《微分及其运算ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分及其运算ppt课件.ppt（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第第3章章 导数与微分导数与微分 3.1 导数概念导数概念3.2 导数基本运算与导数公式导数基本运算与导数公式3.3 隐函数与参变量函数求导法则隐函数与参变量函数求导法则3.4 微分及其运算微分及其运算3.5 高阶导数高阶导数目目 录录上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当
2、当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 03.4 微分及其运算微分及其运算一、微分的定义一、微分的定义定义定义000000000( ),()()()(),( ),( ),dd (),d.xxxxyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxyf xyAx 设设函函数数在在某某区区间间内内有有定定义义及及在在这这区区间间内内如如果果成成立立 其其中中 是是与与无无关关的的常常数数则则称称函函数数在在点点可可微微 并并且且称称为为函函数数在在点点相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分记记作作或或即即d.yy 微微分分叫叫做做函
3、函数数增增量量的的线线性性主主部部( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理1证证(1) 必要性必要性,
4、)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数例例1 1解解
5、311.01.yxx 求求函函数数当当 由由 改改变变到到时时的的微微分分3d()yxx .32xx 2110.010.01d3=0.03xxxxyxx .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy二、微分的计算二、微分的计算d( )dyfxx 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式x
6、dxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解12,d .xy
7、x ey 设设求求2()xyx e dd(2)dxyyxxexx 22xxxex e(2)xxex 解解222dd()d()xxyexxe22 d()dxxex xxex (2)d .xxexx 3.微分形式的不变性微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx
8、微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 例例3 3解解2lncos,d .yxy 设设求求221ddcoscosyxx 222sindcosxxx 2tan2 dxx x 22 tand .xxx 例例4 4解解 0ddxyxyeeyyx 用用微微分分由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数 的的导导数数dddd0 xyx yy xexey x方方程程两两边边对对 求求微微分分解得解得d,dxyyeyxxe 整理得整理得()d()dyxxeyeyx 三、微分的几何意义及在近似计算中的应用三、微分的几何意义及在近似计算中的应用 )(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 1
9、.几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 2.近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x ,0时时当当 x常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn
10、为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例5 5?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米厘米半径伸长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径解解,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 例例6 6.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解0.023(1)1.06;(2).e 33(1)1.0610.06110.0631.02. 0.02(2)10.02e 0.98. 四、小结
11、四、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(),()(. 100000它是无穷小它是无穷小实际上实际上的定义域是的定义域是它它的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的纵坐标增量的纵坐标增量线方程在点线方程在点处的切处的切在点在点是曲线是曲线而微分而微分处切线的斜率处切线的斜率点点在在是曲线是曲线从几何意义上来看从几何意义上来看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x ,0时时当当 x