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1、学习好资料欢迎下载一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一 .利用判别式例 1.（2000 年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mxx与2244450 xmxmm的根都是整数。解：方程2440mxx有整数根， =16-16m0，得 m 1又方程2244450 xmxmm有整数根22164(445)0mmm得54m综上所述，45m 1x 可取的整数值是-1 ，0，1 当 m=-1 时，方程为 x2-4x+4=0 没有整数解，舍去。而 m 0 m=1例 2 （1996 年四川竞赛题）已知方程210 xmxm有两个不相等的正整数根，求m 的值。解：设原方程的两个正整数根
2、为x1，x2，则 m=(x1+x2)为负整数 . 244mm一定是完全平方数设2244mmk（k为正整数）22(2)8mk即：(2)(2)8mkmkm+2+k m+2-k, 且奇偶性相同2422mkmk或2224mkmk解得 m=10（舍去）或m= 5。当 m= 5 时 ，原方程为x2-5x+6=0 ，两根分别为x1=2，x2=3。二 .利用求根公式例 3 （2000 年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4kkxkkxk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
3、 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。解：22222(264)4(4)(68)4(6)kkkkkk由求根公式得222642(6)2(68)kkkxkk即12241,142xxkk由于 x -1 ，则有12244,211kkxx两式相减，得1224211xx即12(3)2xx由于 x1，x2是整数，故可求得122,4xx或122,2xx或121,5xx分别代入，易得k=310，6，3。三.利用方程根的定义例 4.b 为何值时，方程220 xbx和22(1)0 xxb b有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解
4、：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 当 b2 时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)(1)20bbb解得 b=1,x=2 当 b=2 时,两方程无整数根. b=1, 相同的整数根是2 四.利用因式分解例 5.（2000 年全国竞赛题）已知关于x 的方程2(1)210axxa的根都是整数，那么符合条件的整数a 有_个. 解: 当 a=1 时,x=1 当 a1 时,原方程左边因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=0 即得1221,11xxa x是整数 1-a= 1, 2,a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5 个. 例 6.(1994 年福州竞赛题) 当
5、m 是什么整数时 ,关于 x 的方程2(1)10 xmxm的两根都是整数? 解：设方程的两整数根分别是x1，x2，由韦达定理得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载121xxm121xxm由消去m，可得12212x xxx12(1)(1)31 31 ( 3)xx则有121 113xx或121113xx解得：1224xx或1202xx由此128xx或 0，分别代入，得7m或1m五.利用根与系数的关系例
6、7.(1998 年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程240 xaxa仅有整数根 . 解：设方程的两整数根分别是x1，x2，且12xx由根与系数的关系得120 xxa1240 xxa由得22axa将代入得1214ax xx a12142aax xx148x显然x1 4，故 x1可取 5，6，7，8。从而易得a=25，18，16。六 .构造新方程例 8.(1996 年全国联赛 )方程()(8)10 xax有两个整数根,求 a的值 . 解：原方程变为2(8)(8)(8)10 xax设 y=x-8 ，则得新方程为2(8)10ya y设它的两根为y1，y2，则12128,1yyayyx 是整数， y
7、1，y2也是整数，则y1，y2只能分别为1，-1 或-1 ，1即 y1+y2=0 a=8。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载七.构造等式例 9.(2000 年全国联赛C 卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于 x 的方程222320,320,320 xaxbxbxcxcxa的所有的根都是正整数. 解：设三个方程的正整数解分别为123456,x xx xxx，则有21232()()xaxbxxxx
8、23432()()xbxcxxxx25632()()xcxaxxxx令 x=1，并将三式相加，注意到xi1（i=1 ，2，6） ，有1234563()(1)(1)(1)(1)(1)(1)0000abcxxxxxx但 a 1，b1，c1，又有 3- （a+b+c）0， 3- （a+b+c）=0故a=b=c=1 八 .分析等式例 10.(1993 年安徽竞赛题) n 为正整数，方程2( 31)360 xxn有一个整数根，则n=_. 解：不妨设已知方程的整数根为，则2( 31)360aan整理。得263()aaan因为a为整数，所以26aa为整数3()an也一定是整数，要使3()an为整数，必有an
9、由此得260aa，即260nn解得 n=3 或-2（舍去） n=3 。九 .反客为主例 11.(第三届祖冲之杯竞赛题)求出所有正整数a,使方程22(21)4(3)0axaxa至少有一个整数根. 解：由原方程知x2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程2(44)212xxax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载得22121(2)xax（因为是正整数）则得(4)(2)0 xx解得42x因此， x 只能取
10、-4，-3，-1，0，1，2。分别代入a 的表达式，故所求的正整数a 是 1，3，6，10。十 .利用配方法例 12. (第三届祖冲之杯竞赛题) 已知方程22(1)2(51)240axax有两个不等的负整数根,则整数 a 的值是 _. 解：原方程可变为222102240a xaxxx即222102521a xaxxx22(5)(1)axx5(1)axx得：1264,11xxaa当 a-1=-1，-2，-3，-6，即 a=0，-1，-2，-5 时， x1为负整数。但 a=0 时， x20； a=-5时,x1=2=-1 又 a-1 a=-2 。十一 .利用奇偶分析例 13.(1999 年江苏第14
11、 届竞赛题 )已知方程219990 xxa有两个质数根 , 则常数 a=_. 解：设方程的两个质数根为x1，x2( x1x2) 由根与系数的关系得x1+x2=1999. 显然x1=2,x2=1997,于是 a=21997=3994. 十二 .利用反证法例 14.不解方程 ,证明方程2199719970 xx无整数根证明 :假设方程有两个整数根,则+=1997, =1997,由第二式知 均为奇数 ,于是 +为偶数 ,但这与第一式相矛盾,所以 ,不可能都是整数. 假设方程只有一个整数根,则+不可能是整数, 也与第一式相矛盾,所以方程不可能只有一个整数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载根. 综上所述 ,原方程无整数根. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -