《2022年抛物线及其标准方程教案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年抛物线及其标准方程教案.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.4.1抛物线及其标准方程三维目标1.知识与技能掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线2过程与方法掌握对抛物线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法 坐标法 提高学生观察、类比、分析和概括的能力3情感、态度与价值观通过本节的学习， 体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想重点难点重点： (1)抛物线的定义及焦点、准线；(2)抛物线的四种标准方程和p 的几何意义难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过
2、程中化解教学难点，突出教学重点(教师用书独具) 教学建议本节课主要采用启发引导法在整个教学过程中，引导学生观察、分析、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，培养学生学习的兴趣，也充分体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念，同时， 采用多媒体辅助教学，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，突出知识的形成过程，符合学生的认识规律，也可以增加趣味本节课从引入课题开始，尽可能让学生参与知识的产生及形成过程，充分发挥学生的主精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - -
3、- - - - - - 体作用， 使学生全方位地参与问题结论的得出，教师只起到点拨作用这样做增加了学生的参与机会， 提高了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 教学流程创设问题情境，引出问题：抛物线上的点应满足什么条件？?引导学生结合二次函数图象，比较、分析导出抛物线的定义以及焦点和准线的概念.?类比椭圆、双曲线标准方程的导出过程，推导抛物线的四种标准方程.?
4、通过例 1及其变式训练，使学生掌握求抛物线标准方程的方法.?通过例 2及其变式训练，使学生掌握抛物线的概念的理解与应用.?在学会求抛物线标准方程的前提下，完成例3及其变式训练，从而解决抛物线的实际应用问题.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.掌握抛物线的定义及其标准方程(重点、难点 ) 2会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程(易错点 )抛物线的定义【问题导思】图 241 如图 241，把一根直尺固定在图板内直线l 的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘， 再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点A，截取绳子
5、的长等精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线，思考下面两个问题：1笔尖 (设为动点 M)在运动过程中满足的条件是什么？【提示】笔尖到直线l 的距离和到定点F 的距离相等2此曲线是否为椭圆或一支双曲线？为什么？如果不是，猜想它是什么？【提示】不是，因为它不满
6、足椭圆或双曲线的定义，抛物线平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 抛物线的标准方程【问题导思】抛物线的开口方向不同，所对应的方程不同，抛物线有几种不同形式的方程？【提示】随开口方向的不同，抛物线有四种形式的方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(p2，0)xp2y2 2px(p0)(p2，0)xp2x22py(p0)(0，p2)yp2x2 2py(p0)(0，p2)yp2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -
7、 - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点 M(6,6)；(2)焦点 F 在直线 l：3x2y60 上【思路探究】(1)过点 M(6,6)的抛物线有几种情况？(2)所求抛物线的焦点是什么？有几种情况？【自主解答】(1)由于点 M(6,6)在第二象限，过M 的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x 轴上，设其方程为y2 2px(p0)，将点 M(6,6)代入，可得 36 2p(6)， p3. 抛物线的方程为y26x. 若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x22py(p0)，将点
8、 M(6,6)代入可得， 36 2p6，p3，抛物线的方程为x26y. 综上所述，抛物线的标准方程为y26x 或 x26y. (2)直线 l 与 x 轴的交点为 (2,0)，抛物线的焦点是F(2,0)，p22，p4，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 抛物线的标准方程是y28x. 直线 l 与 y 轴的交点为 (0， 3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，p23，p6，抛物线的标准方程是x2 12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是
9、y28x 或 x2 12y. 1求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数 p 的值；(3)确定抛物线的标准方程2当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax 或 x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)焦点在直线x3y150 上；(2)开口向下的抛物线上一点Q(m，3)到焦点的距离等于5. 【解】(1)直线 x3y150 与 x 轴交点 (15,0)，与 y 轴交点 (0， 5)，抛物线方程为： y2 60 x 或 x220y. (2)Q(m， 3)到焦点的距离等于5. Q 到准线的距离也
10、等于5. 准线：y2，即p22，p4. 即：抛物线标准方程为：x2 8y. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 抛物线定义的应用已知点 A(3,2) ，点 M 到 F(12，0)的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点 M 的轨迹方程；(2)是否存在M，使 |MA|MF|取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由【思路探究】(1)根据“动点 M 到 F 的距离比它到y 轴的距离大12”你能得出动点M到 F 的距
11、离与它到哪条直线的距离相等？M 的轨迹是什么图形？(2)怎样通过抛物线的定义对|MA|MF |进行转化？ M 在什么位置时该式取得最小值？【自主解答】(1)由于动点 M 到 F(12，0)的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F(12，0)的距离比它到直线l：x12的距离相等由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F为焦点， l 为准线的抛物线，其方程应为y22px(p0)的形式，而p212，所以p1,2p2，故轨迹方程为y22x. (2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF|等于点 M 到其准线l 的距离|MN|，于是 |MA|MF|MA|MN|，所以当A，M，N 三点共线时，|MA|M
12、N|取最小值，亦即|MA|MF |取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M(x0,2)代入抛物线方程得x02，即 M(2,2)1根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题2本题求解两点间距离和的最小值，可以用抛物线的定义进行转化，再化折线为直线解决问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 已知点 P是抛物线y22x 上的一个动点，则点P 到
13、点 A(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为() A.172B3C.5D.92【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点P 到准线 x12的距离 d|PF|，易知点 A(0,2)在抛物线 y22x 的外部，连结 AF 交 y22x 于点 P，欲使所求距离之和最小，只需A，P，F 共线，其最小值为|AF|0122 202172. 【答案】A 抛物线的实际应用河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8 米，一小船宽4 米，高 2 米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【思路探究】
14、建系 设方程 求方程 求出相关量 解决问题【自主解答】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2 2py(p0)，由题意，将B(4， 5)代入方程得 p85，抛物线方程为x2165y. 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为AA，则 A(2，yA)，由 22165yA，得 yA54. 又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则 h|yA|342(米)，即水面上涨到距抛物线拱
15、顶2 米时，小船不能通航1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型， 通过数学语言 (文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程(2)利用已求方程求点的坐标如图 242 所示，图 242 水池中央有一喷泉，水管的长|OP|1 m，水从喷头P 喷出后呈抛物线的形状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，点 P 距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到个位 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
16、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【解】 如图所示，建立平面直角坐标系设抛物线的方程为x2 2py(p0)由题意得 P(1， 1)，p12，故抛物线的方程为x2 y. 设 B(x， 2)，则 x2，|OB|12. 水池的直径为2(12)5(m)，即水池的直径至少应设计为5 m. 忽略对焦点位置的讨论致误顶点在原点，焦点在x 轴上，过焦点作垂直于x 轴的直线交抛物线于A，B 两点， AB 的长为 8，求抛物线的方程【错解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，因此设所求抛物线的方程为y22px(p0)因为
17、 |AB|2p8，所以所求抛物线的方程为y28x. 【错因分析】错解中只考虑到焦点在x 轴正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上，因此漏解【防范措施】抛物线有四种标准方程，每一种所对应的焦点与准线都不同，因此，在求抛物线的方程时，要仔细考虑各种情况，以免因漏解而失分【正解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，因此设所求抛物线的方程为y22ax(a0)因为 |AB|2a|8，所以 2a 8. 故所求抛物线的方程为y2 8x. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18
18、 页 - - - - - - - - - - 1利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题2在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形( 抛物线焦点位置) 定量 ( 参数p的值 ) ”的程序求解 .1若动点 P 到定点 F(4,0)的距离与到直线x4 的距离相等，则P 点的轨迹是 () A抛物线B线段C直线D射线【解析】动点 P 的条件满足抛物线的定义【答案】A 2抛物线 x2 16y 的焦点坐标是 () A(0， 4) B(0,4) C(4,0) D(4,0)
19、 【解析】p24，焦点在 y 轴上，开口向下，焦点坐标应为(0，p2)，即 (0， 4)【答案】A 3抛物线 y2x2的准线方程为 _【解析】化方程为标准方程形式为x212y，故p218，开口向上， 准线方程为 y18. 【答案】y184抛物线y2 2px(p0)上有一点 M 的横坐标为 9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【解】设焦点为 F(p2，0)，M 点到准线的距离为d
20、，则 d|MF |10，即 9p210， p2，抛物线方程为y2 4x. 将 M( 9，y)代入抛物线的方程，得 y 6. M 点坐标为 (9,6)或(9，6)一、选择题1抛物线 x24y 上一点 A 的纵坐标为4，则点 A 与抛物线焦点的距离为() A2B3C4D5 【解】抛物线准线y 1，由抛物线定义知，点A 到焦点的距离等于到准线的距离为 5. 【答案】D 2已知抛物线y22px(p0)的准线与圆 (x3)2y216 相切，则p 的值为 () A.12B1 C2 D4 【解析】由抛物线的标准方程得准线方程为xp2. 准线与圆相切，圆的方程为(x3)2y216， 3p24，p2. 【答案】
21、C 3(2013 海口高二检测 )焦点在 y 轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 抛物线的标准方程为() Ay28xBx28yCy2 8xDx2 8y【解析】设抛物线方程为x22py(p0)，A(m,3)到焦点的距离为5，p23 5，p4，抛物线为 x28y. 【答案】B 4(2013 济南高二期末 )设抛物线 y28x 的焦点为F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为
22、垂足如果直线AF 的斜率为3，那么 |PF| () A4 3 B8 C8 3 D16 【解析】由抛物线定义得|PF|PA|，又由直线AF 的斜率为3可知，PAF60 ，所以PAF 是等边三角形，即|PF|AF|4cos 60 8. 【答案】B 5已知 F 是抛物线 y2x 的焦点， A、B 是该抛物线上的两点，|AF| |BF| 3，则线段AB 的中点到 y 轴的距离为 () A.34B1 C.54D.74【解析】如图，设AB 中点为 P，分别为 A，B，P 向准线x14作垂线，垂足分别为 A ，B ，P. 则|AA|AF|，|BB|BF|，于是 |PP|AA|BB|2|AF|BF|232.
23、故 P 到 y 轴的距离为 |PP|14321454. 【答案】C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 二、填空题6(2013 金乡高二检测 )抛物线 y1ax2(a0)的焦点坐标为 _【解析】抛物线 y1ax2的标准形式为x2ay，故焦点在y 轴上，坐标为 (0，a4)【答案】(0，a4) 7(2013 三明高二检测 )以双曲线x24y251 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为_【解析】由x24y251知 a
24、24，b25， c2a2 b29，双曲线右焦点为(3,0)，依题意，抛物线的焦点F(3,0)，p23，p6，抛物线方程为y212x. 【答案】y212x8对标准形式的抛物线，给出下列条件；焦点在 y 轴上；焦点在x 轴上；抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210 x 的是 _(要求填写适合条件的序号) 【解析】抛物线 y210 x 的焦点在 x 轴上，满足， 不满足； 设 M(1，y0)是 y210 x上一点，则 |MF |1p2152726，所以不满足；由于抛物线y2 10 x 的焦点为 (52，0)，过该焦点
25、的直线方程为yk(x52)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则 k 2，此时存在，所以满足【答案】三、解答题9求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x24y22 1 上的抛物线的标准方程【解】由题意可设抛物线方程为y22mx(m0)，则焦点为 (m2，0)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 焦点在双曲线x24y221 上，m2441，求得 m 4，所求抛物线方程为y28x 或 y2 8x. 10某隧道横断面由抛物线及矩形的三
26、边组成，尺寸如图243所示， 某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 米，车与箱共高4.5 米，问此车能否通过此隧道？说明理由图 243 【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(3， 3)，A(3，3)设抛物线方程为x22py(p0)，将 B 点的坐标代入，得9 2p (3)， p32，抛物线方程为x2 3y( 3y0)车与箱共高 4.5 m，集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m. 设抛物线上点D 的坐标为 (x0， 0.5)，D的坐标为 (x0， 0.5)，则 x20 3(0.5)，解得 x03262. |DD|2|x0|63，故此时车不能通过隧道11在抛物线y x2上求一点
27、 M，使 M 点到焦点F 的距离与到点A(1， 2)的距离之和最小精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【解】由题意知A 在抛物线内部，如图，设M 是抛物线上任意一点，l 是抛物线的准线，过 M 作 MM1l，垂足为 M1，过 A 作 AA1l，垂足为A1，且交抛物线于点P，|MA|MF | |MA|MM1|AA1|PA|PA1|PF|PA|. 即 P 点为所求，把x1 代入得： y 1，故 P(1， 1)精品资料 - - - 欢迎
28、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - (教师用书独具) 设圆 A 的方程为x2y210 x0，求与 y 轴相切，且与已知圆A 相外切的动圆圆心M的轨迹方程【自主解答】如图所示，圆A 的方程可化为(x5)2 y2 52，所以 A(5,0)，设直线l的方程为 x 5. 结合已知条件，得动圆圆心M 到定点 A 和定直线 l 的距离相等，所以动圆圆心M 的轨迹为抛物线根据抛物线的定义可得其轨迹方程为y220 x(x0)又由于圆 M 与 y 轴相切，若圆 M 与 y
29、轴切于原点， 则必与圆A 相切根据外切的条件，得 M 的轨迹方程为y0(x0)，当 x0 时，圆 M 与圆 A 内切，不符合条件所以动圆圆心M 的轨迹方程为y220 x(x0)或 y0(x0)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线 C1D1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是() 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - A直线B圆C双曲线D抛物线【解析】在正方体ABCDA1B1C1D1中， C1D1平面 BB1C1C，连结 PC1，则 PC1C1D1，所以 P、C1两点间的距离PC1即为 P 到直线 C1D1的距离所以在平面BB1C1C 内，动点 P 到定点 C1的距离等于到定直线BC 的距离根据抛物线的定义，知点P 的轨迹所在的曲线是以点C1为焦点，以直线BC 为准线的抛物线【答案】D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -