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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 跨考教育 数学教研室 一、选择题： 18 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 . （1）设cos1sin( )xxx-=，其中( )2x，则当时，0 x ( )x是（）（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x等价的无穷小（2）设函数由方程( )yf x=cos()ln1xyyx+-=确定，则2lim( )1nfn?-=?（）（A）（B）1（C）（D）21-2-（3）设函数sin ,0( )=2,2xxf xx ?
2、 ?，则（）0( )( )xF xf t dt=（A）x=是函数的跳跃间断点（B）( )F xx=是函数的可去间断点( )F x（C）在( )F xx=处连续但不可导（D）在( )F xx=处可导（4）设函数111,1(1)( )=1,lnxexf xxexx-+?-?，若反常积分1( )f x dx+收敛，则（）（A）2（C）20-（D）0220I 30I 40I （7）设矩阵A,B,C 均为 n 阶矩阵，若,BABC=则 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价清华牛人高数
3、笔记 免费提供 QQ807784058名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵与相似的充分必要条件为1111aabaa?2000b0000?（A）a0,b2=（B）为任意常数ba, 0=（C）0,2=ba（D）为任意常数ba,2=二、填空题： 9- 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . (9) 1ln(1)lim(2)xxxx
4、+-= (10) 设 函 数1( )1xtf x-=-e dt， 则( )yf x=的 反 函 数1( )xfy-=在处 的 导 数0y =0ydxdy= (11) 设 封 闭 曲 线L 的 极 坐 标 方 程 为cos3()66r=- ， 则L所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积为 (12) 曲线2arctanln1xtyt=?=+?上对应于的点处的法线方程为 1t = (13) 已知321xxyexe=-，22xxyexe=-，23xyxe= -是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，该方程满足条件00 xy=01xy=的解为y = （ 14 ） 设是 三 阶 非 零 矩 阵 ，
5、| A |为A的 行 列 式 ，为的 代 数 余 子 式 ， 若ijA(a )=ijAijaijijaA0(i, j1,2,3),_A+=则三、解答题： 1523 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （15）（本题满分10 分）当时，1 c0 x oscos2cos3xxx-?与为等价无穷小，求与的值。naxna（16）（本题满分10 分）清华牛人高数笔记 免费提供 QQ807784058名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
6、 - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 设是由曲线D13yx=，直线及(0 xa a=)x轴所围成的平面图形，,xyVV分别是绕Dx轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若y10yxV =V，求的值。a（17）（本题满分10 分）设平面内区域由直线D3 ,3xy yx=及8xy+=围成 .计算2Dx dxdy。（18）（本题满分10 分）设奇函数( )f x在 1上具有二阶导数，且,1-(1)1f=.证明：（I）存在0,1 （），使得( )1f=；（ II）存在0,1 （），使得( )( )1ff+=。（19）（本题满分11 分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
7、331(0,0)xxyyxy-+=（20） （本题满分11 分）设函数1( )lnf xxx=+，（I）求( )f x的最小值（II ）设数列nx满足1ln1nnxx+，证明limnnx存在，并求此极限. （21） （本题满分11 分）设曲线L的方程为211ln(1)42yxxxe=- ，（1）求L的弧长；（2）设是由曲线DL，直线1,xxe=及x轴所围平面图形，求的形心的横坐标。D（22） （本题满分11 分）设，当为何值时，存在矩阵使得10,101aABb?=?1?,a bCACCAB-=，并求所有矩阵C。（23） （本题满分11 分）设二次型()()(22123112233112233,2)fx xxa xa xa xb xb xb x=+，记。112233,ababab?=?（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT +；（II ）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型。22122yy+清华牛人高数笔记 免费提供 QQ807784058名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -