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1、体重体重X 身高身高Y例例2：检查某大学的全体学生的身体状况检查某大学的全体学生的身体状况,例例1 1 飞机的飞机的重心重心在空中的位置是由在空中的位置是由三个随机变量三个随机变量( (三个坐标三个坐标) )来确定的来确定的. .从其中随机抽取一个学生，从其中随机抽取一个学生，分别以分别以X 和和Y 表示其表示其体重体重和和身高身高. 例如例如 E：抽样调查：抽样调查15-18岁青少年的岁青少年的身高身高 X与体重与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况发育情况。 任务：任务： 需要研究的不仅仅是需要研究的不仅仅是X及及Y各自的性质，各自的性质， 更需要
2、了解这两个随机变量的更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约相互依赖和制约关系。关系。3.1.1 3.1.1 二维随机变量的定义、二维随机变量的定义、分布函数分布函数n 定义定义3.1.1 设设X、Y 为定义在同一样本空间为定义在同一样本空间上的随机变量，上的随机变量，则称则称为为上的一个上的一个二维随机变量。二维随机变量。向量向量（ X，Y ）二维二维随机变量随机变量（X,Y）的几何意义的几何意义二维随机变量二维随机变量(X, Y)的的取值取值可看作平面上的点可看作平面上的点（x，y）A称为二维随机变量的称为二维随机变量的联合分布函数联合分布函数若若随机变量，对于任意的实数随机变量，对于任意
3、的实数 x,y.,yYxXP 记作记作 )()(),( YXPyxFxy二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)的含义的含义xy),(yx o )()(),(yYxXPyxF 几何解释几何解释 ： F(x, y) 表示表示随机点随机点(X ,Y )落在落在以以(x,y )为顶点为顶点,且且位于该点左下方的位于该点左下方的无穷矩形无穷矩形内的概率内的概率.x1x2y1y2 P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)用联合分布函数用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率表示矩形域概率P（x1 X
4、 x2，y1 Y y2）F(x2,y2)- -F(x2,y1)- -F(x1,y2)+F(x1,y1) 11, yx 12yx , 22yx , 21yx ,二维随机变量的联合分布函数的性质二维随机变量的联合分布函数的性质011211222 ),(),(),(),(yxFyxFyxFyxF有有,),(),(21211122yyxxyxyx 0100013.1.2 3.1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 若二维若二维 随机变量随机变量 的的所有可能取值只有限对或可列对所有可能取值只有限对或可列对， 则称则称为为二维离散型随机变量。二维离散型随机变量。 PXxi ,Y=yjpij，i,j
5、=1,2, XYx1 x2 xn y1 ym nppp11211mnmmppp2110 ijp111 ijijp)1()2(例题讲解例题讲解例例1 一个口袋中有三个球，一个口袋中有三个球， 依次标有数字依次标有数字1， 2， 2， 从中任取一个，从中任取一个， 不放回袋中不放回袋中， 再任取一个，再任取一个， 设每次取球设每次取球时，时， 各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等.以以、分别记第一次和分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，第二次取到的球上标有的数字， 求求(X,Y)的的联合分布律。联合分布律。(X,Y)的可能取值为的可能取值为(1， 1),(1， 2), (2， 1),
6、 (2， 2). PX1，Y1= PX1，Y2=PX2，Y1=PX2，Y2=(1/3) (2/2)1/3，(2/3) (1/2)1/3，(2/3) (1/2)1/3，01/31/31/30(X,Y)的联合分布律的联合分布律X/Y1212 ，若若第第一一次次取取得得次次品品若若第第一一次次取取得得正正品品10,X ，若若第第二二次次取取得得次次品品若若第第二二次次取取得得正正品品10,Y 箱内装有箱内装有12只开关，其中只开关，其中2只是只是次品次品，现从箱内随机现从箱内随机抽取二次抽取二次，每次取一只，每次取一只，取后不放回取后不放回，求求 (X,Y)的联合分布律。其中：的联合分布律。其中：
7、,0100YXPYXP ,1110YXPYXP1110122 1121210 1191210 111122 22153353356611010 X Y(X,Y)的联合分布律的联合分布律 )()(iXjYPiXP例例2.设随机变量设随机变量 X 在在 1,2,3 中等可能地取值中等可能地取值, Y 在在 1X 中等可能地取整数值中等可能地取整数值,求求( X, Y )的的分布列分布列及及F(2,2). 解解 (1, 2, 3,)iji 1/3 1/6 ),(jYiXP 0 XY1 2 3 123 1/61/91/91/90031 i1 )2,2()1,2()2,1()1,1( YXPYXPYXP
8、YXP= + + =2/ 3 F ( x , y) = P ( X x , Y y) F ( ( 2 , 2) ) 1/3 Y 1 2 3 X123 1/6 1/6 1/9 1/9 1/9 0 0 0= P ( X 2, Y 2) 例：例：(X,Y)的联合分布律如下：的联合分布律如下：Y X - -1 01 2 k求（求（1）k=?; (2) F(x,y)=? + + +k=1 k = Y X - -1 01 2 时，时，或或当当11 yx-1 120 XY ,),(yYxXPyxF0Y X - -1 01 2 -1 120 XY ,),(yYxXPyxF时时且且当当0121 yx4111 ,
9、YXPY X - -1 01 2 -1 120 XY ,),(yYxXPyxF时时且且当当012 yx,61411211 ,YXPYXPY X - -1 01 2 -1 120 XY ,),(yYxXPyxF时时且且当当yx 021,41410111 ,YXPYXPY X - -1 01 2 -1 120 XY ,),(yYxXPyxF时时且且当当yx 02,1 02101261410214141012141110yxyxyxyxyxyxF且且且且且且且且或或),( Y=-=-1 Y= 0X =1 X =2 3.1.3 3.1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二元二元连续型随机变量连续
10、型随机变量)若存在若存在非负函数非负函数 f（x，y），使对任意实数使对任意实数x，y，二元随机变量二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式的分布函数可表示成如下形式 则称则称(X,Y)是二元是二元连续型随机变量连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量称为二元随机变量(X,Y)的的联合概率密度函数联合概率密度函数. yYxXPyxF,),( xydudvvuf),(二维连续型随机变量的二维连续型随机变量的联合概率密度联合概率密度的的性质性质 0 ),(yxfn （1 1）非负性）非负性n （2 2）正则性）正则性 1),(),(dxdyyxfF),(),(2yxfyxyxF n （
11、3 3）可导性）可导性 ),(GYXP Gdxdyyxf),(=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 xof(x,y),(yxfGn （4）（X,Y)落在平面区域落在平面区域G上的概率上的概率例题讲解例题讲解例例1： 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度 求：求：系数系数A；F(x,y)；PX2,Y1; (4)P2X+3Y6 其其它它, 00, 0,),()32(yxAeyxfyx100)32( dxdyAeyx即即：. 6 A故故 1),(),()1(dxdyyxfF：由：由解解16)()(60302 AeeAyx时时，当当）解解（002 yx, 其其它它,),)(),(0
12、001132yxeeyxFyx求：求：F(x,y)； 其其它它,),()(000632yxeyxfyx xyyxdxdye0 0326)(，)(yxee3211 ),(yxF故故解解(3): P X2, Y1 21 2010326dyedxyx 3411ee ,),(12 yxdxdyyxf 其其它它,),()(000632yxeyxfyxx2, y1f(x,y) 0 32 2x+3y=60解解(4): 632)32(6yxyxdxdye 303260326xyxdyedx)(671 e632 YXP 三角形三角形dxdyeyx)32(6 其其它它, 00, 0,6),()32(yxeyxfy
13、xf(x,y) 0二维均匀分布二维均匀分布设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 则称则称（X,Y)在在D上服从上服从均匀分布均匀分布.其中其中G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为 ),(yxf .),(,;),(,GyxGyxSG01例题讲解例题讲解 例例1： 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y)在区域在区域G上服从均匀分上服从均匀分布，其中布，其中G是曲线是曲线 y=x2 和和y=x 所围成的区域，则所围成的区域，则(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度f x,y = 其其他他,;),(,0611102GyxdxxxSG0 1100 yxyx ,例例2、设随机变量（、设随机变量（X，Y）在区域）在区域上服从上服从均匀分布均匀分布，则，则 210 ,210yxP = ),(yxf 2102102dydx 其他其他,;,01002yxyx