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1、第九章离散傅立叶变换以及其它离散正交变换第1页，本讲稿共87页一输入输出法（端口法）研究研究单输入单输出单输入单输出系统；系统；着眼于系统的着眼于系统的外部外部特性；特性；基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。念。产生于产生于20世纪世纪50至至60年代；年代；卡尔曼卡尔曼(R.E.Kalman)引入；引入；利用状态变量描述系统的利用状态变量描述系统的内部内部特性；特性；运用于运用于多多输入输入多多输出系统；输出系统；用用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统述系统。二状态变量分析法第2页，
2、本讲稿共87页三状态变量分析法优点(1)(1)提供了系统的内部特性以供研究；提供了系统的内部特性以供研究；(2)(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；数值计算；(3)(3)便于分析多输入多输出系统；便于分析多输入多输出系统；(4)(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；容易推广应用于时变系统或非线性系统；(5)(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。引出了可观测性和可控制性两个重要概念。第3页，本讲稿共87页四名词定义 状态：状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态表示动态系统的一组最少变量（被称为状态变量），只要知道变量），只
3、要知道时这组变量和时这组变量和时的输时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间入，那么就能完全确定系统在任何时间的行为。的行为。状态变量：状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态能够表示系统状态的那些变量成为状态变量。例如上例中的变量。例如上例中的。状态矢量：状态矢量：能够完全描述一个系统行为的能够完全描述一个系统行为的k k个状态变个状态变量，可以看作矢量量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。的各个分量的坐标。称为称为状态矢量。状态矢量。状态空间：状态空间：状态矢量状态矢量所在的空间。所在的空间。状态轨迹：状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化在状态空间中状态矢量端点随时间变化而描出的
4、路径称为状态轨迹。而描出的路径称为状态轨迹。第4页，本讲稿共87页9.2 信号流图概述概述系统的信号流图表示法系统的信号流图表示法术语定义术语定义信号流图的性质信号流图的性质信号流图的代数运算信号流图的代数运算第5页，本讲稿共87页系统框图系统框图信号流图信号流图一概述利利用用方方框框图图可可以以描描述述系系统统（连连续续的的或或离离散散的的），比比用用微分方程或差分方程更为直观。微分方程或差分方程更为直观。线性系统的仿真（模拟）线性系统的仿真（模拟）连续系统连续系统相加、倍乘、积分相加、倍乘、积分 离散系统离散系统相加、倍乘、延时相加、倍乘、延时由由美美国国麻麻省省理理工工学学院院的的梅梅森
5、森（Mason）于于20世世纪纪50年年代代首首先先提提出。出。应用于：应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统模拟及数字滤波器设计等方面。数字滤波器设计等方面。第6页，本讲稿共87页信号流图方法的主要优点系统模型的表示简明清楚；系统模型的表示简明清楚；简化系统函数的计算方程。简化系统函数的计算方程。第7页，本讲稿共87页二系统的信号流图表示法 实际上是用一些点和支路来描述系统：实际上是用一些点和支路来描述系统：方框图方框图流图流图称为称为结点结点线段表示信号传输的路径，称为线段表示信号传输的路径，称为支路。支路。信号的传输方向用箭头表示，转移
6、函数标在箭头附近，相当信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近，相当于乘法器。于乘法器。第8页，本讲稿共87页三术语定义结点：结点：表示系统中变量或信号的点。表示系统中变量或信号的点。转移函数：转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。两个结点之间的增益称为转移函数。支路：支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增连接两个结点之间的定向线段，支路的增益即为转移函数。益即为转移函数。输入结点或源点：输入结点或源点：只有输出支路的结点，它对应只有输出支路的结点，它对应的是自变量（即输入信号）。的是自变量（即输入信号）。输出信号或阱点：输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应只有输入支路的结
7、点，它对应的是因变量（即输出信号）。的是因变量（即输出信号）。混合结点：混合结点：既有输入支路又有输出支路的结点。既有输入支路又有输出支路的结点。通路：通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（不允许有相反方向支路存在）。向支路存在）。第9页，本讲稿共87页开通路：开通路：通路与任一结点相交不多于一次。通路与任一结点相交不多于一次。环路增益：环路增益：环路中各支路转移函数的乘积。环路中各支路转移函数的乘积。闭通路：闭通路：如果通路的终点就是起点，并且与任何如果通路的终点就是起点，并且与任何其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。其他结点相交不多
8、于一次。闭通路又称环路。不接触环路：不接触环路：两环路之间没有任何公共结点。两环路之间没有任何公共结点。前向通路：前向通路：从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向从输入结点（源点）到输出结点（阱点）方向的通路上，通过任何结点不多于一次的的通路上，通过任何结点不多于一次的全部路径。全部路径。前向通路增益：前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。前向通路中，各支路转移函数的乘积。第10页，本讲稿共87页四信号流图的性质支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，支路表示了一个信号与另一信号的函数关系，信号只能沿着支路上的箭头方向通过。信号只能沿着支路上的箭头方向通过。（1）（2）结点可以把所
9、有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路。所有输出支路。第11页，本讲稿共87页（3）具具有有输输入入和和输输出出支支路路的的混混合合结结点点，通通过过增增加加一一个个具具有有单单传传输的支路，可以把它变成输出结点来处理。输的支路，可以把它变成输出结点来处理。第12页，本讲稿共87页（4）流流图图转转置置以以后后，其其转转移移函函数数保保持持不不变变。所所谓谓转转置置就就是是把把流流图图中各支路的信号传输方向调转，同时把输入输出结点对换。中各支路的信号传输方向调转，同时把输入输出结点对换。给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由
10、于同一给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画出不同的流图。流图。（5）第13页，本讲稿共87页五信号流图的代数运算（1）（2）有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。串联支路的合并串联支路的合并总增益等于各支路增益的乘积。总增益等于各支路增益的乘积。第14页，本讲稿共87页（3）并联支路的合并：并联相加并联支路的合并：并联相加（4）混合结点的消除混合结点的消除第15页，本讲稿共87页（5）环路的消除环路的消除总结：总结：可以通过如下步骤简化信
11、号流图，从而求得系可以通过如下步骤简化信号流图，从而求得系 统函数。统函数。串联支路合并，减少结点；串联支路合并，减少结点；并联支路合并，减少支路；并联支路合并，减少支路；消除环路。消除环路。第16页，本讲稿共87页（6）信号流图的梅森增益公式信号流图的梅森增益公式式中：式中：称为流图的特征行列式。称为流图的特征行列式。第17页，本讲稿共87页表示由源点到阱点之间第表示由源点到阱点之间第k条前向通路的条前向通路的标号。标号。表示由源点到阱点之间的第表示由源点到阱点之间的第条前向通路的增益。条前向通路的增益。称称为为对对于于第第条条前前向向通通路路特特征征行行列列式式的的余余因因子子。它它是是除
12、除去去与与k条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。第18页，本讲稿共87页9.3 连续时间系统状态方程的建立 状态方程的一般形式和建立方法概述状态方程的一般形式和建立方法概述由电路图直接建立状态方程由电路图直接建立状态方程由系统的输入由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程输出方程或流图建立状态方程将系统函数分解建立状态方程将系统函数分解建立状态方程第19页，本讲稿共87页一状态方程的一般形式和建立方法概述 一一个个动动态态连连续续系系统统的的时时域域数数学学模模型型可可利利用用信信号号的的各各阶阶导导数数来来描描述述。作作为为连连续续系系统统
13、的的状状态态方方程程表表现现为为状状态态变变量量的的联联立立一阶微分方程组，即一阶微分方程组，即为系统的为系统的k个状态变量。个状态变量。m个输入信号个输入信号r个输出信号个输出信号第20页，本讲稿共87页状态方程 输出方程第21页，本讲稿共87页如如果果系系统统是是线线性性时时不不变变的的，则则状状态态方方程程和和输输出出方方程程是是状状态变量和输入信号的线性组合，即：态变量和输入信号的线性组合，即：第22页，本讲稿共87页第23页，本讲稿共87页表示为矢量矩阵形式状态方程状态方程输入方程输入方程第24页，本讲稿共87页第25页，本讲稿共87页状态方程和输出方程分析的示意结构图是积分环节，它
14、的输入为是积分环节，它的输入为，输出为，输出为。若若 矩阵是矩阵是 的函数，表明系统是线性时变的函数，表明系统是线性时变的，对于线性时不变系统，的，对于线性时不变系统，的各元素都为常的各元素都为常数，不随数，不随 改变。改变。第26页，本讲稿共87页状态变量的特性 每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数；励信号的函数；每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数；输出信号是状态变量和输入信号的函数；输出信号是状态变量和输入信号的函数；通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是通常选择
15、动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。选积分器的输出。建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：建立给定系统的状态方程的方法分为直接法和间接法两类：直接法直接法主要应用于电路分析、电网络（如滤主要应用于电路分析、电网络（如滤波器）的计算机辅助设计；波器）的计算机辅助设计；间接法间接法常见于控制系统研究。常见于控制系统研究。第27页，本讲稿共87页二由电路图直接建立状态方程(1)选取选取独立独立的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也的电容上电压和电感中电流为状态变量，有时也选电容电荷与电感磁链。选电容电荷与电感磁链。中必然包含中必然包含，注意只能将此项放在方程左
16、边。，注意只能将此项放在方程左边。(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包包括括，对连接有电容的结点列结点电流方程，其，对连接有电容的结点列结点电流方程，其(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。把方程中非状态变量用状态变量表示。(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。第28页，本讲稿共87页状态变量的个数状态变量的个数 等于系统的等于系统的阶数。阶数。对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。当电路对于较简单的电路，用直观的方法容易列写状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（
17、结构相对复杂时，往往要借助计算机辅助设计（CAD）技术。）技术。第29页，本讲稿共87页三由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程假定某一物理系统可用如下微分方程表示假定某一物理系统可用如下微分方程表示此系统为此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为阶系统，输入信号的最高次导数也为k 次次系统函数为系统函数为为便于选择状态变量，系统函数表示成为便于选择状态变量，系统函数表示成第30页，本讲稿共87页当用积分器来实现该系统时，其流图如下当用积分器来实现该系统时，其流图如下取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的第31页，本讲稿共87页状态方程状态方程输
18、出方程输出方程第32页，本讲稿共87页表示成矢量矩阵的形式表示成矢量矩阵的形式状态方程状态方程输出方程输出方程第33页，本讲稿共87页简化成简化成对应对应A,B,C,D的矩阵分别为的矩阵分别为第34页，本讲稿共87页（二）用流图的串联结构形式列状态方程（二）用流图的串联结构形式列状态方程 四将系统函数分解 建立状态方程将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式的状态方程。流图结构，即可列出不同形式的状态方程。（一）用流图的并联结构形式列状态方程（一）用流图的并联结构形式列状态方程 第35页，本讲稿共87
19、页9.4 连续时间系统状态方 程的求解 用拉普拉斯变换法求解状态方程用拉普拉斯变换法求解状态方程用时域法求解状态方程用时域法求解状态方程第36页，本讲稿共87页时域方法时域方法借助计算机借助计算机变换域方法变换域方法简单简单由状态方程求系统函数由状态方程求系统函数第37页，本讲稿共87页一用拉普拉斯变换法求解状态方程 方程方程，起始条件，起始条件方程两边取拉氏变换方程两边取拉氏变换整理得整理得第38页，本讲稿共87页因而时域表示式为因而时域表示式为可见，在计算过程中最关键的一步是求可见，在计算过程中最关键的一步是求。第39页，本讲稿共87页若系统为零状态的，则若系统为零状态的，则则系统的转移函
20、数矩阵为则系统的转移函数矩阵为是第是第i个输出分量对第个输出分量对第j个输入分量的转移函数。个输入分量的转移函数。第40页，本讲稿共87页 1 1矩阵指数矩阵指数 的定义的定义二用时域法求解状态方程(一)矩阵指数式中式中 为为 方阵方阵,也是一个也是一个 方阵方阵2.2.主要性质主要性质第41页，本讲稿共87页(二)用时域方法求解状态方程 1.1.求状态方程和输出方程求状态方程和输出方程若已知若已知并给定起始状态矢量并给定起始状态矢量对式对式(1)两边左乘两边左乘，移项有，移项有(1)化简，得化简，得第42页，本讲稿共87页两边取积分，并考虑起始条件，有两边取积分，并考虑起始条件，有 对上式两
21、边左乘对上式两边左乘，并考虑到，可得，并考虑到，可得为方程的一般解为方程的一般解求输出方程求输出方程r(t)第43页，本讲稿共87页依此原理，将依此原理，将无穷项之和的表示式中高于无穷项之和的表示式中高于次的各项全部化次的各项全部化为为幂次的各项之和，经整理后即可将幂次的各项之和，经整理后即可将化为有限项之和化为有限项之和对于对于 方阵方阵A有如下特性：有如下特性：凯莱凯莱-哈密顿定理（哈密顿定理（Cayley-Hamitontheorem）：）：也也即即，对对于于，可可利利用用以以下下幂幂次次的的各各项项之之和和表表示示，式中，式中为各项系数。为各项系数。(2)(3)第44页，本讲稿共87页
22、式中各系数式中各系数c都是时间都是时间t 的函数，为书写简便省略了的函数，为书写简便省略了变量变量t。按按照照凯凯莱莱-哈哈密密顿顿定定理理，将将矩矩阵阵A的的特特征征值值代代入入式式(2)后后，方方程程仍仍满满足足平平衡衡，利利用用这这一一关关系系可可求求得得式式(3)中中的的系系数数c，最最后后解解出出。具体计算步骤：具体计算步骤：求矩阵求矩阵A的特征值；的特征值；将各特征值分别代入式（将各特征值分别代入式（3 3），求系数），求系数c。第45页，本讲稿共87页第一种情况A的特征值各不相同，分别为的特征值各不相同，分别为 ，代入式，代入式(3)有有 (4)第46页，本讲稿共87页第二种情况
23、若若A的特征根的特征根具有具有m阶重根，则重根部分方程为阶重根，则重根部分方程为其其他他非非重重根根部部分分与与式式(4)相相同同处处理理，两两者者联联立立解解得得要要求求的的系数。系数。(5)第47页，本讲稿共87页9.5 离散时间系统状态方程的建立 状态方程的一般形式和建立方法概述状态方程的一般形式和建立方法概述由系统的输入由系统的输入输出差分方程建立状态方程输出差分方程建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程给定系统的方框图或流图建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程由研究对象的运动规律直接建立状态方程第48页，本讲稿共87页一状态方程的一般形式和建立方法概述 离散系统的
24、状态方程：一阶差分方程组离散系统的状态方程：一阶差分方程组为系统的为系统的r个输出信号。个输出信号。为系统的为系统的m个输入信号；个输入信号；为系统的状态变量；为系统的状态变量；第49页，本讲稿共87页输出方程：输出方程：状态方程：状态方程：第50页，本讲稿共87页如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线形组合，即变量和输入信号的线形组合，即 状态方程：状态方程：第51页，本讲稿共87页输出方程：输出方程：第52页，本讲稿共87页 可见：可见：n+1时刻的状态变量是时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的函数。
25、时刻状态变量和输入信号的函数。在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变量常常选延时单元的输出。常常选延时单元的输出。表示成矢量方程形式第53页，本讲稿共87页各矩阵说明第54页，本讲稿共87页若系统是线性时不变的，则若系统是线性时不变的，则A,B,C,D各元素都为常数，各元素都为常数，不随不随n 改变。改变。若若A,B,C,D 矩阵是矩阵是n 的函数，表明系统是线性时变的，的函数，表明系统是线性时变的，图中，图中，是延时单元，它的输入为是延时单元，它的输入为 ，输出，输出 。示意结构图第55页，本讲稿共87页二由系统的输入输出差分方程建立状态方
26、程 对于离散系统通常用下列对于离散系统通常用下列 阶差分方程描述（输阶差分方程描述（输入入输出方程）输出方程）其系统函数为其系统函数为第56页，本讲稿共87页考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为其流图形式其流图形式第57页，本讲稿共87页选选延时单元输出延时单元输出作为状态变量，则有作为状态变量，则有第58页，本讲稿共87页表示成矢量方程形式为表示成矢量方程形式为其中其中第59页，本讲稿共87页三给定系统的方框图或流图建立状态方程 给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状态方程，给定离散系统的方框图或流图，很容易建立系统的状态方程，
27、只要取延时单元的输出作为状态变量即可。只要取延时单元的输出作为状态变量即可。四由研究对象的运动规律直接建立状态方程第60页，本讲稿共87页9.6 离散时间系统状态方程的求解 第61页，本讲稿共87页离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。时域和变换域两种方法。矢量差分方程的时域求解矢量差分方程的时域求解An的计算的计算离散系统状态方程的离散系统状态方程的z变换解变换解概述第62页，本讲稿共87页一矢量差分方程的时域求解 离散系统的状态方程表示为离散系统的状态方程表示为此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。此
28、式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。设给定系统的起始状态为：在设给定系统的起始状态为：在 ，则按式则按式(1)有有以下用迭代法，求以下用迭代法，求时刻的值：时刻的值：（1）第63页，本讲稿共87页对于任意对于任意n值，当值，当可归结为可归结为上上式式中中，当当 时时第第二二项项不不存存在在，此此时时的的结结果果只只由由第第一一项项决决定定，即即 本本身身，只只有有当当 时时，式式(2)才可给出完整的才可给出完整的 之结果。之结果。(2)第64页，本讲稿共87页如果起始时刻选如果起始时刻选 ，并将上述对，并将上述对 值的限制以阶跃信值的限制以阶跃信号的形式写入表达式，于是有号的形式写入表达式，
29、于是有 还可解得输出为还可解得输出为第65页，本讲稿共87页由两部分组成：由两部分组成：一是起始状态经转移后在一是起始状态经转移后在时刻得到的响应分量；时刻得到的响应分量；另一是对另一是对时刻以前的输入量的响应。它们分别时刻以前的输入量的响应。它们分别称为零输入解和零状态解。称为零输入解和零状态解。其中其中称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中的的含义类似，也用符号含义类似，也用符号表示，写作表示，写作它决定了系统的自由运动情况。它决定了系统的自由运动情况。第66页，本讲稿共87页可以看出，零状态解中，若令可以看出，零状态解中，若令 ，则系统的单位
30、，则系统的单位样值响应为样值响应为 可见，零状态解正是可见，零状态解正是与与的卷积和，也可写作的卷积和，也可写作第67页，本讲稿共87页关键：关键：计算状态转移矩阵计算状态转移矩阵 ，即，即 。二 的计算 利用凯莱一哈密顿定理，利用凯莱一哈密顿定理，(3)设设 为为A的的n n个个独独立立的的特特征征单单根根，用用下下列列联联立立方方程组求系数程组求系数将将 分别代入分别代入（3），即可。，即可。第68页，本讲稿共87页若若的特征根为重根的情况，例如的特征根为重根的情况，例如为为A 的的m阶重根，阶重根，则对重根部分计算为则对重根部分计算为第69页，本讲稿共87页三离散系统状态方程的 变换解
31、和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的 变换变换方法也使状态方程的求解显得容易一些。方法也使状态方程的求解显得容易一些。由离散系统的状态方程和输出方程由离散系统的状态方程和输出方程 两边取两边取变换变换整理整理,得到得到第70页，本讲稿共87页取其逆变换即得时域表示式为取其逆变换即得时域表示式为:状态转移矩阵即为状态转移矩阵即为 或或第71页，本讲稿共87页9.7 状态矢量的线性变换在线性变换下状态方程的特性在线性变换下状态方程的特性系统转移函数阵在线性变换下是不变的系统转移函数阵在线性变换下是不变的A矩阵的对角化矩阵的对角化由状态方程判断系统的稳定性
32、由状态方程判断系统的稳定性第72页，本讲稿共87页序言从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量以看作同一系统在状态空间中取了不同的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，用不同基底表示时具有不同的形式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种以各种形式表示的状态矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于简化系统分析是很
33、有用的。线性变换，对于简化系统分析是很有用的。第73页，本讲稿共87页一在线性变换下状态方程的特性矢量形式矢量形式 第74页，本讲稿共87页系数间的关系设原基底下状态方程表示为设原基底下状态方程表示为 经变换后经变换后或或系数间的关系系数间的关系第75页，本讲稿共87页二系统转移函数阵在线性变换下是不变的从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而系统转从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此对同一系统不同状态示时，并不影响系统的物理本质，因此对同一系
34、统不同状态变量的选择，系统转移函数应是不变的：变量的选择，系统转移函数应是不变的：上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性，结论同样适用于离散系统。样适用于离散系统。第76页，本讲稿共87页三A矩阵的对角化在线性变换中，使在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。阵的对角化是很有用的变换。A矩阵矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对的每一状态变量之间互不影响，因而可以独立研究系统参数对状态变量的影响。状态变量的
35、影响。在线性代数中已经分析了在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上就是以矩阵的对角化。实际上就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩阵对角化所矩阵对角化所需要的线性变换就是寻求需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量，以次构作变换矩阵的特征矢量，以次构作变换阵阵P，即可把状态变量相互之间分离开。，即可把状态变量相互之间分离开。第77页，本讲稿共87页四由状态方程判断系统的稳定性用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状态方转移函数的分母特征根位置来定出。如果
36、给定为状态方程，则由程，则由A阵的对角化分析可知，阵的对角化分析可知，A矩阵对角化后其对角矩阵对角化后其对角元素是元素是A矩阵的特征值，特征值决定了系统的自由运动情况。矩阵的特征值，特征值决定了系统的自由运动情况。因此可根据因此可根据A矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。矩阵的特征值来判断系统的稳定情况。连续系统稳定性的判断连续系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断离散系统稳定性的判断 第78页，本讲稿共87页连续系统稳定性的判断这需要解方程这需要解方程转移函数分母的特征多项式转移函数分母的特征多项式此方程的根在此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，当平面上的位置决定了系统的稳定情况，当
37、根落在根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。平面的左半平面，可确定系统为稳定的。第79页，本讲稿共87页离散系统稳定性的判断即系统的特征根位于单位圆即系统的特征根位于单位圆内内，和连续系统相似，和连续系统相似，A矩矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。所以他们的判定准则也相同。对于离散系统要求系统稳定，则要求对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值矩阵的特征值第80页，本讲稿共87页 9.8 系统的可控制性与可观测性系统的可控性定义、判别法系统的可控性定义、判别法系统的可观性定义、判别法系
38、统的可观性定义、判别法可控、可观性与系统转移函数之关系可控、可观性与系统转移函数之关系第81页，本讲稿共87页一系统的可控性定义、判别法 可控性：可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则完全可控制的。如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。系统不完
39、全可控制。判别法判别法1.1.根据状态方程的参数矩阵判别根据状态方程的参数矩阵判别即即:当当为对角阵形式时为对角阵形式时,中的中的0 0元素对应不可控因素。元素对应不可控因素。设系统的状态方程设系统的状态方程第82页，本讲稿共87页2.2.可控阵满秩判别法可控阵满秩判别法即即:若有若有,则连续系统完全则连续系统完全可控的充要条件是可控的充要条件是:矩阵满秩。矩阵满秩。称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。称为系统的可控制判别矩阵，即可控阵。3.3.单输入、单输出系统可控性的单输入、单输出系统可控性的 矩阵约当规范型判据矩阵约当规范型判据即：若在即：若在为约当规范型中，与每个约当块最后一行为约当规
40、范型中，与每个约当块最后一行相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。相应的那些行不含零元素，则系统完全可控。第83页，本讲稿共87页二系统的可观性定义、判别法可观性可观性当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时间间当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时间间隔内隔内根据系统输出惟一地确定系统的所有起始状态，根据系统输出惟一地确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分起始状态，则系统则系统是完全可观。如果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。不完全可观。可观性判别法可观性判别法1.1.根据状态方程的参数矩阵判别根据状态方程的参数矩阵判别设系统的状态方程设系统的状态方
41、程即即:当当为对角阵形式时为对角阵形式时,中的中的0 0元素对应不可观现象。元素对应不可观现象。第84页，本讲稿共87页2.2.可观阵满秩判别法可观阵满秩判别法即即:若有若有,则连续系统完全则连续系统完全可观的充要条件是可观的充要条件是:矩阵满秩。矩阵满秩。称为系统的可判别矩阵，即可观阵。称为系统的可判别矩阵，即可观阵。3.3.单输入、单输出系统可观性的单输入、单输出系统可观性的 矩阵约当规范型判据矩阵约当规范型判据即：若在即：若在为约当规范型中，与每个约当块第一行为约当规范型中，与每个约当块第一行相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。相应的那些列不含零元素，则系统完全可观。第85页，本讲稿
42、共87页三可控、可观性与系统转移函数之关系由转移函数表达式：由转移函数表达式：经非奇异变换而对角化：经非奇异变换而对角化：暂且不考虑与输入信号直接相联系的暂且不考虑与输入信号直接相联系的，则有：，则有：第86页，本讲稿共87页上式展开为：上式展开为：得出结论：得出结论：1.若系统不完全可控或不完全可观若系统不完全可控或不完全可观,则则s域上表现为域上表现为必有零极点相消现象。必有零极点相消现象。2.2.转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观部分转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观部分，而留（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观部分，而留下的是可控或可观部分）下的是可控或可观部分）第87页，本讲稿共87页