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1、1第九章第九章 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT)(DFT) 问题：如何将数字计算机应用于傅立叶分析问题：如何将数字计算机应用于傅立叶分析 答案：答案：通过通过“离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFT)”DFT)” 目的：将数字计算机应用于傅立叶分析目的：将数字计算机应用于傅立叶分析2 dfefXtxdtetxfXtfjtfj22)()()(2 2 连续非周期信号连续非周期频谱连续非周期信号连续非周期频谱9.1 9.1 四种物理存在的傅立叶变换四种物理存在的傅立叶变换1 1 连续周期信号离散非周期频谱连续周期信号离散非周期频谱112111( )jk f tTXk fx t ed tT121
2、( )()jk f tkx tX k fe3nnfTjssenTxfX2)()(3 3 离散非周期序列周期连续频谱离散非周期序列周期连续频谱ssfnfTjssdfefXfnTx2)(14 4 离散周期序列周期离散频谱离散周期序列周期离散频谱10211)()(NnfnkTjssenTxkfX1021)(1NknfTjssekfXNnTx4对称关系对称关系时域周期时域周期频域离散性（时域重复频域离散性（时域重复频域抽样）频域抽样）时域离散时域离散频域周期（时域抽样频域周期（时域抽样频域重复）频域重复）时域非周期时域非周期频域连续（频域取包络频域连续（频域取包络 ）时域连续时域连续频域非周期频域非周
3、期 （对偶性）（对偶性）59.2 9.2 离散傅立叶级数离散傅立叶级数(DFS)(DFS) 连续周期信号有傅立叶级数，记作：连续周期信号有傅立叶级数，记作：1212( )1( )TTjntpnnjntnpxtF eFxt edtT61( )( ),sppt nTsxnxtNTT令：其中：21( )NsjknjknTpkkkkxnX eX e1( )jntpnnxtF e22211n 0nmkm0( )NNNkkjnjnjnNpNxeeneX 21nmk0NNnkkjeX721kn 0k( )(k)NNjnppxn eNXX22k1mnm1n 00( )NNkjjnNNnpkXxnee21nmk
4、0mmk0kNjnNNe2m1nk0NnNje 因为因为 是周期为是周期为N N的周期序列的周期序列8221010()()1()()NNNjknppnNjknppkXkxn exnXk eNnjNe)(2)(kXp)()()(22NknjnkjNNeenkjNe)(2)(kXp， 是周期的是周期的谐波成分中只有谐波成分中只有N N个是独立的个是独立的是是 K K次谐波分量，谐波系数是次谐波分量，谐波系数是周期序列的基频是周期序列的基频是得到得到DFS正负运算正负运算对对21kn0k( )(k)NNjnppxn eNXX9)(nxpnN0N2N)(kXp0NkN10221010( )( )1(
5、)( )NNNjknppnNjknppkXkxn exnXk eN特点特点1 时域频域离散时域频域离散2 时域频域周期时域频域周期11( )pxn9.3 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT) 上一节讨论的周期序列实际上只有有限个序列值上一节讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，有意义， 因而它和有限长序列有着本质的联系。周期因而它和有限长序列有着本质的联系。周期序列是有限长序列的周期延拓。序列是有限长序列的周期延拓。( ) 01( )0pxnnNx nn其他( )()prxnx nrN12 通常把通常把 的第一个周期的第一个周期n=0到到n=N-1 定义为定义为“主值区间主值区间”，
6、故故x(n)是是的的“主值序列主值序列”，即主值区间上的序列。而称，即主值区间上的序列。而称 为为x(n)的周期延拓。对不同的周期延拓。对不同r值值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式之间彼此并不重叠，故上式可写成可写成 ( )pxn( )pxn( )pxn( )( mod)( )pNxnx nNx n( )Nn余数运算表达式（余数运算表达式（n n对对N N取模值）取模值）mNnn10n1N-1, m为整数 令令则则 n1 为为 n 对对 N 的余数。的余数。 13 是周期为是周期为N=9的序列，则有：的序列，则有： ( )pxn例：例： 9999(8)(8)(8)(13)(13)(4)(
7、22)(22)(4)( 1)( 1)(8)ppppxxxxxxxxxxxx( )pxn1 0913n14 周期序列则是有限长序周期序列则是有限长序列以列以N 为周期的周期延为周期的周期延拓拓Npnxnx)()( 有限长序列有限长序列 x(n) 可看成可看成是周期序列的主值序列，是周期序列的主值序列，记作记作 )()()(nGnxnxNpNpkXkX)()()()()(kGkXkXNp)(kXp 也是周期性的，相当于有限长序列周期延拓也是周期性的，相当于有限长序列周期延拓当当 时，其主值序列相当于一个有限长时，其主值序列相当于一个有限长序列序列10Nk15221100110000,1,2.1,2
8、.( )( )( )11( )( )( )11NNNNjknnknnNNjnknkkkX kx n ex n Wx nXkk eX k WNNNnN 和和 都取主值周期，得到离散都取主值周期，得到离散傅立叶变换傅立叶变换(DFT)(DFT)对对)(kXP)(nxP16)(nxpnN0N2NN0n)(nxN0k)(kXDFSDFT)(kXp02NN2Nk172211001100( )( )( )(01)11( )( )( )(01)NNNNjknnknnNNjnknkkkX kx n ex n WkNx nX k eX k WnNNN221010( )( )1( )( )NNNjknppnNjk
9、nppkXkxn exnXk eN从从DFSDFS到到DFTDFT定义定义DFSDFSDFTDFT的定义的定义NpkXkX)()()()()(kGkXkXNpNpnxnx)()()()()(nGnxnxNp18小结小结 是是 的主值序列有限长序列的主值序列有限长序列 是严格按傅立叶分析的概念得来的是严格按傅立叶分析的概念得来的 只是一种借用形式，一种算法只是一种借用形式，一种算法 用用 计算信号的频谱时计算信号的频谱时: :采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率对周期信号要取一个整周期对周期信号要取一个整周期DFTDFSDFSDFTDFTDFT199.4
10、9.4 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT)(DFT)的性质的性质一一 线性线性 二二 时域圆周移位特性时域圆周移位特性 ( )( ), ( )()( )NNDFT x nX ky nx nmRn ( ) ()( )( )NNmkDFT y nDFT x nmRnWX k)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT式中，a, b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。 20 1.圆周移位圆周移位 一个长度为一个长度为N的有限长序列的有限长序列x(n)的圆周移位定义为的圆周移位定义为 y(n)=x(n-m)N RN (n) 我们可以这样来理解上式所表达的圆周移位的含义。首先，我们可以这
11、样来理解上式所表达的圆周移位的含义。首先，将将x(n)以以N为周期进行周为周期进行周期延拓得到周期序列期延拓得到周期序列 ; 再再将将 加以移位：加以移位： ( )( )pNxnx n( )pxn()()Npx nmxnm然后，再对移位的周期序列然后，再对移位的周期序列 取主值区间（取主值区间（n=0 到到 N-1）上的序列值，即上的序列值，即x(n-m)NRN(n)。 y(n)仍然是一个长度为仍然是一个长度为N的有的有限长序列。限长序列。()pxnm21圆周移位过程示意图圆周移位过程示意图 (e)x(n)21n 0N1N2on 0N1N221n 0N2N1( f )( g )210 x(n)
12、n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1n(a)(b)(c)(d )N1N1N122 从图上可以看出，由于是周期序列的移位，当我从图上可以看出，由于是周期序列的移位，当我们只观察们只观察 0nN-1 这一主值区间时，某一采样从该区这一主值区间时，某一采样从该区间的一端移出时，与其相同值的采样又从该区间的另间的一端移出时，与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而，可以想象一端循环移进。因而，可以想象x(n)是排列在一个是排列在一个N等等分的圆周上，序列分的圆周上，序列x(n)的圆周移位，的圆周移位， 就相当于就相当于x(n)在此在此圆周上旋转，如图（圆周上旋转
13、，如图（e）、（）、（f）、）、(g)所示，因而称为所示，因而称为圆周移位。圆周移位。 若将若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转; 将将x(n)向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果围绕圆周观察几圈，围绕圆周观察几圈， 那么看到的就是周期序列那么看到的就是周期序列 。 ( )pxn23三三 频移特性频移特性调制定理调制定理 四四 时域圆周卷积特性时域圆周卷积特性 10( )( )( ) ()( )NNNmx nh nx m h nmRn* *10( ) ()( )NNNmh m x nmRn1 1 圆卷积
14、圆卷积)()(nxDFTkX则则 )()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN若若24x1(n)1N1nx2(n)1N1nx2(0 m)NRN(m)1N1mooox2(1 m)NRN(m)1N1mx2(2 m)NRN(m)1N1my(n) x1(n) x2(n)233211N1noooN圆周卷积过程示意图圆周卷积过程示意图2 2 圆卷积的计算：圆卷积的计算：3 3 圆卷积与线卷积的区别与联系：圆卷积与线卷积的区别与联系：长度、结果、混叠现象长度、结果、混叠现象x1(n)n1N1 41230 x2(n)n112340N2 5y1(n)N1 N2 1 8n123405 6789 10 11234(a)(b)(c)x1(n) x2(n)L 6n12340 x1(n) x2(n)L 8n1234x1(n) x2(n)L 10n1234(d)(e)( f )12345012345670123456789LLL264 4 时域圆周卷积特性内容时域圆周卷积特性内容( )( )( )y nx nh n* * ( ) ( ) ( )( )( )( )DFT y nDFT x nDFT h nX kH kY k27作业作业 9-11 9-12（思考）（思考）