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1、第 1 页版权所有不得复制年级初三学科数学版本北师大版内容标题图形的认识、图形与证明（一）编稿老师孙月【本讲教育信息 】一. 教学内容：图形的认识、图形与证明（一）几何初步、三角形二. 教学目标：通过对几何初步、三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题。三. 重点、难点：熟练地解决与几何初步、三角形相关的问题四. 课堂教学：中考导航一质互余、互补的意义、性角的比较与度量角的和、差及角平分线射线平行线相交线直线公理直线线段的比较与度量线段公理与中点线段的和、差、倍、分线段几何初步知识中考课程标准要求一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
2、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 2 页版权所有不得复制知 识 与 技 能 目 标考 点考 纲 要 求了 解（ 认 识 ）理 解掌 握灵 活应 用线 段 的 定 义 、 中 点线 段 的 比 较 、 度 量线 段线 段 公 理直 线 公 理 、 垂 线 的 性 质对 顶 角 的 性 质直 线平 行 线 的 性 质 、 判 定角 的 和 、 差 及 角 平 分 线角 的 比 较 、 度 量射 线互 余 、 互 补 性 质中考导航作图性质判定概念全等直角三角形钝角三角形锐角三角形按角等腰三角形不等边三角形
3、按边分类三角形中考课程标准要求知 识 与 技 能 目 标考 点考 纲 要 求了 解（ 认 识 ）理 解掌 握灵 活应 用三 角 形 有 关 概 念三 角 形 内 角 和 定 理等 腰 三 角 形 性 质 、 判 定三 角 形及 特 殊三 角 形三 角 形 三 边 关 系 定 理全 等 三 角 形 的 概 念全 等全 等 三 角 形 的 性 质 与 判 定作 图三 角 形 及 特 殊 三 角 形 作 图【典型例题】例 1. 如图能折叠成的长方体是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
4、- - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 3 页版权所有不得复制（2006 年大连市）答案： D 例 2. 如图， AC BC，AE 平分 CAD ，且 C40，则 DAE _。 （2005 年邵阳市）答案： 55例 3. 如图所示， l 是四边形 ABCD 的对称轴，如果 AD/BC ， 则有以下结论： AB/CD AB BC AB BC AOCO 那么其中正确的结论序号是_ 。（2006 年烟台市）答案： 例 4. 如图 1 所示， ABC 为等边三角形，面积为S。D1、E1、F1分别是 ABC 三边上的点，且AB21CFBEAD111，连结11ED、11F
5、E、11DF，可得111FED是等边三角形，此时11FAD的面积S41S1，S41SFED1111的面积。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 4 页版权所有不得复制图 1 （1）当 D2、E2、F2分别是等边 ABC 三边上的点， 且AB31CFBEAD222时 （如图 2 所示）图 2 求证：222FED是等边三角形；若用 S 表示22FAD的面积2S，则2S_；若用 S 表示222FED的面积2S，则2S_
6、。（2）按照上述思路探索下去，并填空：当nnnFED、分别是等边ABC 三边上的点，且AB1n1CFBEADnnn时（ n为正整数），nnnFED是_三角形；若用 S 表示nnFAD的面积nS，则nS_；若用 S 表示nnnFED的面积nS，则nS_。（2006 年徐州市）解： （ 1）因为 ABC 为等边三角形所以 ABBC AC， A B60由已知得AC31CFBC31BEAB31AD222，所以AB32BDAC32AF22，所以2222BDAFBEAD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
7、- - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 5 页版权所有不得复制所以2222DBEFAD所以2222DFED同理可证2222ECFFAD所以2222FEDF所以222222DFFEED所以222FED为等边三角形S31SS92S22；（2）等边；S)1n(1nnSS)1n(nS22n2n；例 5. 已知线段AC8，BD6。（1）已知线段AC 垂直于线段BD。设图 1、图 2 和图 3 中的四边形ABCD 的面积分别为1S，32SS 和，则1S_，2S_，3S_；（2）如图 4，对于线段AC 与线段 BD 垂直相交（垂足O 不与点 A，C，B，D 重合
8、）的任意情形，请你就四边形ABCD 面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；（3）当线段 BD 与 AC（或 CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A 所围成的封闭图形的面积是多少？（2005 年河北省）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 6 页版权所有不得复制解： （ 1）24， 24，24；（2）对于线段AC 与线段 BD 垂直相交（垂足O 不与点 A，C，B，D 重合）的任意情形，四边形AB
9、CD 的面积为定值24。证明如下：AC BD ，OBAC21SABC，ODAC21SDAC24DBAC21)ODOB(AC21ODAC21OBAC21SABCD四边形（3）顺次连接点A， B，C，D， A 所围成的封闭图形的面积仍为24。【模拟试题】（答题时间： 60 分钟）一、选择题1. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “2” 在正方体的前面， 则这个正方体的后面是 （）A. 0 B. 6 C. 快D. 乐2. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有（）A. 2
10、 对B. 3 对C. 4 对D. 6 对3. 锐角三角形的三个内角是A、 B、 C，如果 A B， B C， C A，那么 、 、这三个角中（）A. 没有锐角B. 有 1 个锐角C. 有 2 个锐角D. 有 3 个锐角4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明AOB AOB 的依据是（）A. （S.S.S.）B. （ S.A.S.）C. （A.S.A. ）D. （A.A.S. ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - -
11、 - - - 第 7 页版权所有不得复制5. 如图所示， B 是线段 AC 的中点， 过点 C 的直线 l 与 AC 成 60的角， 在直线 l 上取一点 P，使得 APB30，则满足条件的点P 的个数是（）A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 不存在二、填空题1. 如图，直线a、b 被直线 l 所截， a/b，如果 150，那么 2_度。2. 在 ABC 中，若 A78o36， B57 o24，则 C_。3. 已知等腰三角形的腰长是6cm，底边长是8cm，那么以各边中点为顶点的三角形的周长是 _cm。4. 如图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a， 则六
12、边形的周长是 _。5. 如图所示，已知ABC 中， AB AC， BAC90，直角 EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边PE、PF 分别交 AB、AC 于点 E、F，给出以下五个结论：AECF APE CPF EPF 是等腰直角三角形APEFS四边形AEPFABCS21。当 EPF 在 ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与 A、B 重合） ，上述结论中始终正确的序号有_。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第
13、 8 页版权所有不得复制三、解答题1. 如图所示，平面上的四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中ABAD ，CBCD。（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD 的两条对角线 AC BD，垂足为E，并且 BEED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由；（2）设对角线ACa， BDb，请用含a,b 的式子表示四边形ABCD 的面积。2. 下面是数学课堂的一个学习片断。阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形 ABC 的角 A 等于 30，请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：
14、 “其余两角是30和 120” ；王华同学说： “其余两角是75和 75” 。还有一些同学也提出了不同的看法, 。（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）3. 已知：线段m、n （1）用尺规作出一个等腰三角形，使它的底等于m，腰等于n（保留作图痕迹，不写作法、不证明） ；（2）用至少 4 块所作的三角形，拼成一个轴对称多边形（画出示意图即可）。4. 如图，其中含有三个正方形，图中有几对全等的三角形。请一一列举出来。5. 两条平行直线上各有n 个点，用这 n 对点按如下的规则连结线段；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
15、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 9 页版权所有不得复制平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其他交点；符合要求的线段必须全部画出；图 1 展示了当 n1 时的情况，此时图中三角形的个数为0；图 2 展示了当 n2 时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；（1）当 n3 时，请在图 3 中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为_个；（2）试猜想当有n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当 n2006 时，
16、按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 10 页版权所有不得复制【试题答案】一、1. B 2. B 3. A 4. A 5. B 二、1. 50 2. 443. 10 4. 30a5. 三、1. 解： （1）王云同学的判断是正确的。理由是，根据题设， AB AD ，点 A 在 BD 的垂直平分线上CBCD，点 C 在 BD 的垂直平分线上AC 为 BD 的垂直平分线，BE
17、 DE， AC BD （2）由（ 1）得 AC BD ab21ACBD21AEBD21CEBD21SSSABDCBDABCD四边形2. （1）答：上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75和 75或 30o和 120。理由如下：（i）当 A 是顶角时，设底角是30 18075其余两角是75和 75（ii）当 A 是底角时，设顶角是30 30 180120其余两角分别是30和 120（2） （感受中答有： “分类讨论” ， “考虑问题要全面”等）3. （1）作图（略）（2）4. AEO CFO CGQ AHP ADC ABC 5. （1）4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 11 页版权所有不得复制（2）当有 n 对点时，最少可以画)1n(2个三角形（3）4010)12006(2个答：当 n2006 时，最少可以画4010 个三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -