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1、 结构力学第10章 矩阵位移法主要内容1 基本概念2 局部坐标系下单元刚度矩阵 3 整体坐标系下单元刚度矩阵4 直接刚度法 5 引入边界条件的方法 6 等效结点荷载 7 直接刚度法的另一种形式先处理法 8 用先处理法计算矩形刚架 10.5 引入边界条件的方法引入边界条件的方法 上节中讨论了如何形成原始结构刚度矩阵上节中讨论了如何形成原始结构刚度矩阵K0和建立原始结构刚和建立原始结构刚度方程度方程K0 0=F。要使该方程有确定的解，必须引入边界条件。要使该方程有确定的解，必须引入边界条件。下面讨论如何引入边界条件。下面讨论如何引入边界条件。这是一种比较适用于手算的边界条件引入方法。其过程是通过互
2、这是一种比较适用于手算的边界条件引入方法。其过程是通过互换行列的方法重新排列原始刚度方程，使得待求结点位移分量位于方换行列的方法重新排列原始刚度方程，使得待求结点位移分量位于方程中位移向量的前面，结点位移分量为已知的位于方程中位移向量的程中位移向量的前面，结点位移分量为已知的位于方程中位移向量的后面。后面。1、静力凝聚法、静力凝聚法 如在如在例例1中中1、4号结点的位移分量已号结点的位移分量已知为知为0，2、3号结点的位移分量为待求量。号结点的位移分量为待求量。调整前的原始结构刚度方程为调整前的原始结构刚度方程为 M2X2X3Y3Y2M3 1 2 3图图10-6 例例1题图题图xy1234 通
3、过互换行列后调整后的原始结构刚度方程为通过互换行列后调整后的原始结构刚度方程为 为了清楚起见。令：为了清楚起见。令：代表自由结点上的荷载列向量，为已知值；代表自由结点上的荷载列向量，为已知值；代表位移分量为已知的约束结点力列向量，一般为待求量；代表位移分量为已知的约束结点力列向量，一般为待求量；代表自由结点上的位移列向量，一般为待求量；代表自由结点上的位移列向量，一般为待求量；代表约束结点上的位移列向量，为已知值。代表约束结点上的位移列向量，为已知值。如例如例1中中M2X2X3Y3Y2M3 1 2 3图图10-6 例例1题图题图xy1234 则把调整后的原始刚度矩阵分块后可得则把调整后的原始刚
4、度矩阵分块后可得 上式可得上式可得 对于对于例例1 我们把引入边界条件后缩减的刚度矩阵我们把引入边界条件后缩减的刚度矩阵K称为称为结构刚度矩阵结构刚度矩阵。为简化书写常略去下标简记为为简化书写常略去下标简记为K。仔细分析容易发现，在原始结构刚度矩阵仔细分析容易发现，在原始结构刚度矩阵K0中，把结点位移分中，把结点位移分量为已知的那些行列划掉，紧缩原始结构刚度矩阵，即可得结构刚度量为已知的那些行列划掉，紧缩原始结构刚度矩阵，即可得结构刚度矩阵矩阵 K。紧缩后紧缩后 因为因为所以所以设设F 为作用于支座上的荷载向量为作用于支座上的荷载向量P 和约束反力向量和约束反力向量R 之和，即之和，即 则则
5、若支座上无荷载作用，则若支座上无荷载作用，则 对于复杂的结构，采用矩阵位移法分析时，需借助计算机工具进对于复杂的结构，采用矩阵位移法分析时，需借助计算机工具进行分析计算。显然，静力凝聚法在计算机上不易实现，即使能够实现行分析计算。显然，静力凝聚法在计算机上不易实现，即使能够实现也很容易引起编码混乱。使得计算结果难于分析。计算机程序计算时也很容易引起编码混乱。使得计算结果难于分析。计算机程序计算时常采用下面两种方法。常采用下面两种方法。2、乘大数法、乘大数法 为了把位移分量已知的分量从原始结构刚度方程中去掉，可以采为了把位移分量已知的分量从原始结构刚度方程中去掉，可以采用乘大数法。设第用乘大数法
6、。设第r r个位移分量已知个位移分量已知，且，且ur=r，原始结构刚度方程为原始结构刚度方程为（改写成分量的形式）（改写成分量的形式）用一个充分大的数用一个充分大的数N 乘以上式中主对角线上的第乘以上式中主对角线上的第r r个元素个元素Krr，并并用用N.Krr.代替荷载分量代替荷载分量Fr,则上式变为则上式变为 这就相当于把原来的第这就相当于把原来的第r r个方程去掉。同时也不改变原始刚度个方程去掉。同时也不改变原始刚度矩阵的规模。对所有的边界条件重复上述工作。该方法与静力凝聚矩阵的规模。对所有的边界条件重复上述工作。该方法与静力凝聚法相比，工作量大为减少。但应注意，大数法相比，工作量大为减
7、少。但应注意，大数N要根据机器的容量，要根据机器的容量，适当选取，过大计算过程容易造成数据溢出，过小不能准确反映给适当选取，过大计算过程容易造成数据溢出，过小不能准确反映给定位移边界条件。定位移边界条件。3、划零置、划零置1法法 在所需去掉的第在所需去掉的第r r个方程中，将个方程中，将Krr换换成成1 1，而将相应的行列的其它，而将相应的行列的其它元素全部置元素全部置0 0。然后用已知位移分量。然后用已知位移分量 r代替荷载分量代替荷载分量F Fr r。其它荷载分量其它荷载分量需做如下调整需做如下调整:调整后原始结构刚度方程变为调整后原始结构刚度方程变为 这种方法引入边界条件后也不改变原始刚
8、度矩阵的规模，其工作这种方法引入边界条件后也不改变原始刚度矩阵的规模，其工作量比乘大数法稍大，但不会产生人为边界条件误差。量比乘大数法稍大，但不会产生人为边界条件误差。4、先处理法、先处理法 该方法是通过引入定位向量数组的方法，直接形成结构刚度矩阵，该方法是通过引入定位向量数组的方法，直接形成结构刚度矩阵，不产生原始结构刚度矩阵。后面将专门讨论。不产生原始结构刚度矩阵。后面将专门讨论。一些大型的通用结构分析程序一般采用一些大型的通用结构分析程序一般采用乘大数法或划零置乘大数法或划零置1法法种引种引入边界条件的方法。入边界条件的方法。直接刚度法计算过程总结如下直接刚度法计算过程总结如下结构离散化
9、。将结点和单元编码；结构离散化。将结点和单元编码；建立结构（整体）坐标系下的原始结点荷载列向量建立结构（整体）坐标系下的原始结点荷载列向量F0及与之对应及与之对应的原始结点位移列向量的原始结点位移列向量 0。单元分析。计算结构坐标系下的单元刚度矩阵，并分块单元分析。计算结构坐标系下的单元刚度矩阵，并分块 组装原始结构刚度矩阵。将单元刚度矩阵中四个子块局部编码组装原始结构刚度矩阵。将单元刚度矩阵中四个子块局部编码i、j换成结点编码（换成结点编码（1，2n），），按换码后的下标按换码后的下标“对号入座对号入座”累加到累加到原始结构刚度矩阵相应的位置中。原始结构刚度矩阵相应的位置中。引入边界条件。根
10、据给定问题的边界条件，修改原始结构刚度矩引入边界条件。根据给定问题的边界条件，修改原始结构刚度矩阵（采用前述的方法之一），求出结点位移。阵（采用前述的方法之一），求出结点位移。应用整体坐标系下的单元刚度方程求出杆端力，再利用坐标变换，应用整体坐标系下的单元刚度方程求出杆端力，再利用坐标变换，求出局部坐标系下的单元杆端力。作内力图，寻求危险截面或可能求出局部坐标系下的单元杆端力。作内力图，寻求危险截面或可能的危险截面。的危险截面。计算支座反力。计算支座反力。计算结果校核。计算结果校核。例例3计算图示桁架各杆的内力，设各杆的计算图示桁架各杆的内力，设各杆的EA=常数。常数。ll10kN10kN图图
11、10-9 例例3题图题图解：解：(1)结构离散化，结构离散化，6个单元，个单元，4个结点，整体坐标系如图示。个结点，整体坐标系如图示。1234图（图（a）xy(2)建建立立结结构构的的位位移移和和结结点点力力列列向向量量 其中，其中，(3)单元分析单元分析 单元单元，i=1，j=2，=/2 单元单元，i=2，j=3，=0 单元单元，i=4，j=3，=/2 1234图（图（a）xy1234图（图（a）xy单元单元，i=1，j=4，=0 单元单元，i=4，j=2，=3/4,单元单元，i=1，j=3，=/4,1234图（图（a）xy注：注：后面的计算中取后面的计算中取(4)组装结构原始刚度矩阵组装结
12、构原始刚度矩阵 赋赋0加单元加单元加单元加单元加单元加单元加单元加单元1234图（图（a）xy加单元加单元加单元加单元代入数据展开得代入数据展开得(5)引引入入边边界界条条件件 采用静力凝聚法，因结点采用静力凝聚法，因结点1、4的位移为零，则的位移为零，则 1234图（图（a）xy1234图（图（a）xy(6)解方程组求结点位移及约束反力解方程组求结点位移及约束反力 结构刚度方程为结构刚度方程为K =F ，代入数据得代入数据得 解之得解之得 求约束反力求约束反力 因为因为F =K ，即，即(7)求各杆的杆端力求各杆的杆端力 1234图（图（a）xy则则 单元单元，i=1，j=2，=/2 1234图（图（a）xy单元单元，i=2，j=3，=0 则则 1234图（图（a）xy单元单元，i=4，j=3，=/2 则则 1234图（图（a）xy单元单元，i=1，j=4，=0 则则 单元单元，i=4，j=2，=3/4,1234图（图（a）xy则则 1234图（图（a）xy单元单元，i=1，j=3，=/4,则则 各杆内力及约束反力如图所示各杆内力及约束反力如图所示 5.5-5.580-6.267.89（kN）14.42-5.5819.9104.41010(8)校校核核 可以认为计算结果是正确的。可以认为计算结果是正确的。多提意见与建议谢谢！结束语作业：作业：