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1、一、对角矩阵对角矩阵定义定义3.8 所有非主对角线元素全等于零的所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为阶矩阵称为 对角矩阵对角矩阵(diagonal matrix).是一个四阶对角矩阵。是一个四阶对角矩阵。n阶对角矩阵常记为阶对角矩阵常记为2.3 几种特殊结构的矩阵几种特殊结构的矩阵中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20221显然显然,由主对角元就足以确定对角阵本身由主对角元就足以确定对角阵本身,故对角阵常故对角阵常简记为简记为D=diag()详细写出就是详细写出就是这里当然允许对角元等于零这里当然允许对角元等于零.中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20222性质性质(1)两
2、个同阶对角矩阵的和两个同阶对角矩阵的和(或或)差仍为对角矩阵差仍为对角矩阵(2)数数k与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵(3)两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵,并并且他们是可交换的且他们是可交换的中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20223中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20224二、数量矩阵数量矩阵定义定义3.9 如果如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等，阶对角矩阵所有主对角线元素都相等，则称此矩阵为则称此矩阵为n阶阶数量矩阵数量矩阵,或标量矩阵或标量矩阵(scalar matrix).设数量矩阵设数量矩阵当当a=
3、1时时,对角元全为对角元全为 1 的对的对角阵称为单位矩阵角阵称为单位矩阵.返回中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20225中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20226三、三角形矩阵三、三角形矩阵定义定义3.10 如果如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，则称此矩阵为则称此矩阵为上三角矩阵上三角矩阵.如果如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，则称此矩阵为则称此矩阵为下三角矩阵下三角矩阵.A为为n阶上三角矩阵；阶上三角矩阵；B为为n阶下三角矩阵阶下三角矩阵.对角矩阵既是上三对角矩阵既是上三角阵又是下三角阵角阵
4、又是下三角阵.中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20227如果A,B是同阶的上(下)三角形矩阵,则A+B,AB仍是上(下)三角形矩阵数k与A的乘积kA仍是上(下)三角形矩阵中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20228练习1在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵：练习2根据所讨论的特殊形式的矩阵的概念，指出其有从属关系者.返回中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/20229定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那么那么 称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素关于主对角线对称对称阵的元素关于主对角线对称说明说明四、对称矩阵和反对称矩阵四、对称矩阵和
5、反对称矩阵中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202210性质性质（1）对称矩阵对称矩阵A与与B的和也是对称矩阵的和也是对称矩阵 （2）数）数k与对称矩阵与对称矩阵A的乘积的乘积kA仍为对称矩阵仍为对称矩阵.中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202211注意 两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.如中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202212定义定义 如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足满足AT=-A，即，即则称矩阵则称矩阵A为为反对称矩阵反对称矩阵.中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202213中南财经政法大学信息学院信息系 9
6、/30/202214性质性质（1）反）反对称矩阵对称矩阵A与与B的和的和(差差)也是反对称矩也是反对称矩阵阵 （2）数）数k与反对称矩阵与反对称矩阵A的乘积的乘积kA仍为反对称矩阵仍为反对称矩阵.中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202215注意注意:两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是反对称矩阵反对称矩阵.如如中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202216中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202217例例11 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202218练习1中南财经政法大学信息学院信息系 9/30/202219