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1、函数中的任意性和存在性问题函数中的任意性和存在性问题阳新高中 徐忠星212121( )ln101( )1151( )2 ,13262,1,(1),()()af xaxxxaf xg xxaxaax xm mf xg xm(10山东21改编）已知函数（1）若，讨论的单调性；（2）设，若对，不等式恒成立，求实数 的取值范围.20:27:07121221, ,1, (1),( )()xmxm mf xg x变式 ：不等式恒成立121231, ,1, (1),( )()xmxm mf xg x变式 ：不等式恒成立121211, ,1, (1),( )()xmxm mf xg x变式：不等式恒成立20:
2、27:0720132013高考中的热度高考中的热度全国I 理11，21，24 文12，24全国II 理21 文12全国大纲 理9 ，22 文11山东 理21 文21北京 理18天津 理20辽宁 理21 文21湖北 理10 文10重庆 理16121212121212113( )(ln),()11. ()0,(). ()0,()2211. ()0,(). ()0,()22af xxxaxx x xxA f xf xB f xf xC f xf xD f xf x 例 （ 湖北10）已知 为常数，函数有两个极值点，则 20:27:071212( )ln(21)0,(0,),ln21.fxxaxx x
3、x xxax分析：有两根条件等价于使得ln21.yxyax与图象有两交点20:27:07xyO1x2x211ln1(1,0)021(0,)2yaxyyxaa 解析：由分析,直线在与在处的切线之间， 12121( ,)( ) ln(21) 0, ( )xxx xf xxaxf x 由图易知，且在上，单调递增,11121212( )1( ), (1) 1 (0),( )( )( )0,1( ).2f xff xfaaf xaf xf xaf xa （）即22 ,0,2 13I 11( )ln(1),0.|( )|,.(,0.(,1. 2,1. 2,0 xx xf xxxf xaxaABCD例（ 全
4、国卷）已知函数若则 的取值范围是（ ） |( )|f x分析：直线始终在的图象下方，除原点再无交点.20:27:072| ( )|2 (0)(0)2,20yaxxf xxx xfa 解析：由分析可知，直线在 轴与图象在原点处的切线之间，斜率.数形结合法数形结合法方法反思： 数形结合法： 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。20:27:08分离参数法分离参数法20:27:08322121( ,)( )0.2xaxxfxx 分析：问题等价于对，恒成立2113( )( ,)2. 1
5、,0. 1,).0,3.3,)f xxaxxaABCD 例（13全国大纲理9）若函数在是增函数，则 的取值范围是（ ） 3211 2( ,)2xxax 对，恒成立.3max211 2( ,)()2xxax 对，.3max23224max112(,)()2122 (1)( ),( )0,( )0( ).11( )()3.22xxaxxx xg xgxxxxgxg xxg xga解析：由分析知，条件等价于对，令则显然，当时，单调递减当时,方法反思： 分离参数法： 利用分离参数法来确定不等式 ，（ ，为实参数）任意性和存在性问题中参数 的取值范围。20:27:08,0f xDx适用题型：（1） 参数
6、与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。32234 0820( )(1)132( )1(0,)af xxxaxafxxxaax例（安徽文）已知函数，其中 为实数。（2）已知不等式对任意都成立，求实数 的取值范围.(节选)主主参参换位换位法法20:27:082(1)220(0,)axxaax 分析:问题等价于对都成立，如果把 当做参数会怎样呢？2223(1)1(0,)(1)220(0,)axxaxxaaaxxaa 解析:由题设知,对都成立，即对都成立。222min( )(2)2 ,( )(0,)(0,)( )0( )(0)20 2,0.g axaxxg aag ag agxxx 设则在上单调递增
7、。所以对，恒成立等价于 解得：方法反思：主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或容易分离，但函数的最值却难求可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。20:27:08构造函数构造函数法法2I ( )42( )(22)2( )( )xf xxxg xexxf xkg xk 例5（13全国 21）设函数，.（2）若时，求 的取值范围.(节选)20:27:082max( )( )( )42(22)( 2,),( )0 xkF xf xkg xxxexxF x 分析：参数 易分离，但是分离之后得到的新函数最值很难求出。而的单调性可由
8、导数分析得出。由此，问题可转化为:对恒成立。2max( )( )( )42(22),(),( 2,),( )0( )2(2)(1),()xxF xf xkg xxxkexxRxF xFxxkexR 解析：令由题知，对恒成立。1)0,(0)2(1)0 xkFke若与题不符.2)0,( )2(2)(1)0,2lnxkF xxkexk若令解得：或；22maxI2ln( )2(2)(1)0 2, 2,)( )( 2)2(1)0,xkkeF xxkexF xFke 若，即，此时，在上成立.在上,不符.22max222II2ln 2,)( )ln ;( )( ln )(ln1)10,1,1.kkeF xk
9、F xFkkkekeke 若，即，此时，在上,有唯一的极大值点解得：又，2222max2I ,II 1III 2,( )2(2)(1)0,( )( )( 2)00,1,.xkekekexF xxeF xF xFke 不符题意；，符合题意；，对在该区间单调递减.符合题意.综上，0(0)2(1)01.Fkek方法反思：构造函数法：某些任意性存在性问题，需要解决函数的最值或值域，而没有简便快捷方法时，我们可以尝试构造新函数，结合导数分析法，最值定位法，探究函数性质，最终解决问题。20:27:08任意性存在性任意性存在性问题转化归纳问题转化归纳20:27:0820:27:081.不同函数，不同变量不同
10、函数，不同变量1212(1),()()xAxB f xg x成立1 max2 min( )( )f xg x1212(2),()()xAxB f xg x成立1 min2 min( )( )f xg x1212(3),()()xAxB f xg x成立1 min2 max( )( )f xg x1212(4),()()xAxB f xg x成立1 max2 max( )( )f xg x20:27:082.不同函数，相同变量不同函数，相同变量(1),( )( )xA f xg x 成立max ( )( )0f xg xmin ( )( )0g xf x(2),( )( )xA f xg x 成
11、立min ( )( )0f xg xmax ( )( )0g xf x20:27:083.相同函数，不同变量相同函数，不同变量1212,|()()|x xAf xf xM成立maxmin( )( )f xf xM20:27:084. 不同函数，相等关系不同函数，相等关系(1), ( )( )xA f xg x ( )( )yf xg x有零点1212(2), ( )( )xA xB f xg x 成立 ( )| ( )|f xxAg xxB1212(3), ( )( )xA xB f xg x 成立 ( )| ( )|f xxAg xxB 20:27:081.不同函数，不同变量（分别考虑）3.
12、相同函数，不同变量（考查最值差）2.不同函数，相同变量（构造函数）4.不同函数，相等关系（考查值域）任意性存在性问题分类总结：任意性存在性问题分类总结：求原函数的最值求新函数的最值利用函数图象隐性问题显性问题研究最值结束20:27:08转化化归思想数形结合思想分类讨论思想构造函数法数形结合法导数分析法导数分析法分离参数法主参换位法过程与思想方法过程与思想方法分离参数法主参换位法(073.1.| 1.|,1| 1).|xRxaA axaBaCaD a 练习1： 安徽理科若对任意不等式恒成立，则实数 的取值范围是( )20:27:0832223 0722( )9cos48 cos18sin( )( ),(1 cos )0, (3 sin )0( ) 26,6( )11f xxxxg xfxtgtgtf xmf xxmxx 练习 （ 辽宁文 ）已知函数，且对任意的实数均有.（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，恒有，求 的取值范围.走近高考走近高考2II2 ()1.(,).( 2,).(0,).( 1,)xxxaaABCD 练习（13全国 文12）若存在正数 使成立，则 的取值范围是（ ） 20:27:08