇函数，则，即，故.45. (2014天津七校高三联考, 11) 已知定义域为R的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为_. 答案 45. 或解析 45. 是偶函数，又在上是增函数，在上是减函数，即或，截得或.不等式的解集为或.46. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 1
20、6) 定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是_. 答案 46. 解析 46. ，又函数的递增区间为，即，又恰有6个不同的实根，等价于恰有6个不同的实根，即，要使恰有6个不同的实根，也就是方程各有3个不同的实根，当得，此时函数单调递增，当得或，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，此时必有，即，故.47. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 14) 已知是R上的减函数，是其图象上两个点，则不等式的解集是_. 答案 47.解析 47.由已知可得: , 所以可化为，由单调性可得: , 解得.48. (2014成都高中毕业班第一
21、次诊断性检测，11) 若是上的偶函数，则实数 . 答案 48. 1解析 48. 依题意，即.49. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 15) 关于函数有下列命题：函数的图象关于y轴对称；在区间上，函数是减函数；函数的最小值为；在区间上，函数是增函数. 其中是真命题的序号为 . 答案 49. 解析 49. ，则正确；当时，由函数在上单调递减，在单调递增的函数，而是增函数，故函数在上单调递减，在单调递增，故错误；由可知函数的最小值为，正确；由知函数在在区间上，函数是增函数，正确.故真命题的序号为 .50. (2014湖北黄冈高三期末考试) 定义在上的偶函数，满足，都有，且当时，. 若函数在
22、上有三个零点，则的取值范围是 . 答案 50. 解析 50.由函数是偶函数，则，令，又对都有成立，则，即，是周期为2的函数，又当时，又，由得，分别作与的图象，若不满足条件，当时，要函数在上有三个零点，则，即.51. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 给定下列四个命题：，使成立；，都有；若一个函数没有减区间，则这个函数一定是增函数；若一个函数在为连续函数，且，则这个函数在上没有零点.其中真命题个数是 .答案 51. 1解析 51. 方程无整数解，假命题；由，则恒成立，所以是真命题；这个函数可能是常数函数，故是假命题；可能有零点，故错误.故真命题个数是，正确的个数是1个.52. (201
23、4北京东城高三12月教学质量调研) 设是周期为2的奇函数，当时，则= . 答案 52. 解析 52. 是周期为2的奇函数，又当时，.53. (2014广东,21,14分)设函数f(x)=,其中k-2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;(3)若kf(1)的x的集合(用区间表示).答案 53.查看解析解析 53.(1)由题意得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-30,(x2+2x+k)+3(x2+2x+k)-10,x2+2x+k1,(x+1)20)或(x+1)22-k(2-k0),|x+1|,-1-x-1+或x-1+,函数f(x)的定义域D
24、为(-,-1-)(-1-,-1+)(-1+,+).(2)f (x)=-=-,由f (x)0得(x2+2x+k+1)(2x+2)0,即(x+1+)(x+1-)(x+1)0,x-1-或-1x-1+,结合定义域知x-1-或-1x-1+,所以函数f(x)的单调递增区间为(-,-1-),(-1,-1+),同理递减区间为(-1-,-1),(-1+,+).(3)由f(x)=f(1)得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3=(3+k)2+2(3+k)-3,(x2+2x+k)2-(3+k)2+2(x2+2x+k)-(3+k)=0,(x2+2x+2k+5)(x2+2x-3)=0,(x+1+)(x+1-)(
25、x+3)(x-1)=0,x=-1-或x=-1+或x=-3或x=1,k-6,1(-1,-1+),-3(-1-,-1),-1-1+,结合函数f(x)的单调性知f(x)f(1)的解集为(-1-,-1-)(-1-,-3)(1,-1+)(-1+,-1+).54.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，21）已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时, 判断的单调性, 并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.答案 54.查看解析解析 54.易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 时最小值为2. -3分（2）时, 时， 递增； 时，递减； -5分为偶函数. 所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时， 递增； -8分（3），从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有-10分当时，在上单调递增，由得，从而；当时，在上单调递减，在上单调递增，由得，从而；当时，在上单调递减，在上单调递增，由得，从而；当时，在上单调递减， 由得，从而；综上，. -14分24