函数与导数中任意性和存在性问题探究(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数与导数中任意性和存在性问题探究命题人:闫霄 审题人:冯昀山 一、相关结论:结论1:;结论2:;结论3:;结论4:;结论5:;【如图一】结论6:;【如图二】结论7:;【如图三】结论8:;【如图四】结论9:的值域和的值域交集不为空;结论10:的值域是的值域的子集【例题1】:已知两个函数;(1) 若对,都有成立,求实数的取值范围;(2) 若,使得成立,求实数的取值范围;(3) 若对,都有成立,求实数的取值范围;解:(1)设,(1)中的问题可转化为:时,恒成立,即。;当变化时,的变化情况列表如下:-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+00+h(x)k-4

2、5增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以,由上表可知,故k-450,得k45,即k45,+).小结:对于闭区间I,不等式f(x)k对xI时恒成立f(x)maxk对xI时恒成立f(x)mink, xI. 此题常见的错误解法:由f(x)maxg(x)min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价.(2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)= g(x)f(x) 0在x-3,3时有解,故h(x)max0.由(1)可知h(x)max= k+7,因此k+70,即k-7,+).(3)根据题意可知,(3)中的问题等价

3、于f(x)maxg(x)min,x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x)max=120k.仿照(1),利用导数的方法可求得x-3,3时, g(x)min=21.由120k21得k141,即k141,+).说明:这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立,还是“x”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.【例题2】:(2010年山东理科22) 已知函数;(1) 当时,讨论的单调性;(2)设,当时,若对,,使,

4、求实数的取值范围;解:(1)(解答过程略去,只给出结论)当a0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当0a时,函数递增区间为,递减区间为(0,1),;(2)函数的定义域为(0,+),(x)=a+=,a=时,由(x)=0可得x1=1,x2=3.因为a=(0,),x2=3(0,2),结合(1)可知函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,所以f(x) 在(0,2)上的最小值为f(1)= .由于“对x1(0,2),x21,2,使f(x1) g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x) 在(0,2

5、)上的最小值f(1)= ”. ()又g(x)=(xb)2+4b2, x1,2,所以 当b0,此时与()矛盾; 当b1,2时, 因为g(x)min=4b20,同样与()矛盾; 当b(2,+)时,因为g(x)min=g(2)=84b.解不等式84b,可得b.综上,b的取值范围是,+).二、相关类型题:类型一:直接求最值(往往需带参讨论)例3:类题:例4:类题:类型二:分离常数法求最值例5:类题:例6: 类题:类型三:先进行变形简化,再求最值例7:类题:类型四:分离常数法+罗比达法则洛必达法则简介:法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及; (2)在点a的去心内,f(x) 与g(x

6、) 可导且g(x)0; (3),那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及; (2),f(x) 和g(x)在与上可导,且g(x)0; (3),那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及; (2)在点a的去心内,f(x) 与g(x) 可导且g(x)0; (3),那么 =。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 将上面公式中的xa,x换成x+,x-,洛必达法则也成立。洛必达法则可处理,型。在着手求极限以前,首先要检查是否满足,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达

7、法则不适用,应从另外途径求极限。 若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。例8:(2010年全国新课标理)设函数。(1) 若,求的单调区间;(2) 若当时,求的取值范围原解:(1)时,.当时,;当时,.故在单调减少,在单调增加(II)由(I)知,当且仅当时等号成立.故,从而当,即时,而,于是当时,.由可得.从而当时,故当时,而,于是当时,.综合得的取值范围为原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解:(II)当时,对任意实数a,均在;当时,等价于令(x0),则,令,则,知在上为增函数,;知在上为增函数,;,g(x)在上为增函数。由洛必达法则知,00,故综上,知a的取值范围为。类题1:例4及其类题,例7及其类题,以下示范例7解法解法二:原解在处理第(II)时非常难想到,现利用洛必达法则处理如下:(II)由题设可得,当时,k=0在上为增函数=0当时,当x(1,+)时,当时,当x(1,+)时,在上为减函数,在上为增函数由洛必达法则知,即k的取值范围为(-,0订正:例3答案:例8答案:专心-专注-专业

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