《2023年全国硕士研究生考试考研数学二试卷真题（含答案详解）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年全国硕士研究生考试考研数学二试卷真题（含答案详解）.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2 0 2 3年 全 国 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 数 学 二 真 题 试 卷【完 整 版】一、选 择 题：1 10小 题，每 小 题 5 分，共 5 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上。1.曲 线 y=xlne+彳）的 渐 近 线 方 程 为（）。A.y=x+eB.y=x+l/eC.y=xD.y=x 1/eI,x 0)o/、In M+f-A.尸(x)=)(x+1)cos x-sin x,x 0/、In(A/1+X2-x+1,x 0
2、B.F(x)=0C./、ln(Vl+2/(x)=V)(x+l)sinx+cos x,x 0/、ln(，l+.2+x)+l,xW0D,/(x)=)(x+l)sinx+cos x,x 03.设 数 列 x j,y j满 足 X=yi=l/2,xn+i=sinxn,yn+i=y；，当 n-8 时（）oA.Xn是 yn的 高 阶 无 穷 小 B.yn是 Xn的 高 阶 无 穷 小 C.Xn是 yn的 等 价 无 穷 小 D.Xn是 为 的 同 阶 但 非 等 价 无 穷 小 4.已 知 微 分 方 程 式 y+a y，+b y=0 的 解 在（一 8,十 8）上 有 界，则 a,b 的 取 值 范 围
3、 为（）。A.a 0B.a 0,b 0C.a=0,b 0D.a=0,b 0 x=2+|r|j5.设 函 数 y=f(x)由(确 定，则()oy=|r|sinrA.f(x)连 续，F(0)不 存 在 B.f(0)存 在，f(x)在 x=0处 不 连 续 C.f(x)连 续，r(0)不 存 在 D.r(o)存 在，r(x)在 x=o处 不 连 续 6.若 函 数-在 a=a()处 取 得 最 小 值，则 a()=()。.%(ln x f+In(in 2)B.-In(ln2)1C.In 2D.In27.设 函 数 f(x)=(x2+a)ex,若 f(x)没 有 极 值 点，但 曲 线 y=f(x)有
4、 拐 点，则 a的 取 值 范 围 是)oA.0,1)B.1,+8)C.1,2)D.2,4-oo)(A E、8.设 A,B 为 n 阶 可 逆 矩 阵，E 为 n 阶 单 位 矩 阵，M*为 矩 阵 M 的 伴 随 矩 阵，则=(I。B)O四-8*4*、0|A|B*0 忸|A*J忸|4“*A*、0忸-4*5*、0 M B J9.二 次 型 f(xi，x2,x3)=A.y)2+y22(X|+X2)2+(X1+X3)2 4(X2 X3)2 的 规 范 形 为()。B.C.D.yi-y zyi2+y22 4y32yi2+y22-y 3210.已 知 向 量(X 1=2,*=1,01=5,0)=0，右
5、 y 既 可 由 a1，a?线 性 表 示,也 可 由 与,J?线 性 表 示，则 y=()o,k R35,k w R7C.k 1,k w R二、填 空 题：11 16小 题，每 小 题 5 分，共 3 0分。请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上。1 1.当 x-*0 时，函 数 f(x)=ax+bx2+l n(l+x)与 g 仅)士,一 g:是 等 价 无 穷 小，则 a b=,【答 案】G+士 3【解 析】y=yj3-x2,由 弧 长 公 式 可 得 I=J,yfi+户/、A/4-X2CLX x=2sin，2 4 cos2 tdti-4=4 31+cos 2tdt=，3+
6、乃.1 3.设 函 数 z=z(x,y)由 e+xz=2 xy 确 定，则-dx14.曲 线 3x3=y5+2y3在 x=1对 应 点 处 的 法 线 斜 率 为;15.设 连 续 函 数 f(x)满 足 f(x+2)f(x)=x,J；/(x)d x=O，则 j/(x)d _ r=.三、解 答 题：17 22小 题，共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.(本 题 满 分 10分)设 曲 线 L：y=y(x)(x e)经 过 点(e?,0),L 上 任 一 点 P(x,y)到 y 轴 的 距 离 等 于 该 点 处 的 切 线 在 y 轴 上
7、的 截 距.(1)求 y(x)；(2)在 L 上 求 一 点，使 该 点 的 切 线 与 两 坐 标 轴 所 围 三 角 形 面 积 最 小，并 求 此 最 小 面 积.18.(本 题 满 分 12分)求 函 数 f(x,y)=xesy+x2/2 的 极 值.19.(本 题 满 分 12分)已 知 平 面 区 域。=1(x,y)|0 4 y W)二(1)求 D 的 面 积.(2)求 D 绕 x 轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体 积.20.(本 题 满 分 12分)设 平 面 有 界 区 域 D 位 于 第 一 象 限，由 曲 线 x?+y2x y=l,x?+y2x y=2与 直 线 y=
8、,y=0围 成，计 算-J-j d x d y.D+y21.(本 题 满 分 12分)设 函 数 f(x)在 a,a 上 具 有 2 阶 连 续 倒 数，证 明：(1)若 f(x)=0,则 存 在 卡(a,a)使 得/位)=,a)+f(一 切：(2)若 f(x)在(-a,a)内 取 得 极 值，则 存 在 昨(a,a),使 得 上 2 聂/一 一。)|.22.(本 题 满 分 12分)设 矩 阵 A 满 足 对 任 意 X1,X 2,X3均 有 A x2=也(1)求 A。(2)求 可 逆 转 矩 阵 P与 对 角 矩 阵 A 使 得 p iA P=A。X+工 2+入 32xl-x2+x3答 案
9、 及 解 析 一、选 择 题：1 10小 题，每 小 题 5 分，共 50分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上。1.【答 案】Bxln|c 4-x x【解 析】氏=-=lim lnfe+！=1,1 8%X B x X T 0 1 x-1 Jb=im(y-kx)=im xln|e+-x=lim x ln e+-一 1 8、XT8 I X-l)J X T 8 I X-l J1 x 1=lim xln 1+-=l i m-=i s e(x-l)x-8e
10、(x-l)e所 以 斜 渐 近 线 方 程 为 y=x+1/e.2.【答 案】D【解 析】当 x 0时，J/(x)d x=j(x+l)cosAdv=j(x+l)dsinx=(x+l)s in x 1=(x+l)sin x+cosx+C2原 函 数 在(-8,+o o)内 连 续，则 在 x=0处 lim Ini x+Vl+x2 l+C=C.,lim(x+lls in x+c o s x+C,=1+Csin xdxA-0-）所 以 C=l+C 2，令 Q=综 合 选 项，令 C=0,则 f3.【答 案】B【解 析】在（0,兀/2）中,X T 0+;则 C 1=l+C,故,I n j j l+x?
11、+x)+l+C,x 0zln(Vl+x2+x)+l,x 02x/?c2xM兀12 X”4 x U J 玉 U J 天 71故 Yn是 X(,的 高 阶 无 穷 小.4.【答 案】C【解 析】微 分 方 程 y+ay，+by=O的 特 征 方 程 为 X2+aX+b=0,当 A=a2-4b0时，特 征 方 程 有 两 个 不 同 的 实 根 储，加，则 从，为 至 少 有 一 个 不 等 于 零,若 G，C?都 不 为 零，则 微 分 方 程 的 解 y=e-5+G e-3 在（-8,+8）无 界：当 A=a?-4b=0时，特 征 方 程 有 两 个 相 同 的 实 根 储,2=2,a a若 C
12、2#0,则 微 分 方 程 的 解 了=。/+G/在（-8，+8）无 界：l4 b-a22当=a2-4b0.5.【答 案】C【解 析】当）0 时，卜=夕,=sin/+rcos/；y=rsinr dx 3当 tvo时,x=t dy _-sinZ-Zcosry=-tsint dx 1当 t=。时，因 为（。）=鸳 幺 噂 呼=。；工（。）=鸳 呼 中 所 以 P(0)=0.鸳/设 皿 泞（加 映 0 一 0,;所 以 叫/(x)=/(o)=o，即 r(x)在 x=o连 续.当 皿 时 因 为 口。）=吧 型?亚=粤 型 铲 r(0)-lim d=lim T i n-c o s r 二 XO X-0
13、 t所 以 f”(0)不 存 在.6.【答 案】A-KO【解 析】当 a0 时/()=-Jy 0,即 a 2-2-1-1由 九 一 4=-12+3-4-1-4 2+3=+7)(2 3)=0,得 人 的 特 征 值 为 3,7,010.【答 案】D【解 析】设 r=XCt+x2a2=yig+y202 则 X is+x 2 a y i“一 丫 2%=。T又(四 人,一 即 一 代)=2211-2-1、q 0 0 3、-5 0 0 1 0-1-9-1;、0 11故(X,x2,yP y2)T=C(-3,1,1,1)T,cR所 以 r=-c f1|+邛 2=c(1,5,8)T=c(1,5,8)T=k(1
14、,5,8)T,k R二、填 空 题：11 16小 题，每 小 题 5 分，共 30分。请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上。11.【答 案】一 2【解 析】Hm察 1 加+皿 心）x ex-c o s xax+hx2+x x2=lim-“f I1 4 X9+0(/X 7)I,l X 2+O(九 2二 I，可 得 a+l=0,b1/2=3/2,即 a=I,b=2,故 a b=-2.12.【答 案】H 713【解 析】y=73-%2,由 弧 长 公 式 可 得=+1 4-九 2dx x=2sin/234 cos2tdt=4 f 3 1+cos 2tdt=G+3 乃.Jo 313.
15、【答 案】一 3/2a a【解 析】两 边 同 时 对 X求 导 得：e：丝+Z+X竺=2-0 dx dx两 边 再 同 时 对 X求 导 得：e 里 包+e：+四+包+卷=0 dx dx 8x2 dx dx dx2将 x=l,y=l代 入 原 方 程 得 e Z+z=l=z=0代 入 式 得 e 丝 40 f 2 3 妤 zdx dx dx代 入 式 得 e-l+e-0+l+l+/1=O=B=3.dx2 dx2 dx2 214.【答 案】一 11/9【解 析】两 边 对 x 求 导：9x2=5y4 y，+6y2 y，当 x=l时，代 入 原 方 程 得 3=y5+2y3=y=l将 x=l,y
16、=l代 入 式 得 9=5y，+6y，=y 1（i，i）=9/11,所 以 曲 线 在 x=l处 的 法 线 斜 率 为-11/9.15.【答 案】1/2【解 析】J：/(无 比=1/(9+J：/(次=J：+J：f(x+2)dx=J：/(x)dx+J；/(x)+xdx=J：/(x 比+J；/(x 粒+J；加 Q(即 J；xdxo=0+-2_-2 116.【答 案】8【解 析】即 由 已 知 r(A)=r(A,b)W 3 V 4,故|A,b|=0|A0a11a0a2b11a11a01a01002+2-4=0,+2.(-广 c i111l.(-l)l+4 1aa2b1a00a211aa2ba2b1
17、1a故 1C l0=8.三、解 答 题：17 22小 题，共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。1 7.(本 题 满 分 10分)设 曲 线 L：y=y(x)(x e)经 过 点(e?,0),L 上 任 一 点 P(x,y)到 y 轴 的 距 离 等 于 该 点 处 的 切 线 在 y 轴 上 的 截 距.求 y(x)；(2)在 L 上 求 一 点，使 该 点 的 切 线 与 两 坐 标 轴 所 围 三 角 形 面 积 最 小，并 求 此 最 小 面 积.【解 析】(1)曲 线 L 在 点 P(x,y)处 的 切 线 方 程 为 Y-y=y，(X-
18、x),令 X=0,则 切 线 在 y 轴 上 的 截 距 为 yy，x,则 x=y y x,即 y，一 y/x=-1,解 得 y(x)=x(C I n x),其 中 C 为 任 意 常 数.又 y(e2)=0,则 C=2,故 y(x)=x(2In x).(2)设 曲 线 L 在 点(x,x(2-ln x)处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 所 围 三 角 形 面 积 最 小，此 时 切 线 方 程 为 Y x(2Inx)=(1 Inx)(X x).x令 Y=0,则*=-；令 X=0,贝 IJY=X.lnx-1故 切 线 与 两 坐 标 轴 所 围 三 角 形 面 积 为 s(x)=；xy X2
19、 lnx-1 2(lnx-l)则 S，(x)=x(21nx-3)2(lnx-l)2.令 S，(x)=0,得 驻 点 x=e*2.当 eVxVe?72时，Sz(x)e3 时，Sz(x)0,故 S(x)在 x=e30处 取 得 极 小 值，同 时 也 取 最 小 值，且 最 小 值 为 S(e3/2)=e3.18.(本 题 满 分 12分)求 函 数 f(x,y)=xe0sy+x2/2的 极 值.-f-ecos.+%=0【解 析】1、/、，得 驻 点 为：(一 k Q,其 中 k 为 奇 数；(-e,ku),其 中 k 为/W i)=0fxx=1偶 数.则 A=e 叩(si”)8=xecosv s
20、in2 y+(-cos y)A=代 入(-e1kn),其 中 k 为 奇 数，得 B=&=0C=f：y=e-2ACB2 0,故(一 e 1,kn)不 是 极 值 点;A=1代 入(-e,kn),其 中 k为 偶 数，得 8=/：=(),ACB)。且 A 0,故(一 e,尿)是 极 小 值 点,C=f；y=e2f(e kit)=e?/2 为 极 小 值.19.(本 题 满 分 12分)已 知 平 面 区 域.T l+炉 _(1)求 D 的 面 积.(2)求 D 绕 x轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体 积.【解 析】(1)由 题 设 条 件 可 知：S=+i dr=-.X dx Jl+x1j
21、 X27177=+00T ty-KO=lndr=-ln!-2 t+dx=0WC=71X2(l+x)2(2)旋 转 体 体 积 V=j20.(本 题 满 分 12分)设 平 面 有 界 区 域 D 位 于 第 一 象 限，由 曲 线 x?+y2xy=l,x?+y2xy=2与 直 线 y=6*，y=0围 成，计 算 2-D Jx+y【解 析】本 题 目 采 用 极 坐 标 进 行 计 算 2 2JJ 3*2+y2drdy二 尸 d外 卜 加 尸-.0 后 短 广(3 c o s。+sin-。)rd0=Jfo J l-sin 0cos0-rd 0(3cos2 6+sin?6)In rY l-sinc
22、osd0=Ml-sin Seos 8lnV2d61I冗 111 r-1 r-1=-l n 2(37-=l n 2|37-dtan2 J o(3+tan 6).cos 6 J o(3+tan。)-l n 2.2 621.(本 题 满 分 12分)设 函 数 f(x)在 a,a 上 具 有 2 阶 连 续 倒 数，证 明：(1)若 f(x)=0,则 存 在 g(-a,a)使 得/()=*(a)+a)；(2)若 f(x)在(-a,a)内 取 得 极 值，则 存 在 昨(-a,a),使 得 2 一 一 a)|.【解 析】(1)证 明：力=0)+/(0)彳+4=/，(0卜+1，口 介 于 0 与 X 之
23、 间,则/()=/(0)(。)+、a/(-a)=r(O)(-a)+2,-。2+得：“。)+/(-。)=5(7)+/(%)又 F(x)在 112，nJ上 连 续，则 必 有 最 大 值 M 与 最 小 值 m,即 m W F(m)W M；mWf”(屯)W M；从 而+2由 介 值 定 理 得：存 在 自 6 山，n/u(-a,a),有/(7)+/(%)=/(/,代 入 得：9f(a)+f(-a)=a2 r()即/,.=/()+:f(a(2)证 明：设 f(x)在 x=x()e(a,a)取 极 值，且 f(x)在 x=x()可 导，则？(xo)=0.又/(力=/(%)+尸(%)(%-与)+4(工
24、一 人)2=*0)+智。一%)2,丫 介 于 0 与*之 间，则/(-)=/()+/1)(-a-Xoy,-%0/(a)/(x0)+fea-xo)2,O/2 a从 而|/(a)-a)|=g(ar()2 7(%)-/(%)又(X)I 连 续，设 乂=0%+%2+2x,-x2+x37(1)求 A(2)求 可 逆 转 矩 阵 P 与 对 角 矩 阵 A 使 得 P-AP=A.口=2/%+9、=2%一 毛+毛 工 2 一 七，【解 析】(1)因 为 A 毛 1-111 丫%、1 W 对 任 意 的 X1,x2,x3均 成 立，所 以 rl 1 1、A=2 110 1 f(2)T.AE-A=2-1-1-1
25、-12+1=(%T)Z+1-1-1/L+1+2-1-1-1 2+1-2 2+10-1所 以 A 的 特 征 值 为=-2,-3(4-1)(分+2入 2 2，A，3=-1-P/l)-2(/1+-1.1 0 0、2)=(A+2)(2-2)(2+1)=0N=-2 时，A.(-2、。1-1-1 TT-L-1 叫 0 1 1、0 0 0；1 0 4),可 得 特 征 向 量|=(0,-1,1)入 2=2 时,4 E A-20 23-1-1 3；-1-r0 10 0，2-3oo r,可 得 特 征 向 量。2=(4,3,E九 3=1 1 时，A3E A=-2、0-1-1 o0、01 00 0，可 得 特 征 向 量 3=(1,0,-2)0令 尸=(四,&2,013)=-1,14310 0、2 00-1,