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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第九章多元函数微分学及其应用精品资料欢迎下载Dx ,y x22y22,图略定义域名师归纳总结 第一节多元函数的基本概念设fxy,yx2y2,求fx ,y第 1 页,共 19 页1、求以下各函数的定义域,并作出其草图. x解:令xyyst,得：x1tsts1 z1x21y2；y1s2x解: 定义域Dx ,y1x,11y1,图略代入得ft,st2 1ss 2 zln14x2y22；1故fx ,yx2 1yyyx14xy20解: 由1x2y20得: 3、求以下极限：1x2y211 limx 0y 11xy 23ex；定义域Dx,y0x2y2,1y24
2、x,图略yx2解: 直接代入 原式 =100113 zarcsin（x22y21）解: 由1x22y211得: 2 lim x 0y 012cos xy 1；xy21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解:原式 =lim x 0y 0xy2x2y211 12精品资料欢迎下载5x6yx5x和6y0,x,y试问：05x6y2x2y2x2y2x2y2x2y2x2y2故lim xy5x6y03lim x 2y 0sinxy1xy1；xy1 xyx2ex2y2,ylim y 0lim x 0fxy,求lim x 0lim y 0fy5、设fx,yyxyxsinxy
3、1解:原式 = lim x 2y 0极限limx 0y 0fx,y是否存在？为什么？xy4、判定以下极限是否存在,如存在,求出极限值解: lim x 0lim y 0fx ,y 1,lim y 0lim x 0fx,y11limx 0y 0x2yy；0时,令ykx,其值与 k 有关极限limx 0y 0fx,y不存在,由于当x解:当x0时,令ykx2,就6、争论函数fx ,y1 ,x2xy2y00的连续性（在哪些点连续,lim x 0y 0x2yyx lim 02x2kxkx21kk,其值与 k 有关,故极限不存在20,22ykx哪些点不连续） 名师归纳总结 2lim xy5x6y；解:lim
4、 x 0fx,y10f0 , 0,故函数在00,处不连续, 其它处均连续第 2 页,共 19 页x2y2y0解:当x,y时,有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 填空题：在x0y0其次节x ,y偏导数精品资料欢迎下载1xyxln1xy1xy,zx2 1xyx1解: z x处均存在是f在该点连续的既非充分也非xyy1 f ,fy名师归纳总结 必要条件；在点,1,13处的切线与y 轴正向所成3 uxyz；x,u zyzlnyxyzlnx第 3 页,共 19 页2曲线z1x2y2解: uyzxyz1,uzyz1xyzlnxyx1的角是6；1 x,z y1 ；y
5、fz 0, 0, 113求以下函数的二阶偏导数：xy,1zxlnxy3设zlny,就z解: zlnxyxxy,zxxxxy4设fx,y,zzexy,就f x 0 , 0, 10 ,f y 0 , 0, 10 ,2zx2y,2zxy2,2求以下函数的一阶偏导数：x22x2xy2xyyx2,2zxx2 y,2zxy1zxxyy；yy2x2 y解: zxy2,z2zarcsinx；2 yxyxyy解: zy1x2,zyy2x2z1xyxx2y- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2z2zxy2x2x23,2z2yy2x23,精品资料欢迎下载20 y lim0co
6、s12,极限不存在, 故此点处关于y y lim 0 y cos122xx y2yxy21xy3, y y2x的偏导数不存在22y2y22z1y2x21x2 y2,x230,判定其在点0 ,0处的22yxy4设函数fx,yycos1x2y2x2y2x2y20,0 ,连续性和偏导数是否存在名师归纳总结 解: 1）lim x 0fx,ylim x 0ycosx21y20lim xf0, 00第 4 页,共 19 页y0y0f00故函数在点0 , 0处连续；0, 02）fx 0, 0lim x0f0 x,0 x x, 0fy 0, 0 y lim0f0, 0 yf0 y- - - - - - -精选
7、学习资料 - - - - - - - - - 填空挑选题：第三节全微分精品资料欢迎下载zx3 y21名师归纳总结 1 二 元 函 数zfx,y在 点x,y处 可 微 的 充 分 必 要 条 件 是解: z3x2y2,z2x3yx3ydyyz2,第 5 页,共 19 页xylim 0 zdz0,其中 zfx x,y yfx,y, dzzdxzdy3x2y2dx2dz 为表达式fxx,y xfyx,y x , x2 y2xy2zx y2 在点x,y处dfx ,y存在的充分条件为C xyA f 的全部二阶偏导数均存在；B f 连续；解: z21,zxxyy1y2xydyC f 的全部一阶偏导数均连续
8、；D f 连续且f , xfy均存在dzzdxzdy2dx2求函数zxy当x2,y1,x0 1.,y0 .2时的全增量和xyxyy2全微分3ulnx2y2,z22解: z2 . 10 . 8210 . 32u2xu解: dzz xz y10. 120. 20 . 3xx2y2z2yx2y2xyu2z3求以下函数的全微分：zx2y2z2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dux22xz2dxx22yz2dyx22zz2dz精品资料欢迎下载y2y2y24争论函数zxy在点00,处的可导性与可微性名师归纳总结 解:z0, 0lim x0 x000, z0,0
9、x lim 00 y00, 第 6 页,共 19 页x xy y故函数zxy在点00,处的偏导数存在；但lim 0 zdzlim 0 x y2,其中2 x y22 x y易 知 当 x, y 沿 直 线yx趋 于00,时 此 极 限 不 存 在 ； 故 函 数zxy在点,00 处不行微- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第四节多元复合函数的求导法就精品资料欢迎下载u2v3,ux2y ,vxy,求z , xz4设z求以下函数的偏导数或全导数：y名师归纳总结 1zx2y2,x3 t,y4 t3yt3解: zzuzv2uv33 u2v2u z第 7 页,共 1
10、9 页解:dz=zdxzdy=x21y23 x12xuxvxdtxdtydtzzuzv4uv33 u2v2= 9t2116t66t48t6yuyvy5zu2v3w,u2 t1 ,vt3,w3 t12zyfv,vy2x2,其中 f 可导解:dz=4uv3w9u2v2wt23 u2v3dt解: 2求以下函数的偏导数：zfvv2fxv1zfx2y3, sinxy,其中 f 可导,求z ,xz yxxz1fvv12yfvyy解: z2fx1ycosxyf23zxey,yx,其中可导xz3y2f1xcosxyf2解: dz=zzdy=eyxeyxydxxydx2ufxexyxsinyz,其中 f 可导,
11、求u ,xu ,y解: u1exysinyzf,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - u=zexxzcosyzfy,u=xy cosyz fz ,x2z精品资料欢迎下载f , g 可导,验证auffx2atgxat满意3已知函数2ua2yz2u3 设fu,x,y,uxe,其中 f 二阶可导,求t2x22ag,xy证明：u taf-ag,2u解: z xeyf1f2,t2名师归纳总结 2z=eyf1xe2yf11eyf13xeyf21f23y求2z ,22z,2z 2ufg,2ufg,故2ua22u第 8 页,共 19 页xyxx2t2x24 设zfxy2
12、,x2y,f 具有二阶连续偏导数,xxyyf22解: z xf12xy f2,z=2xy f1x2f2y2y2z2fy2y4f114xy3f124x2y2f22x22z=2fy12xf22xy3f115x2y2f122x3xy2z=2xf14x2y2f114x3yf12x4f22y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第五节隐函数的求导公式精品资料欢迎下载xyz1dxcosxyyz1dydzcos cosxyz1cos xz名师归纳总结 1设方程xyx2y22确定了隐函数yy x ,求dy dx过程略；3设方程exyez2z确定了隐函数zz x ,y,求
13、z ,x2z 2第 9 页,共 19 页x解:（公式法）令Fx,yxyx2y22,F xy2x解:令 Fx,y,zexyez2z,Fxxy yeF yx2y,Fzez2就dyFxy2x,dxFyx2y就zFxyexy ez2 ,z y,yz0所 确 定 , 证 明xFz提示：另仍可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法,2z=y2exyezz2 23ezxy下同；z ,xz ,yxe22 2设方程sinxyzzx确定了隐函数zz x,y ,求4 设 隐 函 数zzx ,y由 方 程Fxdz yz1xxzyzzxy解:（公式法） 令Fx,y,zsinxyzzx,F xcosxF ycosx
14、yz,Fzcosxyz1zxy证明：FxF 1zF2就zFxcosxyz1,z=Fycosxyyx2zFzFy-zF 1F2,F z1F 11F2, xFcosxyz1ycosxz1y2yx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - zFxF1zF 2,z=FyF21zF 1, 精品资料欢迎下载uvxv0故u=9 u3 v3x,v=3 u2yv3 u2y2x2 1xxxFz1F 1F2yFz1F1F23 v2vyux2v2xyx9 u2v 2xy1yxyxxx名师归纳总结 故xzyzzxy同理可得到：u=2 3 v2xu,v=9 u3 u3yf,F 均第 10
15、页,共 19 页xyy9 u2vxyy2v2xy5求以下方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：6设yfx,t,而 t 是由Fx,y,t0所确定的 x,y的函数,其中1设x 22y23z 2500,求dy ,dxdz dx有一阶连续的偏导数,求dy dxxyz4解: 方程组两边直接对自变量x 求偏导,得：解:联立方程组yfx,t0两边直接对自变量x 求偏导,得：2x2ydy2zdz0Fx,y,tdxdxdyfxftt12dy3dz0dxxdxdxFxFydyFtt0故dy33x2z,dz2xydxxdxyzdx3y2z故dyfxF tyftF x2设u3xuy,求u ,xu ,yv ,xv yft
16、FF tdx3 vyux解: 方程组两边直接对自变量x 求偏导,得：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1求曲线xt,第六节t,z精品资料欢迎下载dydy,2xz2x,dzy02yz多元函数微分学的几何应用解:用隐函数组求导的方法得到ysin1cost在对应t4的点处的切线方程和dxyyzdx22点M01 ,1 ,2处的切向量T1 ,dz dxM0,1-1 0,法平面方程dx名师归纳总结 解:切向量Txy,z,t1,2,2,即曲线在对应点M01 ,1 ,2处的切线方程为：的方第 11 页,共 19 页2244曲线在对应t4的点处的切线方程为：x11y11
17、z02,法平面方程为：xy0-x18y2z2,法平面方程为：3求曲面zx2y2在点 11,2处的切平面方程和法线方程2422解: 法向量nzx,zy,11, 1,22,2,1 2241x8故所求切平面方程为2x1 2y1 z20即2y22z20222442x2yz202z432x22y法线方程为：x21y21z-222求曲线处的切线方程及法平面方1x2zy22z226在点M01 ,1,2y4求椭球面x22y23z221上某点 M 处的切平面x程程,使平面过已知直线L:x26y132z21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解:设点 M 的坐标为x 0y0
18、,z0,就切平面的法向量l2精品资料,欢迎下载b,c1,有ns0,即ns,设向量saan2x0, 4y0, 6z0,直线 L 过点63,1,且方向向量为1,1 z的某直线的方向向量（常向量）,该直线就是所求平s就是过点y,2Mx,4x04y06z000,行于切平面的定直线故有2x0x06024y0 y0306z0 z012x2y023z22121x03x01解得y00或y02z02z 02所求切平面方程为x2z7或x4y6z的方程, 同样可求得点注：上题中在直线L上任取两点的坐标代入平面x 0y0,z 0,过程略bz ,aycz 0 abc05设Fu,v是可微函数,证明：曲面Fax的切平面平行
19、于某定直线名师归纳总结 证明：曲面在任意点Mx,y,z处切平面的法向量第 12 页,共 19 页naF1,aF2,bF 1cF2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载5）,其方向余弦为cos,34,cos542,cos55第七节方向导数与梯度（3,1填空题：5221 fx ,f在点x0,y0处均存在是在该点的方向导数存在的既不充分yu520,u,34,515u,5 12也不必要条件x,3,4yz3,2 函数zxy xe在点 10,沿ij方向的方向导数最大, 其最大值是2 2y24x在该点处偏向xuucosx2ucos+u cos z=62
20、lxy2求函数zlnxy在点1,2 处沿着抛物线4设fx,y,zyz,求gradf,12,1 ,并求函数沿该梯度方向的轴正向的切线方向的方向导数方向导数2,4,f yx2z,f xx2y解: zx1y,zx1y,tandy,1解:f x2xyz,xydx22gradf,12,1 =4ij2 k,ugradf,1,2121 zzcoszsin=2 3llxyy2的外法线方向的3求函数uxyz在点3,4 ,5 处沿着锥面zx方向导数名师归纳总结 解: zx2xy23,zx2yy24,锥面的外法线方向为第 13 页,共 19 页x5y5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
21、- - - 第八节多元函数的极值及其求法精品资料欢迎下载6x24y23z212x6z30确定的函数zfx,y的极3求由名师归纳总结 1填空题：值D 内第 14 页,共 19 页1二元函数的极值只可能在驻点和_不行导点 _处取得解:令Fx,y,z6x24y23z212x6z3由隐函数求导得2如函数zfx,y在点x0y0处具有偏导数,且在点x0y0处有极zFx2x20得驻点1,0, 代入原方程得：值,就有f xx0,y0_0_,f yx0,y0_0_xF zF yz12求函数fx ,yxy axy的极值z4y0yFz3z3解:由fxyaxyxy0得驻点00,0,a ,a,0,a,az22z30,解
22、得z,1 z3,由方程知此曲面为椭球面,故fyxaxyxy0函数zfx,y的极大值为 1,微小值为3 33Afxx2y,Bfxya2x2y,Cfyy2x4求函数zcos xcos ycos xy在闭区域对四个驻点分别运算ACB2,易知0,0 ,0,a ,a,0 处都有D : 0 x , 0 y2解: 1求 D 内的驻点：2上的最大值和最小值ACB20,故都不是极值点,而a,a处ACB2a20,339由zsinxsinxy0得sinxsiny0,无零点,故A2y2a,所以当a0时,函数在此点取得微小值a3,当a0x z27sinysinxy03y时,函数在此点取得极大值a3无驻点,函数的最值只能
23、在边界上达到；272 求函数在边界上的最值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x0, 0y时,z12cosy,z 0 ,0 3 ,z0,21精品资料欢迎下载uxyz在条件x2y2z21,xyz0下的极值,同理可6求函数2名师归纳总结 争论另外三条边界,得z20,z 2,212解: 作拉格朗日函数Lx,y,zxyz x 2y2z21 xyz第 15 页,共 19 页函数的最大值 3 在0 ,0 处达到,最小值 1在0,2,2,0,2,Fxyz2 x0由Fyx2xzy2 y10得驻点M ,21,1,2,三点处达到 Fzxy2 z05经过第一卦限中的点a,b,c作平面与三坐标轴相交,如何作法使该平66622 zxy