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1、抛物线及其标准方程教学设计第1页共5页抛物线及其标准方程一、教学目标1知识目标： 掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；掌握焦点、焦点位置与方程关系；进一步了解建立坐标系的选择原则.2. 能力目标： 使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。二、教学过程（一） 、复习引入问题 1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率e的取值范围各是什么？平面内，到一个定点F 的距离和一条定直线l的距离的比是常数e 的轨迹，当 0e1时是椭圆，当e1 时是双曲线。自然引出问题：那么，当1e时，轨迹是什么形状的曲线呢 ? （二） . 创设情境问题 2、用制作好的教具实验：三角板ABC 的直
2、角边 BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点F， 并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点C的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板AC 在定直线 l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？设计意图： 从实际问题出发，激发学生的求知欲，将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容师生活动：(1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗? (2) 学生不一定能正确抽象出来， 教师可适当引导： 当笔尖滑动时，笔尖到定点 F 的距离等于到定直线l 的距离，在满足这样条件下， 笔尖画出的图形。 并抽象数学问题：（三） 、新课
3、讲授：（1）抛物线定义： 平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线， F到直线 l 的距离简称焦准距。特别提醒：定点F 在定直线 l 外。 （并假设 F在直线 l 上）A FKNM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 抛物线及其标准方程教学设计第2页共5页换种说法： 平面内，到一个定点 F 的距离和一条定直线l的距离的比是常数1 的轨迹
4、，叫做抛物线。归纳总结： 平面内，到一个定点 F 的距离和一条定直线l的距离的比是常数e 的轨迹有三种曲线：椭圆、抛物线、双曲线，它们统称为圆锥曲线 。思考题：一个动点),(yxP满足下列条件54-3)1(22yxyx则动点 P的轨迹是（） A圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线师生活动： 教师引导学生将抽象的代数语言翻译成几何语言（2）抛物线的标准方程类比椭圆、双曲线标准方程的推导，抛物线的标准方程又如何推导？方程有什么特点？设计意图： 利用类比的思想寻求抛物线标准方程的推导方法（利用定义来推导），并巩固复习建系、列方程的方法步骤（建、设、限、代、化 ） 。师生活动： 利用求曲线方程的方法步
5、骤求抛物线的标准方程。求解过程学生若有困难老师可适当引导，师生共同完成求解过程：如图所示，利用 对称性 建立直角坐标系系，设|KF|= p （ p 0）, 那么焦点 F 的坐标为)0 ,2(p，准线 l 的方程为2px，设抛物线上的点),(yxM，则有|2|)2(22pxypx化简方程得022ppxy方程022ppxy叫做抛物线的标准方程问题 3 椭圆、双曲线的标准方程不止一个， 那么抛物线的标准方程呢？还有其它形式？该如何推导？设计意图：通过复习初中最基本的抛物线方程2xy和2xy，让学生观察并总结出开口方向向左、向上和向下另三种情况及其对应得标准方程师生活动： 学生回答上述问题 ,老师补充
6、，师生共同得出：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，除上述一种外还有三种不同的情况，所以抛物线的标准方程也相应有另外三种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表xy(1)MKFOD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 抛物线及其标准方程教学设计第3页共5页图形xyOFlxyOFl开口方向X轴的正方向X轴的负方向Y轴的正方向Y轴的负方向方程)0(22ppxy)0
7、(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2py观察总结：抛物线的标准方程的特点 (1) 都过原点； (2) 对称轴为坐标轴、焦点在对称轴上、准线垂直于对称轴；(3) 焦准距为 p，半焦距等于等于一次项系数绝对值的41，即242pp（4）一次项的字母为对称轴，二次项单独在某一边，且系数为1. （5）一次项系数正负决定图像开口方向（四） 、精讲范例例题 （1）已知抛物线标准方程是xy4-2，作图并求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，21） ，求它的标准方程设计意图： 让同学们熟悉抛物线标准方
8、程的形式和特点，进一步理解抛物线标准方程的本质 .师生活动：（1） 在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出 p 即可；（2）抛物线标准方程过原点且对称，因此结合图像、准线和焦点坐标求出p ，问题即解解析： （1）xyp2-2则2p，焦点坐标是（ -1，0）准线方程是 x1（2）焦点在 y 轴正半轴上，2p21，所以抛物线的标准方程是yx2xyOFlxyOFl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - -
9、- 抛物线及其标准方程教学设计第4页共5页变式练习：1、已知抛物线的标准方程风别是： （1）26xy， （2）2ayx（0a）求它们的焦点坐标和准线方程特别提醒：一定先将抛物线化为标准方程！2、求下列抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是)23, 0(；(2)抛物线的准线方程为1y；(3)过点)1 , 4(设计意图：让学生通过方程形式辨别抛物线的位置，进而求出焦点坐标和准线方程 或通过焦点坐标和准线方程辨别抛物线的开口，写出抛物线方程师生活动： 先让学生自己分析解答，然后抽取部分学生检查解答过程，若有问题老师适当补充 :解此题的关键是（ 1）会根据示意图确定属于哪类标准形式， （2）想办法求出参数
10、 p 的值（五） 、小结抛物线的定义、标准方程、以及与图像的联系；解抛物线问题时，要做到先“定位” ，后“定量”圆锥曲线的统一定义。（六） 、作业（1） 教材120P练习 2、3、4、5. （2） 小练习（七） 、强调： （1）先由焦点位置或准线方程确定抛物线标准方程的类型；（2）一定先将抛物线化为标准方程三、兴趣培养：圆锥曲线统一定义的背景和应用（1） 统一定义：用一个平面去切两个共点且对称的圆锥，不同的切法可切出这三个曲线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 抛物线及其标准方程教学设计第5页共5页（2）应用：吊桥、电筒名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -