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1、参看第一章第4节如何把连续系统如何把连续系统转化为离散系统转化为离散系统2.3.0 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化 连续系统 保持器 保持器 数字 计算机 D/A A/D u(k) y(k) u(t) y(t) x(t) x(k) q 为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足必须满足如下条件和假设。如下条件和假设。 在离散化之后在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。和输出变量的值保持不变。 保持器为零阶的保持器为零阶的,即加到系统输入端
2、的输入信号即加到系统输入端的输入信号u(t)在采在采样周期内不变样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值且等于前一采样时刻的瞬时值,故有故有u(t)=u(kT) kTt(k+1)T 采样周期采样周期T的选择满足的选择满足Shannon采样定理采样定理,即即 采样频率采样频率2 /T大于大于2倍的连续信号倍的连续信号x(k)的上限频率。的上限频率。 q 线性定常连续系统状态空间模型的离散化线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采实际上是指在采样周期样周期T下下,将状态空间模型将状态空间模型uxyuxxDCBA变换成离散系统的如下状态空间模型变换成离散系统的如下状态空间模型:(1) )
3、()()()()()kTGkTHkTkTCkTDkTxxuyxu 由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言,输出方程为静态的代数方程输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变。其离散化后应保持不变。 离散化主要针对连续系统状态方程离散化主要针对连续系统状态方程 (A,B)如何通过采样如何通过采样周期周期T,变换成离散系统状态方程变换成离散系统状态方程 (G,H)。2.3.1 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化与前面的差与前面的差分方程不同：分方程不同：Tq 在上述的条件和假设下在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散
4、化的状态即可推导出连续系统离散化的状态空间模型。空间模型。 下面介绍两种离散化方法下面介绍两种离散化方法: 精确法精确法、 近似法近似法。线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化(3/3)精确离散化方法精确离散化方法(1/4)ttBttttt0d)()()()()(00uxx 现在只考虑在采样时刻现在只考虑在采样时刻t=kT和和t=(k+1)T时刻之间的状态时刻之间的状态响应响应,即对于上式即对于上式,取取t0=kT,t=(k+1)T,于是于是TkkTBTkkTTTk) 1(d)() 1()()() 1(uxx1. 精确离散化方法精确离散化方法q 所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离
5、散化方法所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是就是 利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。q 连续系统的状态方程的求解公式如下连续系统的状态方程的求解公式如下:精确离散化方法精确离散化方法(2/4) 考虑到考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定在采样周期内保持不变的假定,所以有所以有比较比较,可知两式对任意的可知两式对任意的x(kT)和和u(kT)成立的条件为成立的条件为G(T)=(T)=eAT)(d) 1()()() 1()1(
6、kTBTkkTTTkTkkTuxx 对上式作变量代换对上式作变量代换,令令t=(k+1)T- ,则上式可记为则上式可记为)(dt)()()() 1(0kTBtkTTTkTuxxBBtTHTAtT00dtedt)()(上两式即为精确离散化法的计算式。上两式即为精确离散化法的计算式。精确离散化方法精确离散化方法(3/4)例例3-11uxx102010ttssLAsILt221111e02/ )e-1 (1201-)-()(q 解 首先求出连续系统的状态转移矩阵首先求出连续系统的状态转移矩阵:q 例 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态
7、方程状态方程:精确离散化方法精确离散化方法(4/4)例例3-11q 根据精确法计算式有根据精确法计算式有q 于是该连续系统的离散化状态方程为于是该连续系统的离散化状态方程为)e-1 ( 2)e-1 ( -24110dte02/ )e-1 (1dt)()(e02 / )e-1 (1)()(22022022TTTttTTTTBtTHTTG)(2/ )e-1 (4/ )e-1 ( -2/)(e02/ )e-1 (1) 1(2222kTkkTTTTuxx近似离散化方法近似离散化方法(1/6)2. 2. 近似离散化方法近似离散化方法q 所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指所谓线性定常连续系统
8、状态方程的近似离散化方法是指 在采样周期在采样周期较小较小, 且对离散化的精度要求不高的情况下且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的用状态变量的差商代替微商差商代替微商来求得近似的差分方程。来求得近似的差分方程。 即即,由于由于x(kT)=LimT0 x(k+1)T)-x(kT)/T故当采样周期较小时故当采样周期较小时, ,有有x(kT) x(k+1)T)-x(kT)/T近似离散化方法近似离散化方法(2/6) 将上式代入连续系统的状态方程将上式代入连续系统的状态方程,有有x(k+1)T)-x(kT)/T=Ax(kT)+Bx(kT)即即x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(k
9、T) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较较,则可得如下近似离散化的计算公式则可得如下近似离散化的计算公式:G(T)=I+AT H(T)=BTq 将上述近似离散法和精确离散法比较知将上述近似离散法和精确离散法比较知, 由于由于I+AT和和BT分别是分别是eAT和和 eAtdtB的的Taylor展开式中的展开式中的一次近似一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。近似展开式。近似离散化方法近似离散化方法(3/6)例例3-12q
10、由上述推导过程可知由上述推导过程可知,一般说来一般说来,采样周期采样周期T越小越小,则离散化精则离散化精度越高。度越高。 但考虑到实际计算时的舍入误差等因素但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期采样周期T不宜不宜太小。太小。q 例 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程状态方程:uxx102010q 解 由近似离散化法计算公式由近似离散化法计算公式, ,对本例有对本例有近似离散化方法近似离散化方法(4/6)例例3-12于是该连续系统的离散化状态方程为于是该连续系统的离散化状态方程为TBTTHTTATITG0)(2101)(
11、)(0)(2-101) 1(kTkTTkuxx近似离散化方法近似离散化方法(5/6)例例3-12近似法的计算结果为近似法的计算结果为432332. 0283834. 00.1353350432332. 01HG101011HG2. 当当T=0.001s时时,精确法的计算结果为精确法的计算结果为000999. 0105 . 00.9980020000999. 016HGq 对上述近似离散化法的精度可检验如下对上述近似离散化法的精度可检验如下: :1. 当当T=1s时时,精确法的计算结果为精确法的计算结果为近似离散化方法近似离散化方法(6/6)例例3-12近似法的计算结果为近似法的计算结果为001
12、. 00998. 00001. 01HGq 从上述计算结果可知从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。近似离散法只适用于较小的采样周期。线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(1/6)2.3.2 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化q 线性时变连续系统状态空间模型的离散化线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定实际上是指在指定的采样周期的采样周期T下下,将连续系统的状态方程将连续系统的状态方程( )( ) ( )( ) ( )tttttxAxBu变换成线性时变离散系统的如下状态方程变换成线性时变离散系统的如下状态方程:(1) )() ()()
13、()kTkTkTkTkTxGxHuq 线性时变连续系统的状态方程的离散化线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统就是利用时变系统的状态轨迹求解公式来进行离散化。的状态轨迹求解公式来进行离散化。 可知可知,连续系统状态方程连续系统状态方程的解可表示为的解可表示为:线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(2/6)000( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )dtttt ttt B xxu 现在只考虑在采样时刻现在只考虑在采样时刻t=kT和和t=(k+1)T时刻之间的状态时刻之间的状态响应响应,即对于上式即对于上式,取取t0=kT,t=(k+1)T,于是于是(1)(1
14、)(1) , ( )(1) , ( ) ( )dkTkTkkT kTkkT B xxu 考虑到考虑到u(t)在采样周期内保持不变在采样周期内保持不变,所以有所以有(1)(1)(1) , ( )(1) , ( )d( )kTkTkkT kTkkT B kxxu线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(3/6) 比较下述两式比较下述两式 可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下 (1)( )(1) ,( )(1) , ( )dkTkTG kkT kTH kkT B (1)(1)(1) , ( )(1) , ( )d( )kTkTkkT kTkkT B
15、 kxxu(1)( ) ( )( ) ( )kkkkkxGxHu线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(4/6)q 例例 试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态方程。试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态方程。p 解解 由前例可知由前例可知,该系统的转移矩阵函数为该系统的转移矩阵函数为0001(1)(1)( , )01ttttt t2101(1)100t xxu线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(5/6) 因此因此,由上述离散化计算公式，可分别计算由上述离散化计算公式，可分别计算(1)(1)21(1)(1)( )(1) ,0111(1)(1)( )d1011(1)(1) d1(1)(1)1ln(1)11kTkTkTkTTkTTkTG kkT kTkTTkTTH kkTTkTTkTkTkTkTT 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化(6/6) 将上述计算所得的将上述计算所得的G(k)和和H(k)代入代入,则则求得离散化状态求得离散化状态方程如下方程如下2(1)(1)11ln(1)(1)(1)( )( )(1)1101TkTkTkTTkTkkkkTkTTxxu