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1、1 第四章一次函数一函数1. 函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了 唯一的 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量。 也就是说，函数是两个变量之间的关系。注意： （1）函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量y 与 x，可以说 y 是 x 的函数，不能说 y 是函数（ 2）函数是有顺序性的，如y=0.5x+3 表示 y 是 x 的函数，而变形后的等式x=2y-6, 则表示 x 是 y 的函数2.自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），
2、分式（分母不为 0） 、二次根式（被开方数为非负数） 、实际意义 几方面考虑。3. 函数的三种表示法列表法、关系式法（ 一定要是等式 ） 、图像法【例 1】 下列关于变量 x,y 的关系式：x-3y=1; y=x; 2x-y2=9.其中 y 是 x 的函数的是，x 是 y 的函数的是变式训练：1. 下列关系式中哪些是函数，哪些不是？【例 2】写出下列函数关系中自变量的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 【
3、例 3】写出 y 与 x 的函数关系式并指出自变量的取值范围（1） 一个长方形周长为24，一边长为 x, 面积为 y （2） 一个长方形菜园，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，垂直于墙的一边为x，菜园的面积为 y 变式训练：1.写出下列函数关系式，并写出自变量的取值范围（1） 周长为 24 的等腰三角形，它的底边长y 与腰长 x 之间的函数关系（2） 周长为 24 的等腰三角形，它的腰长y 与底边长 x 之间的函数关系小测验（ 10分钟）1. 下列四个图像中，不表示某一个函数图像的是（）2.设路程为 s，速度为 v，时间为 t，当 s=60时，t=60/v,在这个表达式中（）A. t 是 s的函数
4、B. t 是 v 的函数C. v 是 t 的函数D. v 是 s 的函数3.已知 x-3y=6,若把 y 看成 x 的函数，则可表示为4.已知变量 x 与 y 有如下关系： y=x y =x y= x x2-y=0 x-y2=0，其中 y 是 x的函数关系的有（填序号）5.对于圆的周长公式C=2R , 其中自变量是，因变量是，常量是6.写出下列函数关系式中，自变量的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 二、
5、一次函数与正比例函数1. 正比例函数和一次函数的概念一次函数： y=kx+b（k，b 为常数， k0）正比例函数 ：y=kx（k0）一次函数有（填序号）变式训练：1.下列关系中符合正比例关系的是（）A.距离 s 一定时 ,速度 v 和时间 t B.圆的面积 s和半径 r C.正方体的体积和棱长a D.正方形的周长 C 和它的边长 a 其中属于一次函数的是3.粮库有粮 50t，每天运走 5t，写出剩下的粮食P（t）与运粮天数 t (天)的函数关系式，并指出自变量的取值范围。它是一次函数吗？是正比例函数吗？2.一次函数和正比例函数k、b 的取值问题变式训练：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
6、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 三、一次函数的图像1.由函数关系式画其图像的一般步骤列表描点连线（ 列表时 自变量的取值 一定要有一定的代表性，并且大小合适）2、图像的特征 ：一次函数 y=kx+b（k、b 为常数， k0）的图像是经过点（ 0，b）的直线；正比例函数y=kx 的图像是经过原点（ 0，0）的直线。k 的符号b 的符号函数图像图像特征k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。b0 y 0 x 图像经过一
7、、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而增大当 k0 时，y 随 x 的增大而减小注：一次函数的图像是一条直线，因此一次函数y=kx+b 的图像也成为直线y=kx+b 【例 6】已知（ -1，y1）和（ 1，y2）是直线 y= -9x 上的两点，则 y1与 y2的大小关系是变式训练：1.已知点 A(-5,a)和 B(4,b) 在直线 y= -3x-5 上，则 a与 b 的大小关系是2. 已知点 A(a，-5)和 B(b，4)在直线 y=
8、-3x-5 上，则 a与 b 的大小关系是【例 7】一次函数 y= -9x-5 不经过的象限是变式训练：1.已知一次函数 y=(6+3m)x+3-2m 的图像与 y 轴交于负半轴，且y 随 x 的增大而增大，求m 的取值范围2.两个一次函数y1=ax+b 与 y2=bx+a，它们在同一平面直角坐标系中的图像可能是下列选项中的（）3直线 y= 0.5x-3 与直线 y= 0.5x 的关系是，可把直线 y= 0.5x 向平移个单位长度得到直线y= 0.5x-3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
9、 - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 4、坐标、函数、方程之间的关系（）【例 8】已知点 P（a,b）在一次函数 y= 4x+3 的图像上，则代数式4a-b-2的值为变式训练：1.已知点（ 3,2）在一次函数 y= mx+n（m,n 为常数，且 m0）的图像上，则3m-2n= 2.已知点（ 3,5）在直线 y= mx+n（m,n 为常数，且 m0）的图像上，则 5（3a+b）= 【例 9】一次函数 y=5x-10 的图像与 x 轴的交点坐标为，与 y 轴的交点坐标为变式训练：1. 直线 y= -x+3 与坐标轴所围成的面积是2. 若正比例函数的图像经
10、过点（-1,2） ，则这个图像必经过点（）A.（1,2）B.（-1，-2）C.（2，-1）D.（1，-2）3.在一次函数 y= 2x-5 中，当 x 由 3 增大到 4时， y 的值；当 x 由-3 增大到-2时，y 的值（选做题）已知 y+2 与 x 成正比例，且当 x= -2 时，y=0. （1） 求 y 与 x 之间的函数表达式（2） 画出函数的图像（3） 观察图像，当 x 取何值时， y0？（4） 已知点（ m，6）在该函数的图像上，求m 的值（5） 设点 P 在 y 轴的负半轴上，（2）中的图像与 x 轴，y 轴分别交于 A,B 两点，且 SABP=4，求点 P 的坐标。5、一次函数
11、与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b 为常数， k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0 时，求相应的自变量的值从图象上看 ，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值【例 10】一次函数 y=kx+b 的图像如图所示，则方程kx+b=0的解为（）坐标坐标就是方程的解坐标可以转化为线段的长度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 A.x=2 B.
12、x=-1 C.y=2 D.y=-1 变式训练：1.若直线 y=kx+b 经过点（ 2,3 ） ，则关于 x 的方程 kx+b=3 的解为2直线 y=2x-3 交 x 轴于点，由此可知，方程2x-3=0 的解为3.方程 4x-b=5 的解为 x=2,则直线 y=4x-b 一定经过点（）A.（2,0）B.（0,3）C.（0,4）D.（0，-3）6.一次函数的应用首先要明白横坐标和纵坐标各自的意义，每个点的意义注意自变量的取值范围应使实际问题有意义同一个坐标系中，两个一次函数的图像的比较，交点的含义准确理解一次函数表达式中k,b 的含义【例 11】甲乙两工程队同时修筑水渠， 且两队所修水渠总长相等，
13、 如图是两队所修水渠长度y （米）与修筑时间 t（时）的函数图像的一部分。请根据图中信息，解答下列问题：(1) 直接写出甲队在 0 x5 的时间段内， y 与 x 之间的函数表达式(2) 直接写出乙队在 2x5 的时间段内， y 与 x 之间的函数表达式【例 12】如图，一次函数y=kx+b 的图像经过 A,B 两点，与 x 轴交于点 C，求一次函数的表达式及AOC 的面积变式训练：1. 某通讯公司推出、两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种通讯方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的关系式如图所示（1）有月租的通讯方式是（填或），月租费是元（2）分别求出两种
14、收费方式中y 与 x 之间的函数表达式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 2.某办公用品销售商店推出两种优惠办法：购一个书包，赠送一支水性笔；购书包和水性笔一律按九折优惠。书包每个定价20 元，水性笔每支定价5 元。小丽和同学需买四个书包，水性笔若干支（不少于 4 支） 。（1）分别写出两种优惠办法购买费用y(元)与所买水性笔支数x 之间的关系式（2）小丽和同学需买这种书包4 个，水性笔 12 支，请你计算怎样购买最经济名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -