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1、采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第一节第一节 随机变量的数学期望随机变量的数学期望第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物二、数学期望的性质二、数学期望的性质三、小结三、小结一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
2、离散型随机变量的分布列全面地描述了随机变量离散型随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计性规律，但这样的统计性规律，但这样“全面的描述全面的描述”有时不方便，有时不方便，或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，一般比较平均亩产。一般比较平均亩产。310172821165一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望引例引例 某手表厂在出产产品中抽查了某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手只手表的日走误差，数据如下：表的日走误差，数据如下：秒）日走
3、误差()kN只数（2101234采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物这时抽查到的这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为：只手表的品均日走时误差为：42( 2) 3 .4 51.22100kkkNN （秒/日）444222=NkkkkkkkNNkkfN记作记作 为事件为事件“日走时误差为日走时误差为k秒秒”的概率：的概率：kfkNN采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物定义：思考思考 ：1、为什么要绝
4、对收敛？、为什么要绝对收敛？ 2、若不绝对收敛会有什么结果？、若不绝对收敛会有什么结果？ 设离散型随机变量设离散型随机变量 的可能的取为的可能的取为 ，其分布列为其分布列为 若若 绝对收绝对收敛，则称随机变量敛，则称随机变量 存在数学期望存在数学期望ia(i=1,2.),1,2,.iiPapi1iiia pi1E =iia p 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物关于定义的两点说明关于定义的两点说明 (1) 是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不
5、同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 取可能值的取可能值的真正平均值真正平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.E采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物他们的射击技
6、术分别为他们的射击技术分别为乙两个射手乙两个射手甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手击中环数击中环数概率概率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(),E 环8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1( ),E 环,. 设甲乙射手击中的环数分别为故甲射手的技术比较好故甲射手的技术
7、比较好.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例2 二项分布二项分布 (1),(0,1,2, ),kn knPkppknk . 10 p则有则有0()nkEkPkknknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()
8、!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp则两点分布则两点分布b(1,p)的数学期望为的数学期望为 p.=npknknkppknk )1(0采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例3 泊松分布泊松分布 ,0,1,2, ,0.!kPkekk为则有则有0( )!kkEkek 11)!1(kkke ee . P( ),且分布列采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，
9、边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 例例 4 在某地区进行某种疾病普查，为此要检查在某地区进行某种疾病普查，为此要检查每一个人的血液，如果当地有每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验个人，若逐个检验需要需要N次，有没有办法减少检验的工作量？次，有没有办法减少检验的工作量？析：把每析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的结人分到一组，其血液混合，若检验的结果为阴性，则这果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而每人个人的血液全为阴性，因而每人只需检验只需检验1/k次；否则，对这次；否则，对这k人逐一检验即可，则人逐一检验即可，则这这k人每人学检验人每人学检验(1+1/k
10、)次，从而次，从而k个人需要检验次个人需要检验次数可能是数可能是1或是或是(1+k)次，是一随机变量。次，是一随机变量。k11-q .k每人的检验结果是独立的，若每人的血液呈阳性的概率为p,呈阴性的概率为q= -p,则这k个人血液呈阴性的概率是q ,而呈阳性的概率为采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物k令 表示检验时 个人一组每人所需验的次数，其分布列为：122 E1(1 1)(1)11kkkpa pk qkqqk 1由此可求的每人所需的平均检验次数：=ak1-+ 1 k1q1k ,1-+1 k.
11、kkqqqk每人检验一次，所以当时，即需要分组，若 已知，还可以从E =选出最适合的整数11 11kkkkqq采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例例5 几何分布几何分布 1,kPkqp则有则有1111( )kkkkEk qppk q. r v设的分布律为 1kkqp)()( 1kkqppqpqqp11112 )()(1;1,2,; 01qp kp 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物若若g(x)为为
12、 的单值函数的单值函数, (1,2, ),iiPapi设离散型随机变量 的分布列为 1. 一维离散型随机变量函数的数学期望一维离散型随机变量函数的数学期望二、离散型随机变量函数的数学期望二、离散型随机变量函数的数学期望i=11(),( )()iiiiig apEgg ap 如果有x采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物证明证明()=,(1,2,.)()()ijjig abgbjPbPaj 令（ ），则 仍是一个离散的随机变量，设其可能取值为 则1( )()jjjEgEb Pb1()()ijjijg
13、abbPa由数学期望的定义有：由数学期望的定义有：1()()()ijiijg abg aPa1( ) ()iiig a Pa采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物定理定理 2.3 若若 是二维随机变量，其联合分布列是二维随机变量，其联合分布列为为 (,)( , )(,).ijijijijijijg a bpE gg a bp ，有( , ) (,), .1,2,.ijijPabp i j又又 是实变量是实变量 的单值函数，如果的单值函数，如果2. 二维离散型随机变量函数的数学期望二维离散型随机变量函
14、数的数学期望( , )g x y, x y采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1. ,.( ).abEaEbCE CC若则存在，且特别 是一个常数，则证明证明ii= 1i= 1i= 1,()aa()biiiiaabEppEpb 由 于则 a =1212122.Ek ,k(k+k).k EkEEE设二维离散随机变量（ ， ），若，存在则对任意实数则有三、数学期望的性质三、数学期望的性质采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持
15、熔接部位干净无污物121211(2)()()ijijE kkk ak bij证明 p 3. EEEE又若 ，相互独立的，则存在，121111)ijijijijk ak bpij =p + 1.11ijjijkab pi.2=p +k采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物i=11(3)ijijjEa b p112()( ).nniiiiiiEaa E性质 可推广：1k EE2=+ki=11iijjja pb pEE采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋
16、转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物).,)(,.10,20互独立互独立并设各旅客是否下车相并设各旅客是否下车相下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车如到达一个车站没如到达一个车站没个车站可以下车个车站可以下车旅客有旅客有位旅客自机场开出位旅客自机场开出一民航送客车载有一民航送客车载有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站站有有人人下下车车在在第第站站没没有有人人下下车车在在第第.1021XXXX 则则例例6采用PP管及配件：根据给水设
17、计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物,109020 iXP则有则有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1091)(20 iXEi由由此此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784. 8次次 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物. .RV一、连续型的数学期望1. . ().iiiRVEx Px我们已经讨论了离散型的数学期望：. . .RVRV试问：
18、连续型的数学期望是什么？当然要把连续型进行离散化01211 . . .( ),.iinnRVP d fP xxxxxxxx设连续型的为取分点11 ,),(0, ), ()( )( ). (0, )iiiiiixiiixxx xx inPxp x dxp xxin其长度也记为则采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物. .RV离散化后的的分布列：010011.()()()nnnxxxp xxp xxp xx0. . . ( )niiiiRVRVx p xx显然这个分布列可作为连续型的一种近似而这个离散型
19、的数学期望为. .RVE 此式近似地表达连续型的数学期望由数学分析知采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1 Max. ii nx 记则00lim( )( ).niiiix p xxxp x dx于是有下面的定义+.( ), ( ).RVP d fp xx p x dx 定义：设 是连续型.,为当+( ).xp x dx时，称 的数学期望存在，且 E采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物. .( , ),
20、.RVU a bE例1 设则求( , )( , ),p d f 我们已讨论过参数为的分布其为+ =( ).2baxabExp x dxdxba【解】1, 0,( )( )0, 0.xxexp xx1,在此分布中令及 (1) 1,得, 0,( )0, 0.xexp xx采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物21p(x)=,1p d fEx (柯西分布)的为问例4是否存在.(1, ).这是参数为 的指数分布.即就是参数为 的指数分布. .(1, ),.RVE 例 如果求2+00 =( )xxExp x
21、dxx edxxde 【解】000110.xxxxeedxe 2. .( ,),.RVNE 如求例果3 【解】=E 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 【解】21( ). .1xx p x dxdxEx 不存在二、连续型随机变量函数的数学期望. .( )( )RVp dfp xf xx 如果 是连续型,为,又是实变量定理1的函数，且( ) ( ).f x p x dx ( )( ) ( ).Eff x p x dx那么 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管
22、材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物, )( , )( , ),p d fp x yf x y 如果(的联合为,又是二元定2函数理且( , )( , ),f x yp x y dxdy ( , )( , ) ( , ).Eff x y p x y dxdy 那么 2定理 可以推广为：1212121( ,)( ,) ( ,).nnnnEff x xxp x xx dxdx ，采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物三、连续型随机变量数学期望的性质. .RVRV 连续型的数学期望的性
23、质同离散型.的数学期望的性质相同.现罗列如下： ()1, , ( ).PcEcE cc01那么即 , .abaEb02那么 , ().kR E kkE 031212 ().nnEEEE04 ikR003 4 合并为：有1 1221122().nnnnE kkkk Ek Ek E采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物121212 ,().nnnEEEE 05 当相互独立时，1212 0,0,.EEE06则由此，如果，那么 .EE07四、连续型随机变量的方差22.( -)( -)RVEEEE设 是.,又
24、存在，那么定称义 .,RVD为. 的方差，记为即2( -) .DEE.DRV称为. 的根方差或标准差.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物四、小结四、小结数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性数学期望的性质质0001201( );2()( );3(k);4,.E CCE CCEEKEEEE
25、 E 独立作业：作业：31；32；33采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物3. 常见离散型随机变量的数学期望常见离散型随机变量的数学期望 分分布布 分分布布律律 E(X) (0-1)分分布布 XB(1, p) kkppkXP 1)1( k=0,1 p 二二项项分分布布 XB(n, p) knkknppCkXP )1 ( k=0,1,2,n np 泊泊 松松 分分 布布 )( PX PX=k= ekk! k=0,1,2, 几几何何分分布布 PX=k=ppk1)1( k=1,2, p1 采用PP管及配
26、件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物根据生命表知根据生命表知 , 某年龄段保险者里某年龄段保险者里 , 一一 年中年中每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002, 现有现有10000个这类人个这类人参加人寿保险参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领若在死亡时家属可从保险公司领取取 2000 元赔偿金元赔偿金 . 问每人一年须交保险费多少问每人一年须交保险费多少元元?例例1 你知道自己该交多少保险费吗你知道自己该交多少保险费吗?备份题采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切
27、断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X ,)002. 0 ,10000( bX则则 10000010000)002. 01()002. 0(1000)(kkkkkXE).(20 人人 被保险人所得赔偿金的期望值应为被保险人所得赔偿金的期望值应为 ).(40000200020元元 若设每人一年须交保险费为若设每人一年须交保险费为a 元元,采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物由被保险人交的由被保险人交的“纯保险费纯保险费”与他们所能得到的
28、与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知赔偿金的期望值相等知4000010000 a),(4 元元 a故每人故每人1年应向保险公司交保险费年应向保险公司交保险费4元元.采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解解)5()(2)52(33EXEXE , 5)(23 XE1213121121031)2()(33333 XE又又,31 .31353125)(2)52(33 XEXE故故例例2 设设求求:).52(3 XE3102 3121121121Xp采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件
29、在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物其其规规律律为为独独立立且且两两者者到到站站的的时时间间相相互互的的但但到到站站的的时时刻刻是是随随机机都都恰恰有有一一辆辆客客车车到到站站某某车车站站每每天天按按规规定定.,00:1000:9,00:900:8, 到站时刻到站时刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站一一旅旅客客.,20:8(ii)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客例例3采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管
30、及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物).(以以分分计计设设旅旅客客的的候候车车时时间间为为 X解解的的分分布布律律为为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为625063306110)( XE).(33.33分分 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物的分布律为的分布律为X(ii)Xkp10633062506161 706361 906261 62619063617061615062306310)( XE).(22.27分分 候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为