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1、线性连续系统状态空间模型线性连续系统状态空间模型(mxng)的离的离散化散化 minimizer第一页，共26页。目录目录(ml)(1/1)目目 录录概述概述3.1 3.1 线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解3.2 3.2 状态转移矩阵状态转移矩阵(j zhn)(j zhn)及其计算及其计算 3.3 3.3 线性时变连续系统状态方程的解线性时变连续系统状态方程的解3.4 3.4 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化3.5 3.5 线性定常离散系统状态方程的解线性定常离散系统状态方程的解本章小结本章小结第1页/共26页第二页，共26页。线性连续系统状态线性连续系
2、统状态(zhungti)空间模型空间模型的离散化的离散化(1/5)3.4 3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化线性连续系统状态空间模型的离散化离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。整个系统工作于单一的离散状态。整个系统工作于单一的离散状态。整个系统工作于单一的离散状态。整个系统工作于单一的离散状态。对于这种系统对于这种系统对于这种系统对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变其状态变量、输入变量和输出变其状
3、态变量、输入变量和输出变其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量量全部是离散量量全部是离散量量全部是离散量,如现在的全数字化设备、计如现在的全数字化设备、计如现在的全数字化设备、计如现在的全数字化设备、计算机集成制造算机集成制造算机集成制造算机集成制造(zhzo)(zhzo)系统等。系统等。系统等。系统等。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。对于这种系统对于这种系统对于这种系统对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变其状态变量、输入变量和输出变其状态变量、输入变量和输
4、出变其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量量既有连续时间型的模拟量量既有连续时间型的模拟量量既有连续时间型的模拟量,又有离散时间型又有离散时间型又有离散时间型又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统的离散量，如连续被控对象的采样控制系统的离散量，如连续被控对象的采样控制系统的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。就属于这种情况。就属于这种情况。就属于这种情况。第2页/共26页第三页，共26页。线性连续系统状态线性连续系统状态(zhungti)空间模型空间模型的离散化的离散化(2/5)l l对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程
5、组。l l为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。l l由此,提出了连续系统的离散化问题。l l在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机分析求解连续系统的状态方程,或者(huzh)进行计算机控制时,都会遇到离散化问题。第3页/共26页第四页，共26页。线性连续系统状态空间线性连续系统状态空间(kngjin)模型的离散模型的离散化化(3/5)图3-3所示为连续系统(xtng)化为离散系统(xtng)的系统(xtng)框图。图图 3-3 连续连续(linx)系统离散化的实现系统离散化的实现第4页/共26页第五页，共26页。线性连续线性连续(lin
6、x)系统系统状态空间模型的离散化状态空间模型的离散化(4/5)线性连续系统的时间离散化问题(wnt)的数学实质,就是在一定的采样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间的关系式。为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如下条件和假设。在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有u(t)=u(kT)kTt(k+1)T 第5页/共26页第六页，共26页。线性连续线性连续(linx)系统系统状态空间模
7、型的离散化状态空间模型的离散化(5/5)l l采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即l l采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。l l满足上述(shngsh)条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空间模型。l l下面分别针对l l线性定常连续系统和l l线性时变连续系统l l讨论离散化问题。第6页/共26页第七页，共26页。线性定常连续系统线性定常连续系统(xtng)的离散化的离散化(1/3)3.4.1 3.4.1 线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化线性定常连续系统的离散化本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散本
8、节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化化化化,即即即即研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建建建建立相应的线性定常离散系统的状态空间模型。立相应的线性定常离散系统的状态空间模型。立相应的线性定常离散系统的状态空间模型。立相应的线性定常离散系统的状态空间模型。主要讨论的问题为两种离散化方法主要讨论的问题为两种离散化方法主要讨论的问题为两种离散化方法主要讨论的
9、问题为两种离散化方法:精确精确精确精确(jngqu)(jngqu)法和法和法和法和近似法近似法近似法近似法第7页/共26页第八页，共26页。线性定常连续系统状态空间模型(mxng)的离散化,实际上是指在采样周期T下,将状态空间模型(mxng)线性定常连续系统线性定常连续系统(xtng)的离散化的离散化(2/3)变换(binhun)成离散系统的如下状态空间模型:由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言,输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变,即C(T)=C D(T)=D离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。第8页/共26页第
10、九页，共26页。在上述的条件(tiojin)和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态空间模型。下面介绍两种离散化方法:精确法、近似法。线性定常连续线性定常连续(linx)系统的离散化系统的离散化(3/3)主要(zhyo)推荐?第9页/共26页第十页，共26页。精确离散精确离散(lsn)化方化方法法(1/4)现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响应(xingyng),即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是1.1.精确离散精确离散精确离散精确离散(lsn)(lsn)化方法化方法化方法化方法所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散所谓线性定常连续系统的状态方程的精确
11、离散所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散(lsn)(lsn)化化化化方法方法方法方法,就是就是就是就是利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状态方程和离散态方程和离散态方程和离散态方程和离散(lsn)(lsn)化状态方程有相同的解来进行离化状态方程有相同的解来进行离化状态方程有相同的解来进行离化状态方程有相同的解来进行离散散散散(lsn)(lsn)化。化。化。化。连续系统的状态方程的求解公式如下连续系
12、统的状态方程的求解公式如下连续系统的状态方程的求解公式如下连续系统的状态方程的求解公式如下:第10页/共26页第十一页，共26页。精确离散精确离散(lsn)化方化方法法(2/4)考虑到u(t)在采样(ci yn)周期内保持不变的假定,所以有将上式与线性定常离散系统的状态方程x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)比较,可知(k zh)两式对任意的 x(kT)和u(kT)成立的条件为G(T)=(T)=eAT对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为上两式即为精确离散化法的计算式。第11页/共26页第十二页，共26页。精确精确(jngqu)离散化离散化方法方法(3/4)例
13、例3-11q解 首先求出连续(linx)系统的状态转移矩阵:例3-11 试用(shyng)精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程:第12页/共26页第十三页，共26页。精确精确(jngqu)离散化离散化方法方法(4/4)例例3-11q根据(gnj)精确法计算式有q于是该连续系统(xtng)的离散化状态方程为第13页/共26页第十四页，共26页。近似近似(jn s)离散化方离散化方法法(1/6)2.2.2.2.近似近似近似近似(jn s)(jn s)(jn s)(jn s)离散化方法离散化方法离散化方法离散化方法所谓线性定常连续系统状态方程的近似所谓线性定常连续系统状态方程的近似所
14、谓线性定常连续系统状态方程的近似所谓线性定常连续系统状态方程的近似(jn s)(jn s)(jn s)(jn s)离离离离散化方法是指散化方法是指散化方法是指散化方法是指在采样周期较小在采样周期较小在采样周期较小在采样周期较小,且对离散化的精度要求不高的情况下且对离散化的精度要求不高的情况下且对离散化的精度要求不高的情况下且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的差商代替微商来求得近似用状态变量的差商代替微商来求得近似用状态变量的差商代替微商来求得近似用状态变量的差商代替微商来求得近似(jn s)(jn s)(jn s)(jn s)的的的的差分方程。差分方程。差分方程。差分方程。即即即即,
15、由于由于由于由于x(kT)=LimTx(kT)=LimTx(kT)=LimTx(kT)=LimT0 x(k+1)T)-x(kT)/T0 x(k+1)T)-x(kT)/T0 x(k+1)T)-x(kT)/T0 x(k+1)T)-x(kT)/T故当采样周期较小时故当采样周期较小时故当采样周期较小时故当采样周期较小时,有有有有x(kT)x(kT)x(kT)x(kT)x(k+1)T)-x(kT)/Tx(k+1)T)-x(kT)/Tx(k+1)T)-x(kT)/Tx(k+1)T)-x(kT)/T第14页/共26页第十五页，共26页。近似近似(jn s)离散化方离散化方法法(2/6)l l将上式代入连续(
16、linx)系统的状态方程,有l lx(k+1)T)-x(kT)/T=Ax(kT)+Bx(kT)l l即l lx(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)l l将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较,则可得如下近似离散化的计算公式:l lG(T)=I+AT H(T)=BTl l将上述近似离散法和精确离散法比较知,l l由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。第15页/共26页第十六页，共26页。近似离散近似离散(lsn)化方化方法法(3/6)例例3-12
17、由上述推导过程(guchng)可知,一般说来,采样周期T越小,则离散化精度越高。但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜太小。例3-12 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程:第16页/共26页第十七页，共26页。解 由近似(jn s)离散化法计算公式,对本例有近似离散近似离散(lsn)化方化方法法(4/6)例例3-12于是该连续(linx)系统的离散化状态方程为第17页/共26页第十八页，共26页。近似离散近似离散(lsn)化方化方法法(5/6)例例3-12近似(jn s)法的计算结果为2.当当T=0.001s 时时,精确精确(jngqu)法的计算结果为法的计算
18、结果为对上述近似离散化法的精度可检验如下:1.当T=1s时,精确法的计算结果为第18页/共26页第十九页，共26页。近似近似(jn s)离散化方离散化方法法(6/6)例例3-12近似(jn s)法的计算结果为从上述计算结果可知,近似离散法只适用(shyng)于较小的采样周期。第19页/共26页第二十页，共26页。线性时变连续线性时变连续(linx)系统的离散化系统的离散化(1/6)3.4.2 3.4.2 线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统状态空间模型的离散化线性时变连续系统状态空间模型的离散化线性时变连续系统状态空间
19、模型的离散化线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是实际上是实际上是实际上是指在指定的采样指在指定的采样指在指定的采样指在指定的采样(ci yn)(ci yn)周期周期周期周期T T下下下下,将连续系统将连续系统将连续系统将连续系统的状态方程的状态方程的状态方程的状态方程变换(binhun)成线性时变离散系统的如下状态方程:第20页/共26页第二十一页，共26页。线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统的状态轨迹求解公式(gngsh)来进行离散化。由3.3节可知,连续系统状态方程的解可表示为:线性时变连续系统线性时变连续系统(xtng)的离散化的离散化(2/6)现在(xinz
20、i)只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是考虑到u(t)在采样周期内保持不变,所以有第21页/共26页第二十二页，共26页。线性时变线性时变(sh bin)连续系统连续系统的离散化的离散化(3/6)l l比较(bjio)下述两式可得线性时变连续系统离散化模型(mxng)各矩阵如下 第22页/共26页第二十三页，共26页。线性时变连续线性时变连续(linx)系统的系统的离散化离散化(4/6)例例3-13 试写出下列线性时变连续试写出下列线性时变连续系统系统(xtng)的离散化系统的离散化系统(xtng)的状态方程。的状态方程。解解 由例由例3-9,该系统该系统(xtng)的转移矩阵函数为的转移矩阵函数为第23页/共26页第二十四页，共26页。线性时变连续线性时变连续(linx)系统的系统的离散化离散化(5/6)l l因此,由上述(shngsh)离散化计算公式，可分别计算第24页/共26页第二十五页，共26页。线性时变连续系统线性时变连续系统(xtng)的的离散化离散化(6/6)l l将上述(shngsh)计算所得的G(k)和H(k)代入,则求得离散化状态方程如下第25页/共26页第二十六页，共26页。