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1、 2015届硕士专业学位研究生学位论文 学号： 2013300152 基于数学史的高中导数教学设计研究 论文作者： 朱晓辉 指导教师： 陆书环教授 培养单位： 数学科学学院 专业学位类别： 教育硕士 专业学位领域： 学科教学（数学 ） 2015年 5月 10日 ， 学位论文原创性声明 f“ 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在曲阜师范大学攻读硕士专业 学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 除文中已经注 明引用的内容外，本论文芣包含其他个人（或集体）已经发表或撰写过的研 究成果。其他个人和集体对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名 : 日 期 : 学位
2、论文使用授权声明 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属 曲阜师范大学。学 校有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文 的部分或全部内容，可以采用影印、复印等手段保存、汇编本学位论文。学 校可以向国家有关机关或机构送交论文的电子和纸质文档，允许论文被查阅 和借阅。（保密论文在解密后遵守此规定 y 保密论文注释：本学位论文属于保密论文，保密期限为 .年。 导臓名 : K 7 曰 期： 作者签名 : 曰期： 微积分的诞生是数学发展史上一个划时代的成就，为研究函数和变量提供了重要的方 法和手段。二十一世纪以来，微积分教学进入一个新的时期，世界各国纷纷将微积分引入 高中
3、数学课程。 2003年，我国教育部颁发了普通高中数学课程标准（实验 )，将微积分 列为高中数学的选修课程。但是，新发行的教科书中并没有按照 “ 极限一一导数一一积分 ” 的传统方式编写，淡化了极限知识的学习，将导数作为一种特殊的极限（增量比的极限） 来处理，直接通过反映导数思想和本质的具体实例（如瞬时速度 ） 引导学生认识和理解导 数的概念。 HPM主要研究如何运用数学史促进数学教育，是数学教育研宄的重要组成部分。目前 数学教育专家都己经意识到数学史在数学教育中的重要性，不仅能促进学生课堂学习效 率，还可以增加学生的数学史与数学文化方面的知识，是新课程改革的有效实践。 本文中，笔者将基于 HP
4、M的相关研宄探讨在高中导数教学中融入数学史的教学设计。 首先，由于导数是微积分的重要组成 部分，要从历史的角度提高导数概念教学的效率，将 导数概念的产生和发展过程有效地渗透于导数教学实践，必须对微积分的发展历史进行系 统地了解，全面认识从近半个世纪的酝酿到牛顿、莱布尼茨创立微积分，直到十八世纪柯 西等人将微积分严格化的过程。其次，调查研宄高三学生导数学习的现状及理工类大一学 生微积分学习的现状，了解高中导数的学习对于大学微积分的学习是否有影响。对高中数 学教师和高校高等数学教师进行访谈，了解教师们关于这部分知识教学所持有的观点。最 后，根据调查研宄，给出融入数学史的导数概念的教学设计，并在课堂
5、上 实施检验其效果 , 其目的在于为中学教师在数学教学中融入数学史提供参考与借鉴。 关键词：数学史与数学教育微积分导数高中数学教学设计 Abstract The birth of calculus is regarded as a mathematical achievements which is an e p o c h - m a k i n g product.Calculus provides an important method and means for functions and vari a b l e s . S i n c e the 21st century,calc
6、ulus teaching has entered a new time,and the calculus is intr o d u c e d i n t o the h i g h school mathematics course in the nations of the world.In China ,the ministry of e d u c a t i o n promulgated the ordinary high school mathematics curriculum standard (experim e n t ) in 2003.The calculus i
7、s included in the curriculum standard as one of the elective course.However,the high school mathematics curriculum standard in the course de s i g n in our country did not follow the content of limit,derivative, integral calculus trad i t i o n a l s c h e d u l i n g order, but rather when there is
8、 no limit on the basis of learning in general, the d e r i v a t i v e as a special limit (increment ratio limit) to deal with, reflect directly through the d e r i v a t i v e t h o u g h t and the nature of the concrete examples (such as instantaneous speed) to guide s t u d e n t s to recognize a
9、nd understand the concepts of derivative. HPM mainly studies how to promote education of mathematics in the mathemat i c a l history,which is the main component of mathematics education research. The cur r e n t mathematics education researchers are aware of the importance of history of mathematics
10、in mathematics education.Not only it can promote students classroom learning eff i c i e n c y , b u t a l s o can increase the students mathematics history and mathematics cultural knowle d g e , w h i c h is t h e effective practice of the new curriculum standard. In this paper, based on the theor
11、y of HPM, I will probe into the history of mathematics teaching design of the derivative in the high school. Derivative is an importKeywords： Internet Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics(HPM), calculus, derivative, high school mathematics curriculum, the t e a c
12、h i n g design 目录 . I Abstract . II m-#会者 i仑 . i 第一节数学史与数学教育 （ HPM)的产生与发展 . 1 第二节导数在新课程改革中的地位 . 2 第三节数学史融入导数教学的重要性 . 3 第二章研宄目的及问题 . 5 第一节研宄目的 . 5 第二节研宄的问题 . 5 第三章数学史融入数学教学的理论与相关研宄 . 6 第一节融入数学史的教学模式 . 6 第二节教学设计的相关理论 . 7 第三节数学史融入导数教学设计的相关研宄 . 8 第四章导数及其教学的历史分析 . 10 第一节微积分的起源与发展 . 10 第二节我国导数的教学历史发展 . 13
13、 第五章导数教与学现状调查 . 16 第一节调查目的及对象 . 16 第二节数据处理及分析 . 16 第六章教学设计与实施 . 20 第一节教学设计 . 20 第二节实施结果与分析 . 27 第七章教学启示 . 28 #考 t献 . 29 P付 S . 31 附录一高中生导数学习情况调查问卷 . 31 附录二大一学生微积分学习情况调查问卷 . 33 附录三高中教师访谈提纲 . 34 至文 i射 . 35 第一章绪论 第一节数学史与数学教育 （ HPM)的产生与发展 为深入研宄高中导数教学中融入数学史的策略、方法及其有效性，首先对数学史与数 学教育 （ HPM)的产生与发展简要概述。 HPM 的
14、全称为 International Study Group on Relations between History and Pedagogy of Mathematics,中文翻译为数学史与数学教学关系国际研宄小组 。一 般地，我们称 HPM为 数学史与数学教育。 HPM最初是在 ICME2中成立的。 ICME 的全称为 International Conference of Mathematics Education,即国际数学教育大 会。 1969年于法国里昂召开第一届，称为 ICME1， 1972年于英国艾克赛特召开第二届，称 为 ICME2， 之后每四年召开一次。 ICME是国际性的
15、数学教育会议，与会的教育专家们通常提出丰富的关于数学教育研 究的课题及相应的理论与实践研宄，因此，每一届的 ICME都包含了当今世界上最先进的 数学教育理论及实践研宄。 HPM于 1972年第二届国际数学教育大会成立，之后每届的 ICME都有 HPM的相关课题及报告，了解 HPM的研宄现状，可从 ICME发布的研宄卷中 获取相关信息。距今最近的一次 ICME于 2012年在韩国首尔召开，简称 ICME12。 笔者就 ICME12发布的研宄卷中关于 HPM的论文加以分析研宄，作为 HPM研宄现状的理论依据。 通过分析，笔者发现很多教育专家都在关注 HPM,他们的关注点主要有：融入数学史教学 的价
16、值；数学教师数学史知识的储备和培养；在教科书中穿插数学史料；如何在课堂中融 入数学史。 14 数学教育专家主要从理论与实践两个方向探宄在教学中融入数学史的价值，一方面依 据教育理论探宄其价值，另一方面则通过己有的课堂教学实例进行分析。 一些数学教育专家对职前教师（或师范学生 ） 做了相应的调查研究： Jankvist认为数 学史是数学教育中的 “ 目标 ” 和 “ 工具 ” ， 6MustafaAlpaslan和 CigdemHaser的研究则 表明职前教师更倾向于将数学史作为目标而非工具，在这些人的教学中仅仅是对数学史进 行简单的说明。 9Bj0m Smestad对职前教师进行了六个小时的数
17、学史课程的培训，发现 这些职前教师对数学史了解甚少，他们感觉将数学史与将来的教学设计联系起来也是非常 困难的，但是这些职前教师对数学史所持有的态度是积极的。 4JeffreyJ. Wanko表示在大 学中开设数学史的课程对师范生是有利的，通过这种学习，师范生可以从历史的视角来理 解数学问题，在将来的教学设计时也能够融入历史的元素。 7 在数学教科书中体现数学史同样引起了关注 ， Xinsheng Lu和 Shan Liu在他们的研究 中 表示，新课程改革背景下，教育者应该尽可能的丰富教材的内容，从数学史的视角来审 视这些数学教材。 11: 数学史对数学教学的重要作用己得到教育界的普遍认同。然而
18、， HPM教学尚未大面积 地走进课堂，这也使数学教育界面临尴尬的境界。美国国家研究理事会 （ USANational Research Council，简称 NRC)在 2006年的一项研究中指出，教育理论研究与教学实践的 明显脱节是普遍性的问题。由于教育研宄专家与一线教师的工作环境不同，两者之间又缺 乏良好的沟通，导致教育研宄理论不能及时地应用于教学实践。同时，理论不能得到实践 的检验，便无法进行相应的改善。理论与实践脱节，是数学史难走进课堂的重要原因。虽 然 HPM的研宄在数学教育研宄中受到越来越多的重视，数学教育专家的研宄成果也在不 断展现，但一线教师缺乏相关理论知识与数学史素养使得数学
19、史融入课堂教学止步不前， 即使有些教师在课堂中加入数学史的内容也只是给学生讲讲概念的发展过程，或是说说相 关数学家的趣闻，并不能将数学文化精髓融入到课堂中。这种授课方法虽然是数学史融入 课堂的应用，也起到了一定的作用， 如学生提高了兴趣或是课堂气氛活跃，但学生只是把 这种历史当成了听故事，仅仅对历史故事内容感兴趣，而不能体会其中的思想，因而对学 生理解数学概念的帮助并不是很大。 15 第二节导数在新课程改革中的地位 2001年我国开始进行新一轮的课程改革，本次课程改革的总目标是全面贯彻党的教育 方针，全面实施素质教育；其核心理念或是最高宗旨为一切为了全体学生的全面个性发展 ; 取消原有的教学大
20、纲，由课程标准代替，这也是 “ 以学生为本 ” 的体现。普通高中数学 课程标准（实验 ) （ 2003年，下文简称课程标准 ） 中明确指出： “ 微积分的创立是数学 发展中的里程碑，它的发展及应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数 提供了重要的方法和手段 。 ” 14如果要了解现代数学，就必须掌握微积分的相关知识。 微积分在物理、化学、生物、地理、经济等领域中都有着广泛和重要的应用，微积分的基 本思想己经渗透到社会生活的各个方面，是现代人应该具备的一种数学素养。 在高中课程中设置微积分内容符合新课程改革的理念，对于发展学生的数学思维具有 促进作用，可以这样说，学习过微积分内容的学
21、生拥有较强的思维能力，无论他们高中毕 业后是进入高校继续学习还是步入社会工作，微积分知识的学习对他们都是有益处的。微 积分蕴含着重要的数学思想方法，学生通过认识现实世界中的变化率问题，感悟微积分作 为一种强有力的工具在学科和社会中的应用，进一步认识数学的价值，从而促进其素质的 提高。在微积分教学中，教师通过教授求解函数的单调性、最大（小）值、极大（小）值 等一些数学问题和诸如利润最大等实际生活问题，让学生掌握微积分应用的基本方法，感 中华人民共和国教育部 .普通高中数学课程标准（实验） J.人民教育出版社， 2003,4: 31. 受微积分解决问题的强大威力，也为高等数学的学习提供了基础。 1
22、2 导数是微积分核心内容之一，不论是在纯数学领域还是以数学为基础的物理、化学等 领域或是实际生活中，导数的应用都是十分广泛的。课程标准中对于导数的教学要求 是： “ 学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解 导数的含义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实 际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文 化发展的价值 。 ” 14 因此，导数在新课程改革中处于重要的地位，对提高学生数学素养和个人发展具有显 著作用。 第三节数学史融入导数教学的重要性 新课程改革的核心是一切为了学生的发展，学生是发展中的
23、人，是课堂学习的主体， 教师是学生学习的促进者。众多的研宄表明，传统教学中的知识本位制约了学生的发展， 很多进入高校学习的学生在学习高等数学微积分内容时仍会出现大量问题，究其原因主要 是高中导数学习时存在着误区。因此单纯地进行数学知识的教学而忽视数学的历史是不能 达到新课程改革所预期的教学效果的，数学史可以有 效地促进学生的数学学习尤其是数学 概念的学习，对学生的发展具有促进作用。 导数体现了极限的思想，表现了从平均变化率（近似量或是过程）到瞬时变化率（精 确量或是结果 ） 的极限过程，在这个过程中学生的的思维由静态转变为动态。如今所学的 导数概念经过了多位数学家上百年不懈的研究，由历史相似性
24、原理可知，学生会产生与数 学家当年同样的困惑，学生直接学习导数概念存在很多困难。目前大部分的教师都是按照 教科书中的内容进行教学，并没有考虑学生对于导数概念的认知障碍。因此，教师在课堂 教学中应注重学生的认知发展规律，将导数的发 展历史重构后融入到教学中，减少各个知 识点之间的跨度，使学生更好地理解概念的内涵。新一轮的课程改革的核心是关注学生的 发展，在课程标准中也提出了情感态度与价值观维度的目标要求，不仅要注重结果， 更要注重过程，教学应该关注学生的发展而不只是关注学科。因此传统的教学方法需要改 进，在教学中渗透数学史便是促进学生全面发展的一个途径。 13 虽然课程标准中对导数及其应用的教学
25、提出了文化价值与思想价值的要求， 但是高考考查的导数及其应用内容还是集中在导数的应用而非导数的概念。因此，高 中数学教学中单纯以高考作为指挥棒的方式，在导数概念教学方面存在严重的缺陷，己经 影响到学生后续的微积分学习。相比传统的教学方式， HPM更关注概念的起源，与课程 中华人民共和国教育部 .普通高中数学课程标准（实验） J.人民教育出版社， 2003,4: 31. 标准中重结果更重过程的理念相符。因此， HPM教学设计对促进概念的理解有着不可替 代的作用。 第二章研宄目的及问题 第一节研宄目的 通过分析 ICME12中的研宄可以发现，融入 数学史教学的价值己得到数学教育专家的 认可，但是如
26、何在教学中融入数学史还没有统一的方式，所以融入数学史的教学方法或模 式仍是目前关注的课题。本文仅选取了人民教育出版社高中数学教材选修 2-1第一章的内 容进行分析研究，尝试将数学史融入导数的教学之中。因此本文的研究目的是基于 HPM 的研宄现状，针对数学史融入导数的教学设计进行相关探索研究，旨在使高中导数教学有 所突破。 近年来，将数学史融入导数教学的研宄并不多，笔者调查研宄了大量的博硕士论文， 有关导数教学的论文数量很多，关于数学史融入课堂教学的论文也有很多，但将数学史融 入导数教学的论文可以说是凤毛麟角。因此本文的另一个目的是在以往研究的基础上，继 续研宄数学史融入导数教学的教学设计与实践
27、，以期望弥补之前研宄的缺陷，供广大职前 和在职教师参考及修正。 第二节研究的问题 基于课程标准对于导数及其应用的要求及 HPM的研究现状，笔者设计了如 下三个研宄问题： (1) 梳理微积分的发展历史，整理建国以来教学大纲及课程标准对于导数教 学的要求； (2) 设计调查问卷和访谈提纲，了解高中学生导数及其应用及大一理工类学生高 等数学微积分的学习现状，掌握高中教师及高校教师对于导数或微积分教学的相关理念； (3) 根据教师与学生对导数教与学存在的问题，利用历史相似性原理及发生教学法进 行高中导数教学设计，将教学设计应用于班级教学，并对教学效果进行评价。 第三章数学史融入数学教学的理论与相关研宄
28、 笔者在 HPM的研宄现状中己简要介绍了 HPM的相关内容，在此不再赘述。为进一步 深入研宄数学史融入导数教学的理论意义与实践价值，本章主要对 HPM的教学模式、教 学设计的有关概念进行阐述，并进一步分析数学史融入导数教学的己有相关研究。 本章的研宄旨在进一步明确 HPM的主要任务是研宄数学史与数学教学之间的关系， 通过对数学史的研究，取其精髓，由内而外的贯穿于数学教学之中。经历了近四十年的发 展，虽不能说 HPM研宄己经成熟，但 HPM研宄己经成为数学教育研宄领域一个不可或缺 的分支。 20 第一节融入数学史的教学模式 我国华东师范大学的汪晓勤教授带领的科研小组做了大量数学史相关的研宄，其中
29、将 数学史融入教学的方式分为两种：一是显性融入方式，另一种是 隐性融入方式。下表则是 两种融入方式的特点比较： 表格 1:数学史融入教学的方式 融入方式 特点 显性融入方式 保持数学史原貌，不重构数学史。主要通过 直接的语言或图像呈现，侧重于对数学史的 介绍 隐性融入方式 保留数学史知识原有思想方法，重构数学史。 侧重于在教学中渗透数学思想方法 另一方面，在教学中融入数学史的教学模式有很多种，最常见的融入方式有点缀式、 复制式、顺应式、发生式。其中复制式、顺应式和发生式更注重学生认知在数学史中起到 的作用。 18下表为四种融入方式特点的比较： 表格 2:融入数学史教学模式的分类及其特点 融入方
30、式 点缀式 复制式 顺应式 发生式 教学方法 直观陈述历史， 如小故事、图片、 图像等形式 向 学 生 教 授 历 史 上 的 数 学 问 题 和 相关解法 教 师 重 构 历 史 上 的 数 学 问 题 ， 提 炼 问 题 背 后 的 数 学 思 想 ， 使 之 符 合 学 生 的 认 知 水 平 教 师 借 鉴 或 重 构 数 学 知 识 发 展 历 史 ， 浓 缩 概 念 发 展 过 程 ， 让 学 生 经 历 概 念 的 形 成 过程 融入方式 显性融入方式 显性融入方式 隐性融入方式 隐性融入方式 通过上表展示的各个特点并结合教学现状可以发现：目前点缀式是大部分数学教师在 课堂中融入
31、数学史的方式；后三种融入方式需要教师从历史中提炼数学家原始的思想，重 构历史过程则是对教师的更高要求，虽然对于学生的数学发展有益，但其对于教师数学史 知识的较高要求使得大部分教师望而却步。 第二节教学设计的相关理论 为有效进行数学史与数学教学结合的教学设计，首先需要对与教学设计有关的理论加 以认识。其中关于教学设计的定义亦有多种说法，以下几种教学设计理论将为数学史融入 导数教学设计提供重要理论依据。 目前教育学中关于教学设计的定义多采用加涅的说法： “ 教学设计是指以学习理论、教学理论和传播理论为基础，运用系统的观点和方法， 分析研究教学需求和教学问题，建立解决问题的策略方案，通过评价不断修改
32、和完善方案 , 以优化教学效果和提高教学绩效的一种可操作过程 。 ” 22: 我国的何克抗教授则认为： “ 教学设计是运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学目标 (或教 学目的）、教学条件、教学方法、教学评价等教学环节进行具体计划的系统化过程 。 ” 罗森伯格 （ Rosenberg)指出教学系统设计模型包括五个 阶段，分别是分析、设计、开 发、执行和评估，这几个阶段在整个设计实施的过程中呈现出互动性。 赖格卢斯 (Relgeluth)提出教学设计应注重理论与实践相结合，其中教学设计理论是设 计定向，也就是关注学习与发展既定目标的手段，而不是以关注既定事件结果的描述定向， 设计定
33、向可使理论对教学产生直接作用，因为教学设计对如何实现教学目标提供了直接指 导。教学设计理论确定了教学方法以及这些方法适用的情境。 20 从上世纪 60年代逐渐形成以 “ 教 ” 为中心的教学设计理论，基本研宄如何帮助教师 把课备好、教好，其中主要理论有 肯普模型、史密斯 -雷根模型、狄克 柯瑞模型等。虽 然这些理论己经成熟，但与新课程改革的理念不符，在此不再过多阐述。新课程中，学生 是学习的主体，教师只是学生学习的促进者，通过研究国内外文献，符合新课程理念的教 学设计过程应包括以下几个方面：教学目标分析一一情境创设一一信息资源设计一一自主 学习设计一一协作学习环境设计一一学习效果评价设计一一教
34、学模式设计。 在数学史与数学教育结合的教学设计研宄中，除运用教育学中常见的教学设计原理 外，还有结合数学自身的特点而产生的历史相似性原理和历史发生原理等等。 教学设计的 目的是达到教学目标，是教师对课堂教学的过程和行为所进行的系统规 美 R.M加涅著 .教学设计原理 M.皮连生，译 .上海：华东师范大学出版社， 2004, 5. 何克抗 .也论教学设计与教学论 J.电化教育研究， 2001 (4): 3 10. 划，主要解决两个问题：一是教什么，即教学目标的设计、教学内容和学生情况的分析； 二是怎样教，即选择何种教学手段以及教学过程的设计。教学设计的基础是把握学生如何 学习，在研宄学生知识与技
35、能等如何发展的问题时，除需要考察知识、能力外，还必须深 入考察知识与技能是怎样被学生吸收掌握的，也就是说，要深入分析 “ 学什么 ” 和 “ 如何 学 ” 两大问题。 第三节数学史融入导数教学设计的相关研究 笔者在中国知网查阅了大量的博硕士论文和著名期刊中的文章，通过对这些论文及文 章的分析发现，将数学史融入导数教学的相关研宄较少，只有数学史融入导数教学的行 动研宄、基于历史相似性原理的中学导数概念的设计研宄、高中微积分教学中数学史 的渗透、 HPM视域下的高中微积分教学研宄四篇研宄论 文，其中前三篇均完成于 2012 年，最后一篇完成于 2013年，在之前并没有关于数学史融入导数教学的相关研
36、究。 基于历史相似性原理的中学导数概念的设计研宄一文中，对导数概念的历史发展 进行了梳理，阐述了无穷小、切线和速度问题，总结了不同时期数学家解决变化率、切线 等问题时所采用的方法。作者根据历史相似性原理，结合上述三大问题设计了三份调查问 卷，通过这三份调查问卷的结果预测出高中学生在学习导数概念时可能存在的认知障碍， 进而验证历史相似性原理。基于上述研宄结论，根据导数概念的历史发展，综合历史资料 设计了 不同于现有教学所采用的导数概念教学案例。之后作者将该教学设计与己有的教学 设计进行了比较，总结出该教学设计的优势。然而作者并没有将该教学设计应用于实际课 堂教学，对于是否能够提高教学效果没有有力
37、的证据加以说明。 16 高中微积分教学中数学史的渗透研究了数学史应用于数学教学的策略，并给出了 两个具体的案例，分别是导数概念的教学案例和微积分基本定理的教学案例。该论文的作 者首先从课程和教学两个方面阐述了目前高中微积分教与学的情况，然后给出了将数学史 融入数学课堂教学的一般策略及相关方法，最后给出两个详细的教学设计，阐释了如何在 微积分教学中融入数学史。但是作者并没有将文中的教学设计应用于课堂教学，因此缺乏 一定的实践研宄。 17 数学史融入导数教学的行动研宄是目前对数学史融入导数教学的最为详细的研 究，在理论的基础上做了大量的实践研宄，重点是用量化的研究方法，证明了数学史融入 导数教学具
38、有很好的效果。该论文的作者是一名在职教师，有机会在自己所授课的班级进 行实践研宄，通过大量的行动研宄，作者给出两个教学设计，分别是导数的概念和导数的 应用，将数学 史融入上述两个教学设计中。对高二年级和高三年级的学生做了三次调查问 卷并对十三名高中数学教师及八名学生进行了访谈。作者历时两年多的时间在所任职的学 校进行行动研宄，总结出数学史融入数学教学的一般方法。作者进行了详细的教学设计并 将之实施，但笔者认为其教学设计过于复杂，大部分高中学生对于这种内容的教学还是存 在一定的理解困难。 118 HPM视域下的高中微积分教学研宄一文从 HPM视角入手，强调了历史相似性原 理对数学教学的价值，对高
39、中微积分的相关教学问题进行了研宄。得出 了高中微积分教学 的意义是锻炼思维的手段及进一步深造的重要工具的结论。给出了导数和积分的教学设计 各一例，为基于历史相似性原理的教学设计提供借鉴。作者在研宄的过程中主要采用了定 性的研究，缺乏定量的分析，所给出的教学设计仍是没有进行课堂实施，缺少实践研宄。 19 虽然以上四篇文章己经详细研究了基于数学史的数学课堂教学，但是实践研宄还是很 少。本文将对高中导数教学存在的问题以及理工类大一年级微积分教学存在的问题进行调 查研宄，进行数学史融入数学课堂的教学设计，目的是使学生更好地理解导数的概念，也 使学生将 高校中高等数学微积分的学习与高中导数的学习连贯起来
40、。在理论研宄的基础 上，仍要将教学设计实施于课堂，通过实践研宄发现不足进而改正。 第四章导数及其教学的历史分析 由于本文研宄的是高中导数教学的问题，而导数又是微积分的核心组成部分，所以了 解导数的历史发展过程就应研宄微积分的历史发展过程。在这部分内容中，笔者将按照时 间顺序将微积分的历史发展过程进行详细的梳理，从而了解现今数学教材中的导数知识是 如何发展而来的。另一方面，梳理我国关于微积分教学的历史发展过程，以开设微积分课 程为起点，主要按照我国教育部颁布的数学教学大纲或数学课程标准为节点进行整理，由 此了解微积分课程在我国数学课程发展中所处的地位。 第一节微积分的起源与发展 微积分的发展大体
41、可分为酝酿、创立、发展和严格化四个阶段。 (1) 酝酿阶段 微积分学分为微分学与积分学两部分，在古代希腊、古代印度、古代中国的数学著作 中，记载了很多关于计算曲线长度、图形面积、物体体积的方法，其核心思想是无限分割 再求和，这是积分学的雏形，后来发展成为现在的积分学。 微分学源于曲线的切线问题、物体运动的瞬时速度问题、最优化问题，这三大问题促 使了微分学的发展。阿基米德等数学家所研宄的曲线切线问题都是静态过程，郭守敬在研 究最值和极值问题时采用了数值的方法即 “ 招差数 ” 也称有限差分，但避免了连续变化率 这一问题。虽然己经有一些数学家研究了曲线切线问题和极值问题，但他们都有意地去回 避一些
42、诸如变化率的问题，因此这些研宄都不能算作真正意义上的微分学研宄。 近代微积分的起源可以追溯到十七世纪上半叶，开始了长达半个世纪的酝酿阶段。文 艺复兴之后，自然科学进入了一个综合与突破的新时代，这也使得自然科学需要面临更多 的数学困难。例如，物理学中确定物体的非匀速运 动的速度及其加速度就需要研宄瞬时变 化率的问题；军事学中研宄炮弹的最大射程以及天文学中寻找地球运动轨迹中的近日点与 远日点的问题，可转化为求函数的极大值与极小值的数学问题。现如今看来这些都是微积 分的基本问题，但这些基本问题却成了当时数学家们研究的重点。 十七世纪上半叶，最具代表性的数学大师有开普勒 （ Johannes Kepler)、 卡瓦列里 (B.Cavalieri)、笛卡尔 （ R.Descartes)、费马 (Fermat)、沃利斯 (L.Wallis)、巴罗 （ Barrow) 。 这些数学家都在致力于寻找解决上述问题的数学方法，笔者将用表格的形式对这六位数学 家的成果简要阐述。 表格 3:微积分发展史上代表性数学家的贡献年表 人物 开普勒 卡瓦列里 笛卡尔 费马 沃利斯 巴罗 时间 1615 年 1635 年 1637 年 1637 年 1655 年 1669 年 成果 圆锥曲线 绕其所在 平面上某 条直线旋 所得物体 体积的计 算方法 系 统 不 可 分 量 方 法 的发展 求切线的